Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen

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1 Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas farkas 1/60

2 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl 1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl 2 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division 3 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a 2/60

3 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Wir gehen bei unseren Betrachtungen von der einfachen quadratischen Gleichung aus: x 2 +1 = 0 x 2 = 1 In R gibt es keine Lösung, aber wir erhalten zwei formale Lösungen: x 1,2 = ± 1 Definition Der formale Wurzelausdruck 1 heisst imaginäre Einheit und wird durch das Symbol j gekennzeichnet: j = 1 Das Quadrat der imaginären Einheit j ist die reelle Zahl 1: j 2 = 1 2/60

4 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Anmerkungen: In der Mathematik wird die imaginäre Einheit meist durch das Symbol i gekennzeichnet. Die Lösungen der Gleichung x 2 +1 = 0 sind dann x = ±j. Sie können als Produkte aus der reellen Zahl +1 oder 1 und der imaginären Einheit j aufgefasst werden: x 1 = 1 j = j und x 2 = 1 j = j Auf ähnliche Zahlen stossen wir beim formalen Lösen der Gleichung: x 2 +9 = 0 x = ± 9 = ± 9 ( 1) = ± 9 1 = ±3j Definition Unter einer imaginären Zahl bj versteht man das formale Produkt aus der reellen Zahl b 0 und der imaginären Einheit j. 3/60

5 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Bei quadratischen Gleichungen treten häufig auch formale Lösungen in Form einer algebraischen Summe aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl auf. So besitzt beispielweise die Gleichung x 2 4x +13 = 0 die formalen Lösungen = = 36 x 1,2 = 2± 9 = 2±3j Definition Unter einer komplexen Zahl z versteht man die formale Summe aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl jy: z = x +jy 4/60

6 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Komplexe Zahl bedeutet soviel wie zusammengesetzte Zahl, nämlich aus einer reellen und einer imaginären Zahl zusammengesetzt. Die Darstellungsform z = x +jy ist die Normalform einer komplexen Zahl. Sie wird auch als algebraische oder kartesische Form bezeichnet. Die reellen Bestandteile x und y der komplexen Zahl z = x +jy werden als Realteil und Imaginärteil von z bezeichnet. Symbolische Schreibweise: Die Menge Realteil von z: Re(z) = x Imaginärteil von z: Im(z) = y C = {z : z = x +jy;x,y R} heisst Menge der komplexen Zahlen. 5/60

7 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Im(z) y z = x + jy 0 x Re(z) Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gauss schen Zahlenebene Eine komplexe Zahl z = x +jy lässt sich in der Gauss schen Zahlenebene durch den Bildpunkt P(z) = (x;y) oder durch den Zeiger z = x +jy geometrisch darstellen. Die Bildpunkte der reellen Zahlen liegen dabei auf der reellen Achse, die Bildpunkte der imaginären Zahlen auf der imaginären Achse. 6/60

8 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Weitere Grundbegriffe Gleichheit zweier komplexer Zahlen Definition Zwei komplexe Zahlen z 1 = x 1 +jy 1 und z 2 = x 2 +jy 2 heissen gleich, z 1 = z 2, wenn gilt. x 1 = x 2 und y 1 = y 2 Konjugiert komplexe Zahl Definition Die komplexe Zahl z = x jy heisst die zu z = x +jy konjugiert komplexe Zahl. 7/60

9 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Weitere Grundbegriffe Anmerkungen: Für zwei zueinander konjugiert komplexe Zahlen z 1 und z 2 gilt: z 1 = z2 und z1 = z 2 Es ist stets (z ) = z Eine komplexe Zahl z mit der Eigenschaft z = z ist reell. Beispiele: z 1 = 7+3j z1 = 7 3j z 2 = 4 5j z2 = 4+5j z 3 = 9j z3 = 9j z 4 = 8 z4 = 8 8/60

10 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Betrag einer komplexen Zahl Definition Unter dem Betrag z der komplexen Zahl z = x +jy versteht man die Länge des zugehörigen Zeigers: Beispiele: z = x 2 +y 2 z 1 = 3 4j z 1 = = 5 z 2 = 3j z 2 = = 3 z 3 = 2 8j z 3 = z 4 = 10 z 4 = = 10 9/60

11 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Algebraische or kartesische Form z = x +jy Trigonometrische Form Eine komplexe Zahl z = x +jy können wir auch durch Polarkoordinaten r und φ festlegen. Mit Hilfe der Transformationsgleichungen x = r cos(φ) y = r sin(φ) lässt sich dann die komplexe Zahl z aus der kartesischen Form in die sog. trigonometrische Form überführen. z = x +jy = r cos(φ)+j r sin(φ) = r (cos(φ)+j sin(φ)) 10/60

12 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Darstellungform einer komplexen Zahl Beispiele: Bezeichnungen für r und φ in der komplexen Analysis: r: Betrag von z φ: Argument, Winkel, oder Phase von z. Die zu z = r (cos(φ)+j sin(φ)) konjugiert komplexe Zahl z lautet daher in der trigonometrischen Darstellungsform z = r (cos(φ) j sin(φ)) = r (cos( φ)+j sin( φ)) Hier gibt es eine geometrische Interpretation! z 1 = 2(cos(30 )+j sin(30 )) z 2 = 5(cos(π)+j sin(π)) z 3 = 4(cos(45 )+j sin(45 )) 11/60

13 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Darstellungform einer komplexen Zahl Unter Verwendung der von Euler stammenden Formel: e jφ = cos(φ)+j sin(φ) erhält man aus der trigonometrischen Form z = r(cos(φ)+j sin(φ)) die als Exponentialform bezeichnete (knappe) Darstellungsform: Beispiele: z = r e jφ z 1 z 2 z 3 z 4 = 3 e j45 = 8,2 e j 2 3 π = 2,7 e jπ = 1,4 e j110 12/60

14 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Zusammenfassung der verschiedenen Darstellungsformen Darstellungsformen einer komplexen Zahl Algebraische oder kartesische Form x: Realteil von z y: Imaginärteil von z Trigonometrische Form r: Betrag von z φ: Argument (Winkel) von z z = x +jy z = r (cos(φ)+j sin(φ)) 13/60

15 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen Darstellungsformen einer komplexen Zahl Exponentialform r: Betrag von z φ: Argument (Winkel) von z z = r exp(jφ) Im(z) y z = r exp(jφ) z = r 0 φ x Re(z) 14/60

16 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen Umrechnung einer komplexen Zahl: Polarform Kartesische Form Eine in der Polarform z = r(cos(φ)+j sin(φ)) oder z = r exp(jφ) vorliegende komplexe Zahl lässt sich mit Hilfe der Transformationsgleichungen: x = r cos(φ), y = r sin(φ) in die kartesische Form z = x +j y überführen. Beispiele: 3 z 1 = 2(cos(30 )+j sin(30 )) = 2( 2 +j 1 2 ) = 3+j z 2 = 5(cos(π)+j sin(π)) = 5( 1+j 0) = z 3 = 3exp(j 3π/4) = 3( 2 +j 2 ) = j /60

17 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Umrechnung einer komplexen Zahl: Kartesische Form Polarform Umrechnung einer komplexen Zahl: Kartesische Form Polarform Eine in der kartesischen Form z = x +j y vorliegende komplexe Zahl lässt sich mit Hilfe der Transformationsgleichungen: r = z = x 2 +y 2, tan(φ) = y x und unter Berücksichtung des Quadraten, in dem der zugehörige Bildpunkt liegt, in die trigonometrische Form z = r(cos(φ)+j sin(φ)) bzw. in die Exponentialform z = r exp(jφ) überführen. 16/60

18 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Umrechnung einer komplexen Zahl: Kartesische Form Polarform Eine erste Transformation Für x > 0, y 0 verwenden wir: φ = arctan( y x ) Für x > 0, y < 0 verwenden wir: φ = arctan( y x )+2π Für x < 0, verwenden wir: φ = arctan( y x )+π Für x = 0, verwenden wir: φ = π/2 für y 0 φ = 3π/2 für y < 0 17/60

