Strömung mit Ablösung Eine Grenzschicht, der ein positiver Druckgradient aufgeprägt ist, kann ablösen: z.b.: Strömung in einem Diffusor

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1 Strömung mit Ablösung Eine Grenzschicht, der ein positiver Druckgradient aufgeprägt ist, kann ablösen: z.b.: Strömung in einem Diffusor reibungsfreie Strömung: Grenzschicht A(x) u a ρu a x = p x A(x) x > ; u a x < Konti p x > x 1

2 Strömung mit Ablösung δ(x) u a (x 1 ) Stromlinie u a (x 2 ) u a (x 3 ) x 1 Ablösepunkt x 2 Rückströmgebiet x 3 2

3 Strömung mit Ablösung In der Regel: Rezirkulationsgebiet ist wesentlich dicker als die Grenzschicht Reibungskräfte sind nicht mehr auf einen dünnen Bereich beschränkt Grenzschichtapproximation ist nicht mehr gültig Der Ablösepunkt kann dennoch mit der Kàrmàn-Pohlhausen-Methode bestimmt werden. Randbedingungen für den Ablösepunkt 1. Haftbedingung (Stokes) für y δ = u = v = (u B = u w ) 2. Grenzschichtrand y δ = 1 u = U 3

4 Strömung mit Ablösung 3. Druckverteilung unbekannt Wandbindung nicht möglich aber die Ablösebedingung gilt u y = y= 4. y δ > 1 u y = kontinuierlicher Übergang von der Grenzschicht zur äußeren Strömung 5. y δ = 1 2 u y 2 = reibungsfreie Strömung 4

5 Folge der Ablösung Der Druck im Ablösegebiet erreicht nicht den Druck der reibungsfreien Strömung (siehe Kreiszylinder) Widerstandserhöhung (Druckwiderstand) Bei Tragflügelprofilen kann sich zusätzlich der Auftrieb stark verringern (Stall) 5

6 Vermeidung oder Verschiebung der Ablösung 1. Erzwingen des laminar-turbulenten Umschlags Stolperdraht Rauigkeitsveränderung der Oberfläche bei Flügeln: Vortex Generator turbulente Strömung: Durch Mischbewegung ist mehr Energie in Wandnähe turbulente Grenzschicht kann mehr Druckanstieg überwinden als die laminare Grenzschicht 6

7 Vermeidung oder Verschiebung der Ablösung 2. Mitbewegen der Wand Ausbildung der Grenzschicht wird vermieden keine Geschwindigkeitsdifferenz zwischen Wand (Haftbedingung) und Außenströmung für gekrümmte Körperformen schwer technisch zu verwirklichen Untersuchung an einem Tragflügel mit Endlosband auf der Profiloberseite: Anstellwinkel bis ca. α = 55 maximaler Auftriebsbeiwert: c a 3.5 7

8 Vermeidung oder Verschiebung der Ablösung 2. Mitbewegen der Wand Ablöseformen für u w u a ; u a (x) p x > Ablösekriterium u = ; u y = nicht an der Wand 8 u w

9 Grenzschichtabsaugung Ein Gitter von ebenen Platten wird längs mit der Geschwindigkeit u angeströmt. Ein Teil der Grenzschicht wird an der Platte abgesaugt. Die Absauggeschwindigkeit v A wird so gewählt, dass die Außengeschwindigkeit am Grenzschichtrand gleich der Anströmgeschwindigkeit ist. Die Strömung ist laminar. Bestimmen Sie a) den Zusammenhang zwischen v A und δ 1 b) den Verlauf der Grenzschichtdicke δ(x) c) die Absauggeschwindigkeit v A (x) d) den Widerstandsbeiwert einer Platte u geg.: = y u δ ; u ; L; H; η; ρ 9

10 Grenzschichtabsaugung 8u y η, ρ = konst x H δ (x) v a (x) L 1

11 Grenzschichtabsaugung a) Bilanz am differentiellen Element y δ (x) δ 1 (x) dx v= v = H/2 δ U δ 1 u v A Flaechen sind gleich Definition von δ 1 11

12 Grenzschichtabsaugung q = H/2 udy = u u = u H/2 H 2 u dy = u H/2 H 2 u dy = u H/2 H 2 1 u dy = u = u ( H 2 δ 1 ) 12

13 Grenzschichtabsaugung Volumenbilanz für das Element ( ) H u 2 δ 1(x) + v A (x + dx 2 )dx = u Bemerkung: wegen v(x, H/2) = : kein Volumenstrom über die Symmetrieebene y = H/2 v A (x),δ 1 (x) mit Talorreihe entwickeln: v A (x + dx 2 ) = v A(x) + dv A dx dx 2 + δ 1 (x + dx) = δ 1 (x) + dδ 1 dx dx + ( ) H 2 δ 1(x + dx) 13

