Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK 1NT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 00 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie ohne Alternative Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3 Materialgrundlage Fotografie auf dem Aufgabenblatt: Rainer Sindermann 4 Bezüge zu den Vorgaben 00 Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n >, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Parameterformen von Geraden und Ebenengleichungen Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Winkel und Länge von Vektoren Normalenformen von Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Abstandsprobleme (Abstand Punkt Ebene) Medien/Materialien entfällt 5 Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

2 Seite von 9 6 Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6 Modelllösungen Modelllösung a) () Eine Ebene ist durch Angabe von drei Punkten vollständig festgelegt D muss in E liegen, damit der Rahmen eine ebene Figur bildet und nicht schief ist Eine mögliche Parametergleichung von E lautet : x = x A r AB + s BC = 6 r 0 s (r, s IR) Die Richtungsvektoren sind orthogonal zum Normalenvektor 0 w = 4, eine Koordinatengleichung zu E lautet 4y + z = 0 Gleichsetzen mit der Parametergleichung oder Einsetzen in die Koordinatengleichung von E ergibt D E und D E 0 () Es gilt DA DC D ist nicht rechtwinklig 3 0 Aus der Rechteckeigenschaft folgt: xd xa BC (3) Bedeutung des Koeffizienten Null vor x: Die x-koordinate von Punkten auf F ist beliebig, die x-achse verläuft parallel zur Ebene F (4) Schnittgerade: Aus der Parameterform von E : x 5 0 r, y 6 8 s und z 34 3 s Eingesetzt in F : y6 z 0 liefert dies 6 8 s6 (34 3 s) 0 und dann s = Eingesetzt in E ergibt sich: g : x = 6 r 0 8 r Alternativ: Jeder Punkt auf g erfüllt y 6 z 0 und z 0 4 y Hieraus folgt y = und z =, x bleibt beliebig, g verläuft parallel zur x-achse

3 Seite 3 von 9 Modelllösung b) 0 () Gerade längs der Stütze : g : x = xs + r v = + r 4 (r IR) Gerade durch A und B: gab : x = xa + s AB = 6 + s 0 (s IR) 34 0 r s (I) 4 LGS nach Gleichsetzen: (II) liefert s = und r = 4, (III) 0 nach Probe in (III) erhält man aus g : x T 4 4 6, also T ( 6 34) 9 34 v Die Stütze ist , 4 m lang () 0 w 4 steht senkrecht auf E w und v stehen zueinander im Winkel v w 5 α = arccos = arccos 5 v w 7 97 Die Stütze steht daher im Winkel von 38 zu E

4 Seite 4 von 9 Modelllösung c) () Man berechnet den Parameter für den Schnittpunkt der Geraden durch S und S mit E g s : x = xs +t SS S = +t t 3 4 ( t IR ) Gleichsetzen mit der Parameterform von E liefert das LGS : r s t ( 4) Mit der letzten Zeile 96t = 00 ist t = > 4 (Alternativ: Einsetzen von gs S in die zu a) ermittelte Koordinatengleichung zu E ) Da t > ist, liegt der Schnittpunkt von S aus gesehen hinter S Also liegen S und S auf der gleichen Seite der Ebene E Da die x-achse parallel zu den Ebenen verläuft (vgl Teil b), kann die Entscheidung auch mit einer Veranschaulichung der Situation in einem y-z-koordinatensystem gefällt werden (Ebene E als Gerade und relative Lage der Punkte S und S dazu) Weiter ist mit Hilfe eines Normalenvektors von E eine Entscheidung möglich () Der normierte Vektor n = 0 4 ist orthogonal zu den in Teilaufgabe a) berechne- 7 ten Richtungsvektoren der Parameterdarstellung von E Der Abstand von S und E beträgt somit: d(s,e )= n (x x ) = 4 7 = 0,97 m S A Alternative: HNF 7

5 Seite 5 von 9 (3) x S ' = x S = ,88,47 (4) Die Höhe von F aus Teilaufgabe b) zu vorgegebenem x = und y =,88 beträgt 0+,88 z=,47 <,47 6 Also liegt der Spiegelpunkt über der Ebene F und ist somit über der Erdoberfläche und als Befestigungspunkt ungeeignet 6 Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) () begründet D E im Kontext (II) () berechnet eine Gleichung von E in Parameterform, eine Gleichung von E in Koordinatenform und berechnet dann, ob die Punkte D und D in E liegen 7 (I) 3 () begründet, warum nicht rechtwinklig ist, und bestimmt D, so dass D rechtwinklig ist 3 (II) 4 (3) erklärt die Bedeutung der Formelunabhängigkeit vom Parameter x (II) 5 (4) leitet eine Geradengleichung der Schnittgeraden von E und F durch das Einsetzen der drei Teilgleichungen der Parameterform von E in F her Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet 3 (II) AFB = Anforderungsbereich

6 Seite 6 von 9 Teilaufgabe b) () berechnet zwei Geradengleichungen zu den Geraden g durch S in Richtung 3 (I) von v und g AB durch A und B () bestimmt den Schnittpunkt und ermittelt die Länge der Stütze 6 (II) 4 () bestimmt den Winkel, in dem die Stütze auf die Ebene E trifft 5 (II) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet Teilaufgabe c) Maximal () entwickelt einen Lösungsansatz (III) () ermittelt eine Gleichung der Geraden durch S und S (I) 3 () berechnet den Parameter zum Schnittpunkt mit E (I) 4 () beurteilt die Lage von S und S mit Hilfe des Parameterwertes (III) 5 () bestimmt den Abstand von S zu E 3 (II) 6 (3) erklärt, mit welchen Schwierigkeiten bei einer entsprechenden Verspiegelung zu rechnen wäre 7 (4) ermittelt die Koordinaten des Spiegelpunktes S (II) 4 (II) 8 (5) prüft, ob S als Befestigungspunkt einer Stütze geeignet ist (III) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet

7 Seite 7 von 9 7 Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) () begründet D E im (II) Lösungsqualität EK ZK DK () berechnet eine Gleichung 7 (I) 3 () begründet, warum 3 (II) 4 (3) erklärt die Bedeutung (II) 5 (4) leitet eine Geradengleichung 3 (II) sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe a) 7 Teilaufgabe b) () berechnet zwei Geradengleichungen 3 (I) () bestimmt den Schnittpunkt 6 (II) 3 () bestimmt den Winkel 5 (II) sachlich richtige Alternativen: (4) Summe Teilaufgabe b) 4 Lösungsqualität EK ZK DK EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

8 Seite 8 von 9 Teilaufgabe c) () entwickelt einen Lösungsansatz (III) () ermittelt eine Gleichung (I) 3 () berechnet den Parameter (I) 4 () beurteilt die Lage (III) 5 () bestimmt den Abstand 3 (II) 6 (3) erklärt, mit welchen (II) 7 (4) ermittelt die Koordinaten 4 (II) 8 (5) prüft, ob S (III) Lösungsqualität EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (9) Summe Teilaufgabe c) 9 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 50 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 3 Abs APO-GOSt Lösungsqualität EK ZK DK Paraphe ggf arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ggf arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet Unterschrift, Datum

9 Seite 9 von 9 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus 7 0 gut 9 3 gut minus 0 05 befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus ungenügend 0 9 0

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