19 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Kartesische Form Polarform: Beispiel z = }{{} i }{{} a b r = z = a 2 +b 2 = 1 2 +( 3) 2 = 4 = 2 { { 1 = 2cosg cosg = = 2sing sing = g = π 3 3 = 60 2 sin cos π 6 = 30 π 4 = 45 π 3 = ( π Also z = 2 3 +j sin π = 2 e 3) j π /60

20 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Umrechnung einer komplexen Zahl: Kartesische Form Polarform Beispiele Für z 1 = 3+4j z 2 = 8 6 j finden wir: r 1 = = 5 φ 1 = arctan( 4 3 ) = 0,927 r 2 = ( 8) 2 +( 6) 2 = 10 φ 2 = π +arctan( 6 ) = π +0,644 = /60

21 Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl Umrechnung einer komplexen Zahl: Kartesische Form Polarform Eine andere Transformation Für y 0, verwenden wir: φ = arc cos( x ) r Für y < 0, verwenden wir: φ = arc cos( x ) r Anmerkung: r = x 2 +y 2 20/60

22 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division 1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Die Gausssche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Betrag einer komplexen Zahl Darstellungformen einer komplexen Zahl 2 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division 3 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a 21/60

23 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Vorbetrachtungen Auf der Zahlenmenge C lassen sich - wie bei den reellen Zahlen - vier Rechenoperationen, die sog. Grundrechenarten erklären. Es sind dies Addition (+) Subtraktion (-) als Umkehrung der Addition Multiplikation ( ) Division (:) als Umkehrung der Multiplikation Da R C, müssen die vier Grundrechenarten so definiert werden, dass die Rechenregeln für komplexe Zahlen im Reellen mit den bereits bestehenden Rechenregeln für reelle Zahlen übereinstimmen (sog. Permanenzprinzip). 21/60

24 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Definition von Addition und Subtraktion Die Rechenoperationen Addition und Subtraktion sind in der kartesischen Darstellungsform wie folgt definiert: Definition Summe z 1 +z 2 und Differenz z 1 z 2 zweier komplexer Zahlen z 1 = x 1 +j y 1 und z 2 = x 2 +j y 2 werden nach den folgenden Vorschriften gebildet: z 1 +z 2 = (x 1 +x 2)+j (y 1 +y 2) z 1 z 2 = (x 1 x 2)+j (y 1 y 2) Beispiele z 1 z 2 z 1 +z 2 z 1 z 2 = 4 5 j = 2+11 j = (4+2)+( 5+11) j = 6+6 j = (4 2)+( 5 11) j = 2 16 j 22/60

25 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Definition der Multiplikation Definition Unter dem Produkt z 1 z 2 zweier komplexer Zahlen z 1 = x 1 +j y 1 und z 2 = x 2 +j y 2 wird die komplexe Zahl verstanden. z 1 z 2 = (x 1x 2 y 1y 2)+j (x 1y 2 +x 2y 1) Beispiele z 1 z 2 z 1 z 2 = 2 4 j = 3+5 j = (2 4 j) ( 3+5 j) = (2 ( 3) ( 4) 5)+j (2 5+( 4) ( 3)) = ( 6+20)+j (10+12) = j 23/60

26 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Multiplikation: Anmerkungen Formal erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir das Produkt z 1 z 2 = (x 1 +j y 1) (x 2 +j y 2) wie im Reellen gliedweise ausmultiplizieren und dabei die Beziehung j 2 = 1 beachten: z 1 z 2 = (x 1 +j y 1) (x 2 +j y 2) = x 1x 2 +j (x 1y 2)+j(x 2y 1)+j 2 (y 1y 2) = (x 1x 2 y 1y 2)+j (x 1y 2 +x 2y 1) Beispiel z 1 z 1 z 2 = 2 4 j, z 2 = 3+5 j = (2 4 j) ( 3+5 j) = 6+10 j +12 j 20j 2 = j 24/60

