Demokurs. Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik Vertiefung der Statistik

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1 Demokurs Modul 3741 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Kurs 41 Vertiefung der Statistik 15. Juli 010

2 Seite: 14 KAPITEL 4. ZUSAMMENHANGSANALYSE gegeben, wobei die Stichproben(ko)varianzen durch S(X, Y ) = S(X) = S(Y ) = 1 N 1 1 N 1 1 N 1 N (X n X)(Y n Ȳ ) (4.3) n=1 N (X n X) = S(X, X) (4.4) n=1 N (Y n Ȳ ) = S(Y, Y ) (4.5) n=1 definiert sind. Explizit kann man auch Korrelationskoeffizient (Stichprobe) R = N n=1 (X n X)(Y n Ȳ ) N n=1 (X n X) (4.6) N n=1 (Y n Ȳ ) schreiben Signifikanztest ρ = 0 Bei bivariat normalverteilten Merkmalen (Abb. 4.1) ist unter [ ] X N Y ([ µx µ y ], [ σ x σ x σ y ρ σ x σ y ρ σ y ]). (4.7) Test des Korrelationskoeffizienten H 0 : ρ = 0 (4.8) H 1 : ρ 0 (4.9) die Teststatistik T = R N t(n ). (4.10) 1 R

3 4.1. METRISCHE MERKMALE Seite: 15 Abbildung 4.1: Bivariate Normalverteilung mit ρ = 0.8 und simulierten Daten (Streudiagramm; r =.877, N = 3, seed = 99).

4 5.3. KONFIDENZINTERVALLE FÜR PROGNOSTIZIERTE WERTE Seite: 151 Beispiel 5.3 (BIP 007 und Inflationsrate (Konfidenzintervall)) Im Beispiel war ˆα = 0.87 ˆβ = σ =.774 σ =.774 =.88 (xn x) = x n N x = Daraus findet man den Streuungsterm Var(Ê) = ˆσ 1 N + (x x) n (x n x) 1 (x 5.575) = Das 95%-KI ist damit ( x) ± / ( x) mit dem Quantil t(.975, 30) =.047. An der Stelle x = x = ergibt sich der minimale Wert.497 ± Abb. 5.5 zeigt das Konfidenz-Intervall als Konfidenz-Band für alle x- Werte zwischen 0 und Prognoseintervall für individuelles Y 0 (Fall ) Der individuelle zufällige Wert Y 0 = α + βx 0 + ɛ 0 = E[Y 0 X 0 ] + ɛ 0 kann mit Hilfe von Ŷ0 = ˆα + ˆβX 0 geschätzt werden. Der dabei zu erwartende quadrierte Prognose-Fehler ist (vgl. 5.91; alles folgende bedingt auf X 0 ) ( E[Y 0 Ŷ0] = σ N + (X 0 X) ) n (X n X). (5.95)

5 Seite: 15 KAPITEL 5. REGRESSIONSANALYSE Abbildung 5.5: Geschätzte Gerade mit Konfidenzband α/, N ) Var(Ê). Ê[Y X] ± t(1 Man erhält also im Vergleich zu Glg einen zusätzlichen Term σ, der durch den Gleichungsfehler ɛ 0 im stochastischen Y 0 = α + βx 0 + ɛ 0 erzeugt wird. Dies kann wie folgt gezeigt werden (bedingt auf X 0 ): Da E[Y 0 ] = α + βx 0 und E[Ŷ0] = α + βx 0 (Erwartungstreue der KQ- Schätzer) gilt E[Y 0 Ŷ0] = Var(Y 0 Ŷ0) = Var(Y 0 ) + Var(Ŷ0). (5.96) Hierbei wurde Cov(Y 0, Ŷ0) = Cov(α+βX 0 +ɛ 0, ˆα+ ˆβX 0 ) = 0 ausgenutzt, da die KQ-Schätzer unabhängig vom Gleichungsfehler ɛ 0 sind. Außerdem gilt ganz allgemein für Zufallsvariablen E[Z ] = Var(Z) für E[Z] = 0. ( Setzt man noch Var(Y 0 ) = σ und Var(Ŷ0) = σ 1 P (Fall ) + (X 0 X) N n (Xn X) 1) ein und ersetzt wieder σ ˆσ, so ergibt sich das gesuchte Prognose- Intervall

6 Seite: 160 KAPITEL 5. REGRESSIONSANALYSE Das F -Quantil f(.95, 1, 30) = ist wesentlich kleiner als die Teststatistik, sodaß die Nullhypothese verworfen wird. Dies stimmt mit dem Resultat des t-tests überein (Bsp. 5.). Die T -Statistik war Quadriert man diese, so ergibt sich T = , was mit der F -Statistik übereinstimmt. Dies ist kein Zufall, sondern folgt aus dem Zusammenhang T (N ) = N(0, 1) /χ (N ) = F (1, N ) der T, χ und F -Statistik (vgl. Abs , Nummer 4). Der F -Bruch läßt sich auch mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten ausdrücken, da Somit gilt SQE SQR/(N ) = = SQE (N ) SQT SQE (5.1) SQE/SQT (N ). 1 SQE/SQT (5.13) F = R xy (N ). (5.14) 1 Rxy Große (betragsmäßige) Korrelationen führen also zu großen F - Statistiken. Im Beispiel ist rxy = 0.65 und somit F = = Residualanalyse Diagnose Nach dem Schätzen der Parameter und dem Testen des Modells sollte auch eine Analyse der Residuen vorgenommen werden (Diagnose). Hiermit wird überprüft, ob die Annahmen des Modells (vgl. Abs ) zumindest approximativ erfüllt sind oder ob grobe Abweichungen vorliegen. Beispielsweise sollten die Residuen ˆɛ n unsystematisch streuen und keine Abhängigkeit von den Regressoren X n aufweisen. Dies zeigt sich im Streudiagramm Abb Die eingezeichnete Regressionslinie hat nur eine sehr kleine Steigung. Man hat allerdings den Eindruck, daß für große

