Physik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 3. Matthias Golibrzuch 16/03/16
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1 Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 3 Matthias Golibrzuch 16/03/16 Inhaltsverzeichnis Technische Universität München 1 Kohärenz 1 2 Beugung Huygenssches Prinzip Beugung am Spalt Mathematische Betrachtung Interferenz Interferenz am Doppelspalt Interferenz am Gitter Interferenz an dünnen Schichten Bragg Interferenz Interferometer
2 Inhaltsverzeichnis 4 Photoeffekt Experimenteller Aufbau Beobachtungen und Folgerungen
3 1 Kohärenz Besteht zwischen elektromagnetischen Wellen eine stabile Phasenbeziehung so nennt man diese kohärent. Dabei unterscheidet man zwischen zeitlicher und örtlicher Kohärenz. Zeitliche Kohärenz beschreibt die Phasenstabilität zwischen elektromagnetischen Wellen einer Lichtquelle zu verschiedenen Zeitpunkten. Örtliche Kohärenz bezieht sich hingegen auf die Phasenbeziehung an zwei separierten Punkten. Da es keine perfekt monochromatischen Lichtquellen gibt, ist das Licht einer Lichtquelle nicht ünendlich"kohärent. Man spricht von einer Kohärenzzeit τ c oder Kohärenzlänge L c, bis zu welcher die Quelle kohärent ist. Die Kohärenzzeit hängt von der spektralen Linienbreite ω der Lichtquelle ab. τ c = 1 ω (1) L c = c τ c (2) Kohärenz ist Voraussetzung um Interferenz-Phänomene beobachten zu können. 2 Beugung Beugung tritt auf, wenn eine einzelne Wellenfront durch ein Hindernis begrenzt wird. 2.1 Huygenssches Prinzip Das Huygenssche Prinzip beschreibt das Phänomen, dass von jedem Punkt einer Wellenfront eine einzelne Kugelwelle ausgeht. Abbildung 1 Abbildung 1: Veranschaulichung des Huygensschen Prinzips
4 2 Beugung 2.2 Beugung am Spalt Abbildung 2: Veranschaulichung der Beugung durch das Huygenssche Prinzip am Spalt mit Spaltbreite b Nun wollen wir uns speziell der Beugung an einem Spalt der Breite b widmen. Wir nehmen wie in Abbildung (2) an, dass auf der Breite des Spalts durch das Huygenssche Prinzip N Einzelwellen erzeugt werden. Wir betrachten jeweils Einzelstrahlen im Winkel θ. Der Gangunterschied zwischen zwei benachbarter Strahlen beträgt δ = b N sin θ und daraus ergibt sich eine Phasendifferenz zu: Φ = kδ = 2πb λn sin θ (3) Unter der Annahme von ebenen Wellen lässt sich die gesamt Amplitude durch Superposition der einzelnen Wellen bestimmen. N E = E 0 e i(ωt+φn) = E O e iωt N e i(n 1) Φ (4) n=1 n=1 Dies kann mit einer geometrischen Reihe vereinfacht werden. N e i(n 1) Φ = ein Φ 1 n=1 e i Φ 1 N Φ = e n 1 2 Φ sin( 2 ) sin Φ 2 (5) 2
5 2 Beugung Da wir unendlich viele Punktquellen im Spalt haben lassen wir für das exakte Ergebnis N gegen unendlich gehen. Wir können im Nenner dadurch Kleinwinkelnäherung machen und erhalten die Intensitätsverteilung durch integrieren. I(θ) = I 0 sin 2 ( πb λ sin(θ)) ( πb λ sin θ)2 (6) I(θ) = I 0 sin 2 ( πb λ sin(θ)) ( πb λ sin θ)2 (7) I 0 ist die gesamt Intensität, die aus dem Spalt kommt. Wir erhalten Minima bei den Nullstellen des Zählers ausgenommen θ = 0. Und Maxima bei den Maxima des Zählers. Für θ = 0 gilt lim I sin 2 ( πb λ sin(θ)) 0 θ 0 ( πb λ sin = I 0 (8) θ)2 Daher erhalten wir ein Hauptmaximum bei θ = 0. Für alle anderen Winkel gelten folgende Bedingungen für Minima und Maxima: Minima: sin θ = m λ b (9) Maxima: sin θ = (m ) λ b (10) Der Abstand zwischen erstem und zweitem Minimum wird oft als Breite des Hauptmaximums bezeichnet. Für optische Instrumente ist oft die Beugung an einer Lochblende entscheidend. Die Lösung des Beugungsintegrals für Lochblenden kann mit Hilfe der Besselsfunktion J 1 dargestellt werden. Damit kann man die Bedingung für erste Minimum aufstellen. sin θ min = 1, 22 λ 2R Zwei Objekte können gerade noch voneinander unterschieden werden, wenn sich ihre Beugungshauptmaxima nicht überlagern. Wenn also der Abstand zwischen ihnen gerade d = sin θ min l = 1, 22 λl 2R beträgt, wobei l der Abstand vom Betrachter ist. (11) (12) 3
6 3 Interferenz Abbildung 3: Unterscheidung der verschiedenen Beugungsbereiche 2.3 Mathematische Betrachtung Die oben betrachtete Beugung stimmt mit den Ergebnissen der Frauenhoferbeugung überein. Im allgemeinen muss Beugung mathematisch beschrieben werden. Dabei unterscheidet man 3 Bereiche der Beugung. Diese Unterscheidung ist in Abbildung(3) gezeigt. Auf genaue Rechnungen wollen wir hier nicht eingehen. 3 Interferenz Interferenz entsteht durch die Überlagerung von zwei oder mehreren Teilwellen. Bedingung ist die Kohärenz dieser Teilwellen. Dabei werden die elektrischen Felder addiert. Es addieren sich nicht die Intensitäten. Bei gleichphasigen Wellen kommt es zu konstruktiver bei gegenphasigen zu destruktiver Interferenz. konstruktive Interferenz: Φ = 2πm δ = mλ (13) destruktive Interferenz: Φ = π(2m + 1) δ = (2m + 1) λ 2 (14) 4
7 3 Interferenz Abbildung 4: Veranschaulichung der Geometrie beim Doppelspalt 3.1 Interferenz am Doppelspalt Wir betrachten einen Doppelspalt mit Spaltabstand g. Abbildung (4) zeigt den Verlauf der Strahlen. Die beiden Strahlen haben einen Gangunterschied δ(α) = g sin α. Daraus ergeben sich folgende Maximums bzw. Minimums Bedingungen: Maximum: sin α = d a = m λ g (15) Minimum: sin α = d a = (m ) λ g (16) Für die Intensitätsverteilung ergibt sich: sin 2 ( πb λ I(θ) = I sin(θ)) 0 cos sin θ)2 ( πb λ 2 ( πg λ sin θ) (17) Dies ist eine Überlagerung des Beugungsmusters mit der Beugung an einem Spalt. Die Interferenzmaxima/minima wird also durch die Beugungsintensität moduliert. Durch diese Modulation entstehen neben den Hauptmaxima/minima noch sogenannte Nebenmaxima/minima, welcher jedoch schwächer in der Intensität sind. 5
8 3 Interferenz 3.2 Interferenz am Gitter Die Intensitätsverteilung des Gitters ähnelt der des Doppelspalts. sin 2 ( πb λ I(θ) = I sin(θ)) sin 0 sin θ)2 ( πb λ 2 ( Nπg λ sin θ) sin 2 ( πg λ sin θ) (18) Auch hier wird das Interferenzmuster durch das Beugungsmuster am Spalt moduliert. Durch die große Anzahl der Spalte sind die Hauptmaxima schärfer und die Nebenmaxima verlieren an Intensität. Die Bedingungen für Maxima und Minima sind die gleichen wie beim Doppelspalt. 3.3 Interferenz an dünnen Schichten Abbildung 5: Wege des Lichts bei Interferenz an einer dünnen Schicht Fällt eine ebene Welle mit der Wellenlänge λ unter dem Einfallswinkel θ 1 aus einem Medium mit Brechungsindex n 1 auf eine planparallele dünne Schicht mit dem Brechungsindex n 2, so wird ein Teil der Welle reflektiert und ein Teil der Welle transmittiert. Der gebrochene Teil der Welle kann an der unteren Begrenzungsschicht erneut reflektiert und wieder an der oberen Schicht gebrochen werden. Der optische Weg der Strahlen stellt sich folgendermaßen dar. W 1 = n 1 2d tan θ 2 sinθ 1 (19) 2d W 2 = n 2 cos θ 2 (20) 6