27 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Multiplikation: Anmerkungen Wir berechten die ersten Potenzen von j: j 4 = j 2 j 2 = ( 1) ( 1) = 1 j k+4n = j k j 4n = j k (j 4 ) n = j k (1) n = j k k N Wir berechnen das Produkt aus z und z und erhalten: z z = (x +j y) (x j y) = x 2 j xy +j xy j 2 y 2 = x 2 +y 2 = z 2 25/60

28 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Division, Umkehrung der Multiplikation Wir beschäftigen uns nun mit der Umkehrung der Multiplikation, der Division. Dazu betrachten wir die Gleichung z z 2 = z 1 mit vorgegebenen Zahlen z 1 = x 1 +j y 1 und z 2 = x 2 +j y 2 (z 2 0). Dann erhalten wir: z = z1 z 2 Wir wollen nun die Lösung z = x +j y berechnen. z z 2 = (x +j y) (x 2 +j y 2) = xx 2 yy 2 +j (xy 2 +yx 2) und z 1 = x 1 +j y 1 26/60

29 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Division, Umkehrung der Multiplikation Diese Gleichung kann jedoch nur bestehen, wenn beide Seiten sowohl in ihrem Realteil als auch in ihrem Imaginärteil übereinstimmen: xx 2 yy 2 = x 1 xy 2 +yx 2 = y 1 Dieses lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten besitzt genau eine Lösung, wenn die Determinante D von null verschieden ist: Dann finden wir die Lösung: D = x 2 2 +y also, wenn z 2 0 x = y = x1x2 +y1y2 x2 2 +y2 2 x2y1 x1y2 x2 2 +y2 2 27/60

30 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Definition der Division Definition Unter dem Quotient z 1/z 2 zweier komplexer Zahlen z 1 = x 1 +j y 1 und z 2 = x 2 +j y 2 wird die komplexe Zahl verstanden. z 1 x1x2 +y1y2 x2y1 x1y2 = +j z 2 x2 2 +y2 2 x2 2 +y2 2 Anmerkung: z 1 z 2 = z1z 2 z 2z 2 = z1z 2 z /60

31 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Division: Beispiele Mit z 1 = 4 8 j und z 2 = 3+4 j 0 berechnen wir den Quotienten z 1/z 2: z 1 z 2 = 4 8 j 3+4 j = (4 8 j)(3 4 j) j 24 j +32 j2 = 25 = j 25 = 4 8 j 5 29/60

32 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Division: Beispiele Mit z 1 = 1+j 3 und z 2 = 1+j 0 berechnen wir den Quotienten z 1/z 2: z 1 = 1+ 3j = (1+ 3j)(1 j) z 2 1+j (1+j)(1 j) = (1+ 3j)(1 j) 1 2 +(+1) 2 = 1 j + 3j 3j 2 2 = (1+ 3)+( 1+ 3)j 2 ( ) 1+ 3 = ( 1+ 3 ) j 30/60

33 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Division: Beispiele Bestimmen Sie alle Zahlen m R, so dass Schritt 1: z 1 = ( 1+mj)( 3 j) z 2 ( 3+j)( 3 j) 1+m j 3+j R (z = a+bj R b = 0) = ( 3+m)+(1+m 3)j 4 Schritt 2: z 1 z 2 R Im ( z1 z 2 z 1 R 1+m 3 z 2 4 ) = 0 = 3+j +m 3j mj 2 ( 3) 2 j 2 = 3+m m 3 j 4 = 0 1+m 3 = 0 m = 1 3 = /60

34 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung Multiplikation und Division sind in der trigonometrischen bzw. exponentiellen Schreibweise besonders einfach durchführbar. Mit und erhalten wir : z 1 = r 1(cos(φ 1)+j sin(φ 1)) z 2 = r 2(cos(φ 2)+j sin(φ 2)) z 1 z 2 = r 1r 2[cos(φ 1)cos(φ 2) sin(φ 1)sin(φ 2) + j(cos(φ 1)sin(φ 2)+sin(φ 1)cos(φ 2))] 32/60