7 5.4. VARIANZ-ZERLEGUNG, BESTIMMTHEITSMASS UND GLOBALER F -TEST Seite: 161 Abbildung 5.7: Streudiagramm der Residuen ˆɛ n mit den Regressoren X n. Eingezeichnet ist auch eine geschätzte Regressionslinie. Abbildung 5.8: Histogramm und Normal-Quantil-Plot der Residuen ˆɛ n. Es sind keine groben Abweichungen von der Normalverteilung zu erkennen.

8 Seite: 54 KAPITEL 1. FALLSTUDIEN Abbildung 1.0: Streudiagramm, Dichte-Graphik (Höhenlinien) (oben) und 3-D-Darstellung der bivariaten empirischen Dichte (unten) von Dax und Telekom-Rendite (SAS/JMP).

9 FAKTOREN-ANALYSE Seite: 385 P = [ψ 1,..., ψ p ] : p p, M = Diag(µ 1,..., µ p ) : p p (Diagonalmatrix). Die Summendarstellung von Σ wird als Eigenwertzerlegung oder Spektral-Darstellung bezeichnet. Man spricht auch von Diagonalisierung (P ΣP = M). Die Wichtigkeit dieser Formeln kann gar nicht überschätzt werden. Sie erlauben, eine Matrix als Überlagerung von Projektionen ψ i ψ i auf eindimensionale Unterräume darzustellen, mit den Eigenwerten (Spektrum) als Gewicht. Ganz allgemein gilt für die Spur (= trace) der Matrix σ ii := tr(σ) = µ i = tr(m), (14.318) i i Eigenwertzerlegung Spur da tr(σ) = tr(p MP ) = tr(mp P ) = tr(m). Übung: Beweisen Sie die zyklische Eigenschaft tr(ab) = tr(ba) der Spur. Beispiel 14.9 (Eigenwerte einer Korrelationsmatrix) Für die (theoretische) Korrelationsmatrix [ ] 1 ρ R = ρ 1 (14.319) ergeben sich die Eigenwerte aus [ ] 1 µ ρ det( ) = 0 = (1 µ) ρ (14.30) ρ 1 µ µ 1, = 1 ± ρ (14.31) Die Summe der Eigenwerte ist also = tr(r) = Summe der Diagonale := Spur = trace. Ganz allgemein gilt R ii := tr(r) = µ i = p. (14.3) i i Die Eigenvektoren ergeben sich aus den Bedingungen [ ][ ] [ ] ρ ρ ψ11 0 (R µ 1 I )ψ 1 = = (14.33) ρ ρ ψ 1 0 [ ][ ] [ ] ρ ρ ψ1 0 (R µ I )ψ = =. (14.34) ρ ρ 0 ψ

10 Seite: 386 KAPITEL 14. EINIGE GESICHTSPUNKTE BEI STATISTISCHEN ANALYSEN Etwa löst ] [ ψ11 ψ 1 [ ψ1 ψ ] = = [ ] 1 1 [ ] 1 1 (14.35) (14.36) (14.37) obige Gleichungen. Das Betrags-Quadrat der Vektoren ist [1, 1][1, 1] =, [1, 1][1, 1] =, sodaß man [ ] ψ11 ψ 1 = = 1/ [ ] 1 (14.38) ψ 1 1 [ ] ψ1 ψ = = 1/ [ ] 1 (14.39) 1 ψ als orthonormierte Eigenvektoren findet. Übung: Zeigen Sie, daß ψ 1, ψ orthonormiert sind. Es ist wichtig, daß die Eigenvektoren gar nicht von der Korrelation ρ abhängen. Sie zeigen in Richtung der Winkelhalbierenden der Quadranten. Abb zeigt simulierte Daten aus einer bivariaten Normalverteilung N ( 0, R = [ ]). (14.330) Die Eigenwerte von R sind 1 ± 0.9 = 1.9, 0.1 und die orthogonale Matrix der Eigenvektoren lautet [ ] 1 1 P = 1/ (14.331) 1 1 [ ] 1 0 P P = P P = = I 0 1. (14.33) Im gedrehten Koordinatensystem gilt daher [ ] [ ] ψ y = P x = 1 x ψ x = 1/ x1 + x x 1 x (14.333) und Cov(y) = P RP = M = diag(1.9, 0.1).

11 FAKTOREN-ANALYSE Seite: Abbildung 14.9: Simulierte [ normalverteilte ] Daten x n, n = 1,..., N = mit Kovarianz-Matrix R =. Die Hauptachsen zeigen in Richtung der Winkelhalbierenden.

12 Seite: 44 KAPITEL 15. FALLSTUDIE: FILIALGESTALTUNG UND KUNDENZUFRIEDENHEIT Abbildung 15.1: JMP: Korrelationsmatrix aller Variablen (Cluster der Korrelationen). Die Stärke der Korrelation ist durch die Farbe markiert (rot: r > 0, blau: r < 0. Die items der Konstrukte bilden einen positiv korrelierten Block.

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