14 Grenzschichtabsaugung = einsetzen in Volumenbilanz u δ 1 + v A dx + dv A dx O(dx 2 ) dx 2 dx = u dδ δ 1 u 1 dx dx dδ = v A = u 1 dx b) Verlauf der Grenzschichtdicke δ(x) von Kàrmàn-Pohlhausen für Grenzschicht mit Absaugen Integration von v u y von y = bis y = δ dδ 2 dx + 1 du u dx (2δ τ(y = ) 2 + δ 1 ) = ρu 2 dδ 2 dx v A τ(y = ) = u ρu 2 14 = dδ 2 dx + dδ 1 dx + v A(x) u = τ(y = ) ρu 2

15 Grenzschichtabsaugung Bestimmung von δ 2 (δ) und δ 1 (δ) δ 2 = δ u u ( 1 u ) dy u Linearer Ansatz für das Geschwindigkeitsprofil Transformation der unabhängigen Variable η = y δ dy dη = δ dy = δ dη δ 2 = 1 u u ( 1 u ) δdη u u u = y δ 15

16 Grenzschichtabsaugung = δ 2 δ = 1 η η 2 dη = 1 2 η η 3 1 = 1 6 ebenso für δ 1 δ 1 δ = 1 δ 1 = 1 1 u u dy 1 η dη = η 1 2 η 2 1 =

17 Grenzschichtabsaugung Berechnung von τ(y = ): allgemein τ(y = ) ρu 2 = η u y 1 ρu 2 = η (u/u ) ρu 2 (y/δ) u δ aus Ansatz für Profil (u/u ) (y/δ) = 1 = τ(y = ) ρu 2 = η ρu δ Einsetzen in Kàrmàn-Pohlhausen dδ 2 dx = dδ 2 dδ dδ 1 dx = dδ 1 dδ dδ dx = 1 dδ 6dx dδ dx = 1 dδ 2dx 17

18 Grenzschichtabsaugung = 1 dδ 6dx + 1 dδ 2dx = η ρu δ 2 3 δ dδ = Anfangsbedingung für δ η ρu dx = 1 3 δ2 = x = δ(x) = = C = η ρu x + C = δ(x) = 3 ηx ρu = δ x = 3 1 Rex 18

19 Grenzschichtabsaugung c) Absauggeschwindigkeit v A aus b) δ 1 δ = 1 2 aus a) v A (x) = u dδ 1 dx = u 1 2 d dx ( ) 3 x Rex = u 1 2 3η ρu 1 2 x = 3 4 u 1 Rex 19

20 Grenzschichtabsaugung d) Definition von c w y c w = F w 1 2 ρu2 LB F p = n x p n da und n x = = F wp = Druckkräfte haben keinen Anteil am Widerstand. Widerstandskraft resultiert aus Reibungskräften auf der Plattenoberfläche. 2

21 Grenzschichtabsaugung F w = L (τ wo + τ wu ) B dx B: Breite der Platte Die Strömung ist symmetrisch zur Platte τ wo = τ wu = τ w c w = 4 L L τ w ρu 2 dx = 4 L L η ρu δ dx δ aus b) 4 η L ρu 3 L 1 dx = 4 η 2 x x L 3ρu L = ReL 21

22 17.1 Eine ebene Platte bildet die untere Berandung eines divergenten Kanals. An der Stelle x = x a löst die Strömung ab. Für das Geschwindigkeitsprofil wird ein Polynom 3. Grades angesetzt: u(x, y) u a (x) = a (x) + a 1 (x) y δ(x) + xa 2 Gegeben: x a ( ) y 2 ( ) y 3 + a δ(x) 3 (x) δ(x) an der Ab- Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsprofil u(x a,y/δ(x a )) u a (x a ) lösestelle. 22

23 17.1 Skizzieren Sie 3 Geschwindigkeitsprofile für x < x a ; x = x a ; x > x a. 23

24 Koeffizienten = 4 RB s Haftbedingung: y = = u = = a (x) = GS-Rand: y = δ = u = u a (x) = 1 = a 1 (x) + a 2 x + a 3 (x) Druckgradient unbekannt = Wandbindungsgl. nicht verwenden Ablösestelle: x = x a = τ w = = y = = u/u a y/δ = = = a 1 (x a ) y = 24

25 17.1 GS-Rand = glatter Übergang y = δ = u/u a y/δ = = = a 1 (x) + 2a 2 x + 3a 3 (x) y = δ Man erhält an der Stelle x = x a a 2 x a + a 3 (x a ) = 1 ; 2a 2 x a + 3a 3 (x a ) = = a 2 = 3 x a a 3 (x a ) = 2 25

26 17.1 = u(x a,y/δ(x a )) u a (x a ) = 3 ( ) y 2 ( ) y 3 2 δ(x a ) δ(x a ) 26