35 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung Unter Verwendung der Additionstheoreme cos(φ 1 +φ 2) = cos(φ 1)cos(φ 2) sin(φ 1)sin(φ 2) sin(φ 1 +φ 2) = sin(φ 1)cos(φ 2)+sin(φ 2)cos(φ 1). folgt hieraus weiter z 1 z 2 = r 1r 2(cos(φ 1 +φ 2)+j sin(φ 1 +φ 2)) oder - in der kürzeren Exponentialform - : z 1 z 2 = r 1r 2(exp(j (φ 1 +φ 2)) Eine analoge Rechnung liefert für den Quotienten zweier komplexer Zahlen: z 1 z 2 = r1 r 2 (cos(φ 1 φ 2)+j sin(φ 1 φ 2)) = r1 r 2 exp(j (φ 1 φ 2)) 33/60

36 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung Definition Bei der Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen erweist sich die trigonometrische bzw. exponentielle Darstellungsweise als besonders vorteilhaft. Mit z 1 = r 1(cos(φ 1)+j sin(φ 1)) = r 1exp(j φ 1) z 2 = r 2(cos(φ 2)+j sin(φ 2)) = r 2exp(j φ 2) gilt dann für die Multiplikation und die Division: z 1 z 2 = r 1r 2(cos(φ 1 +φ 2)+j sin(φ 1 +φ 2)) z 1 z 2 = r 1r 2exp(j (φ 1 +φ 2)) = r1 r 2 exp(j (φ 1 φ 2)) 34/60

37 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung Beispiel: z 1 = 1+ ( ( π ( π 3i = 2 cos +i sin 3) 3)) z 2 = 1+i (2. Quadrant) 1. Schritt: Polardarstellung: r 2 = z 2 = ( 1) = 2 { 1 = 2cosg 2 1 = 2sing 2 g 2 = π 2 + π 4 = 3π 4 z2 = 2 { cosg2 = 1 2 = 2 2 sing 2 = 1 2 = 2 2 ( cos ( 3π 4 ) +i sin ( )) 3π 4 35/60

38 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung 2. Schritt: Multiplikation: z 1 z 2 = 2 ( ( π 2 cos 3 + 3π 4 = 2 ( ( 13π 2 cos 12 ) ( π +i sin ) +i sin ( 13π π 4 )) )) z 1 = 2 ( π (cos z 2 2 = ( 2 cos 3 3π 4 ( 5π 12 = ( ( 2 cos 2π 5π 12 ) ( π +i sin ) +i sin ) +i sin 3 + 3π 4 ( )) 5π 12 ( 2π 5π 12 )) )) 36/60

39 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Geometrische Deutung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen Geometrische Deutung Die Multiplikation einer komplexen Zahl z 1 = r 1exp(jφ 1) mit der komplexen Zahl z = r exp(jφ) bedeutet geometrisch eine Drehstreckung des Zeigers z 1. Dabei wird der Zeiger z 1 nacheinander den folgenden geometrischen Operationen unterworfen: 1 Streckung um das r-fache 2 Drehung um den Winkel φ im positiven Drehsinn (für φ > 0) Das Ergebnis ist das geometrische Bild des Produktes z z 1 37/60

40 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Geometrische Deutung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen z z 1 = r r 1 exp(j (φ + φ 1 )) Im(z) z = r z 1 = r 1 exp(jφ 1 ) z 1 = r 1 φ φ 1 Re(z) 0 Figure: Die Multiplikation einer komplexen Zahl z 1 = r 1 exp(jφ 1 ) mit der komplexen Zahl z = r exp(jφ) 38/60

41 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Geometrische Deutung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen Anmerkungen Da die Multiplikation eine kommutative Rechenoperation ist (z 1 z = z z 1), kann man bei der geometrischen Konstruktion des Produktes z 1 z auch vom Zeiger z ausgehen. Die Division zweier komplexer Zahlen lässt sich auf die Multiplikation zurückführen. So bedeutet der Quotient z 1/z das Produkt aus z 1 und dem Kehrwert von z: z 1 z = z 1 1 z = (r 1e jφ 1 ) 1 re jφ = (r 1e jφ 1 ) ( 1 r e jφ ) 39/60

42 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Geometrische Deutung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen Beispiele Mit z 1 = 2 e j30, z 2 = 3 e j80, z 3 = 4 e j140, gilt z 1 z 2 z 1 = (2 3)e j( ) = 6e j110 z 2 = (2/3)e j(30 80 ) = (2/3)e j50 z 3 z 1 = (4/2)e j( ) = 2e j110 40/60

43 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) Eigenschaften der Menge der komplexen Zahlen Summe z 1 +z 2, Differenz z 1 z 2, Multiplikation z 1 z 2, Division z 1/z 2 zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 ergeben wiederum eine komplexe Zahl. Ausnahme: Die Division durch die Zahl 0 ist nicht erlaubt. Addition und Multiplikation sind kommutative Rechenoperationen. Für beliebige Zahlen z 1,z 2 C gilt stets: } z 1 +z 2 = z 2 +z 1 Kommutativgesetze z 1z 2 = z 2z 1 41/60

44 Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) Eigenschaften der Menge der komplexen Zahlen Addition und Multiplikation sind assoziative Rechenoperationen. Für beliebige Zahlen z 1,z 2,z 3 C gilt stets: } z 1 +(z 2 +z 3) = (z 1 +z 2)+z 3 Assoziativgesetze z 1(z 2z 3) = (z 1z 2)z 3 Addition und Multiplikation sind über das Distributivgesetz miteinander verbunden: z 1(z 2 +z 3) = z 1z 2 +z 1z 3 Distributivgesetz 42/60

45 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Potenzieren: Definition Potenzieren einer komplexen Zahl Eine in der Polarform vorliegende komplexe Zahl z wird nach der Formel von Moivre potenziert (n Æ): In exponentieller Schreibweise: [ z n = r e jφ] n = rn e jnφ In trigonometrischer Schreibweise: z n = [r (cos(φ)+j sin(φ))] n = r n (cos(nφ)+j sin(nφ)) Regel: Eine komplexe Zahl z = r (cos(φ)+j sin(φ)) = r e jφ wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (Winkel) φ mit dem Exponenten n multipliziert. 43/60

46 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Potenzieren: Beispiel Beispiele Wir erheben die komplexe Zahl z = 2 ( cos ( ( π 3) +j sin π 3)) in die 3. Potenz: z 3 = [ ( 2 = 2 3 (cos ( π cos ( 3) 3π 3 = 8( 1+j 0) = 8 ( π 3 +j sin 3))] ) +j sin ( )) 3π 3 44/60

47 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Potenzieren: Beispiele (1/4) Beispiel: Mit Polardarstellung: z = ( ( 3π 2 cos 4 ( ) ( 4 z 4 = 2 cos ) +i sin ( 4 3π 4 = 4 (cos(3π)+i sin(3π)) = 4 (cosπ +i sinπ)) = 4 ( 1) = 4 z = 1+i z 4 =? ( )) 3π 4 ) +i sin ( 4 3π )) 4 45/60

48 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Potenzieren: Beispiele (2/4) Beispiel: z = 3 i z 6 =? a = Rez = 3 b = Imz = 1 r = ( a 2 +b 2 = 2 3) +12 = 4 = 2 { { a = r cosg { 3 = 2 cosg cosg = 3 2 b = r sing 1 = 2 sing sing = 1 2 g = π + π 6 ( z = 2 cos ( ) 7π +i sin 6 ( )) 7π = 2e i 7π /60

49 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Potenzieren: Beispiele (2/4) Fortsetzung z 6 = 2 6 (cos ( 6 7π ) ( +i sin 6 7π )) 6 6 = 64 (cos(7π)+i sin(7π)) = 64 (cosπ +i sinπ) = 64 ( 1+0i) = 64 47/60

50 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Potenzieren: Beispiele (3/4) z = 1,2 2,5j, z 6 =? Zunächst bringen wir z auf die Polarform: r = 1,2 2 +2,5 2 = 2,7731 tan(φ) = 2,5 = 2,0833 φ = arctan( 2,0833) +2π = 5,160 1,2 Daher ist z = 1,2 2,5j = 2,7731e j 5,160 und nach der Formel von Moivre folgt weiter: z 6 = (2,7731e j 5,160 ) 6 = 2, e j6 5,160 = 454,77(cos(30,96)+j sin(30,96)) = 408,32 200,23j 48/60

51 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Potenzieren: Beispiele (4/4) Für r = 1 besitzt die Formel von Moivre die spezielle Form (cos(φ)+j sin(φ)) n = cos(nφ)+j sin(nφ) Aus dieser wichtigen Beziehung lassen sich z.b Formelausdrücke für cos(nφ) und sin(nφ) herleiten. (cos(φ)+j sin(φ)) 2 = cos(2φ)+j sin(2φ) cos(φ) 2 sin(φ) 2 +j (2cos(φ)sin(φ)) = cos(2φ)+j sin(2φ) Durch Vergleich der Real- bzw Imaginärteile auf beiden Seiten erhalten wir die folgenden trigonometrischen Formeln: cos(2φ) = cos(φ) 2 sin(φ) 2 = 2cos(φ) 2 1 sin(2φ) = 2 cos(φ) sin(φ) 49/60

52 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Radizieren (Wurzelziehen) Aus der Algebra ist bekannt, dass eine algebraische Gleichung n-ten Grades vom Typ a nx n +a n 1x n a 1x +a 0 = 0 höchstens n reelle Lösungen, auch Wurzeln genannt, besitzt. Werden jedoch auch komplexe Lösungen zugelassen, so gibt es genau n Lösungen. Fundamentalsatz der Algebra Eine algebraische Gleichung n-ten Grades a nx n +a n 1x n a 1x +a 0 = 0 besitzt in der Menge C der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen. 50/60

53 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Radizieren: Anmerkungen Die linke Seite der algebraischen Gleichung ist ein Polynom vom Grade n mit i.a komplexen Koeffizienten a i(i = 0,1,...,n). Es lässt sich auch im komplexen Zahlenbereich wie folgt in Linearfaktoren zerlegen: a nz n +a n 1z n a 1z +a 0 = a n(z z 1)(z z 2)...(z z n) z 1,z 2,...,z n sind dabei die n Polynomnullstellen, d.h. die n Lösungen der algrebraischen Gleichung. Bei ausschliesslich reellen Koeffizienten a i (i = 0,1,...,n) treten komplexe Lösungen immer paarweise auf, nämlich als Paare zueinander konjugiert komplexer Zahlen. Mit z 1 ist daher stets auch z 1 eine Lösung der Gleichung. 51/60

54 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Radizieren: Beispiel (1/2) Die algebraische Gleichung 3. Grades z 3 z 2 +4z 4 = 0 besitzt nach dem Fundamentalstatz genau drei Lösungen. Durch Probieren finden wir eine Lösung bei z 1 = 1. z 3 z 2 +4z 4 = (z 1)(z 2 +4) Die Nullstellen des 1.reduzierten Polynoms z 2 +4 liefern die beiden übrigen Lösungen: z 2 +4 = 0 z 2,3 = ±2j Die algebraische Gleichung 3. Grades besitzt somit eine reelle Lösung und zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen: z 3 z 2 +4z 4 = 0 z 1 = 1, z 2 = 2j, z 3 = 2j 52/60

55 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Radizieren: Beispiel (2/2) Das Polynom z 3 z 2 +4z 4 ist daher auch in der Produktform z 3 z 2 +4z 4 = (z 1)(z 2j)(z +2j) darstellbar (Zerlegung in Linearfaktoren). 53/60

56 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Die n-te Wurzel aus a: Beispiel (1/4) Lösungen der speziellen algebraischen Gleichung z n = a Eine komplexe Zahl z heisst eine n-te Wurzel aus a wenn sie der algebraischen Gleichung z n = a genügt (a C). Die Gleichung z n = a = a 0 e jα (a 0 > 0;n Æ) besitzt im Komplexen genau n verschiedene Lösungen (Wurzeln) z k = r(cos(φ k )+j sin(φ k )) = r e jφ k mit r = n α+k 2π a 0 und φ k = k = 0,1,..,n 1. n Die zugehörigen Bildpunkte liegen in der Gaussschen Zahlenebene auf dem Mittelpunktkreis mit dem Radius R = n a 0 und bilden die Ecken eines regelmässigen n-ecks. 54/60

57 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Die n-te Wurzel aus a: Beispiel (2/4) Die Gleichung z 6 = 1 hat genau sechs verschiedene Lösungen, deren Bildpunkte in der Gaussschen Zahlenebene an den Ecken eines regelmäss igen Sechsecks liegen. Sie lauten (a 0 = 1, α = 0): z k = cos(k 2π 6 )+j sin(k 2π 6 ) (k = 0,1,2,3,4,5) z 0 = 1 3 z 1 = 0,5+ 2 j = z5 3 z 2 = 0,5+ 2 j = z4 = 1 z 3 55/60

58 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Die n-te Wurzel aus a: Beispiel (3/4) Beispiel: Finden Sie alle L osungen der Gleichung z 3 = 1 3j Polardarstellung von w = 1 3j r = w = 1 2 +( 3) 2 = 4 = 2 { a = r cosg 1 = 2cosg b = r sing 3 = 2cosg ( ( ) ( )) 5π 5π w = 2 cos +j sin 3 3 { cosg = 1 2 sing = 3 2 g = (2π π 3 ) = 5π 3 Die Gleichung z 3 = w hat genau 3 Lösungen ( z k = 3 5π 3 2 cos +2kπ 5π +j sin +2kπ ) k = 0,1,2 56/60

59 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Die n-te Wurzel aus a: Beispiel (3/4) k = 0 z 0 = 3 2 k = 1 z 1 = 3 2 k = 2 z 2 = 3 2 ( cos 5π +0 5π 3 +j sin 3 ) = 3 ( 2 cos 5π 9 +j sin 5π 9 ( cos = 3 ( 2 cos 11π 9 ( cos π +2π 5π 3 +j sin 3 ) +j sin 11π 9 ) 3 +2π 3 5π +2 2π 5π 3 +j sin 3 ) = 3 ( 2 cos 17π 17π +j sin 9 9 ) π 3 ) 57/60

60 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Die n-te Wurzel aus a: Beispiel (4/4) Finden Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft z 6 = 3+j Lösung: Betrachte w = 3+j (a = Re(w) = 3,b = Im(w) = 1) 1) r = w = ( 3) = 4 = 2 { cosg = Quadrant g = π sing = ( w = 2 cos π 6 +j sin π ) 6 58/60

61 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Die n-te Wurzel aus a: Beispiel (4/4) 2) z k = 6 ( π 6 2 cos +2kπ +j sin 6 z 0 = 6 ( 2 cos π 36 +j sin π ) 36 π 6 +2kπ 6 ) k = 0,1,2,...,5 ( ) z 1 = 6 13π 13π 6 2 cos 6 +j sin 6 = 6 ( 2 cos 13π ) 13π +j sin z 2 = 6 ( π 6 2 cos +2 2π π +j sin +2 2π ) 6 = 6 ( 2 cos 25π z 3 = 6 ( π 6 2 cos +2 3π π +j sin +2 3π ) z 4 = 6 ( 2 cos 49π ) 49π +j sin z 5 = 6 ( 2 cos 61π 61π +j sin ). ) 25π +j sin 36 ) = 6 ( 2 cos 37π 37π +j sin /60

62 Potenzieren Radizieren Die n-te Wurzel aus a Ende von Kapitel 7 60/60