9 3 Interferenz Der Gangunterschied δ ist dann 2d δ = W 2 W 1 = n 2 n 1 2d sin θ 2 sinθ 1 cos θ 2 cos θ 2 = 2n 2d cos θ 2 (1 sin 2 θ 2 ) (21) δ = 2n 2 d cos θ 2 Mit Gleichungen (13) und (14) erhält man die gewünschten Maximum/Minimum Bedingungen. 3.4 Bragg Interferenz Abbildung 6: Interferenz durch Reflexion an Kristall Schichten Bei der Reflexion an einem Kristallgitter wird nicht das komplette Licht an der obersten Schicht des Kristalls reflektiert ein Teil dringt auch zur nächsten Schicht vor und wird dort reflektiert. Dadurch ergeben sich zwei Teilstrahlen mit unterschiedlichem optischem Weg. Es gilt: x = 2d cot ϕcosϕ (22) b = d sin ϕ (23) 7
10 3 Interferenz Der Gangunterschied δ ist dann δ = 2b x = 2d sin ϕ 2dcos ϕ sin ϕ cosϕ = 2d sin ϕ (1 cos2 ϕ) δ = 2d sin ϕ (24) Daraus erhalten wir die Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz: mλ = 2d sin ϕ (25) 3.5 Interferometer Abbildung 7: Schematische Darstellung eines Fabry-Perot-Interferometers Ein Fabry-Perot-Interferometer ist eine Anordnung von zwei planparallen Platten die einseitig hochreflektierend verspiegelt sind. Die Rückseite ist hierbei entspiegelt. Das physikalische Prinzip hinter der gesamten Apparatur ist die Vielsstrahlinterferenz. Das ganze muss im Vakuum stattfinden. Der Abstand der Platten liegt meistens im cm-bereich. Trotzdem ist eine sehr genaue parallele Ausrichtung nötig um störende 8
11 3 Interferenz Reflexionen zu vermeiden. Um Interferenz zu erhalten müssen die oben erwähnten Bedingungen erfüllt werden (siehe (13) - (14)). Das Fabry-Perot-Interferometer erlaubt es Maxima bis hin zu mehreren zehntausend Ordnungen anzuzeigen, was dazu führt, dass man zum Beispiel die Wellenlänge des Lichts bis auf einige pm(10 12 m) genau bestimmen kann. Abbildung 8: Schematische Darstellung eines Michelson-Interferometers Beim Michelson-Interferometer fällt ein paralleles kohärentes Lichtbündel auf einen Strahlteiler der es in zwei Teilbündel aufspaltet. Der direkt reflektierte Teil wird um 45 auf einen hoch reflektierenden Spiegel abgelenkt, der den Strahl genau zurück reflektiert. Der transmittierte Strahl tritt unter 0 ebenfalls auf einen hoch reflektierenden Spiegel, welcher jedoch um ein paar tausendstel Grad verkippt ist. Nach der Reflexion an den hoch reflektierenden Spiegeln wird das Licht in einen Detektor gelenkt. Die berühmteste Anwendung des Michelson Interferometers ist die genaue Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit. Indem man eine Probe in den Strahlengang stellt, kann man 9
12 4 Photoeffekt diese auch für andere Medien bestimmen. Zu beachten ist allerdings wieder, dass man für konstruktive Interferenz einen Gangunterschied benötigt, der ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Außerdem muss die optische Weglänge kleiner sein als die Kohärenzlänge. 4 Photoeffekt 4.1 Experimenteller Aufbau Bescheint man ein Metall mit Licht so kann es für bestimmte Lichtfrequenzen zur Auslösung von Elektronen kommen. Dieses Phänomen lässt sich in einer Vakuum- Röhre nachweisen. Dabei bescheint man die Kathode mit Licht und misst den Strom zwischen Kathode und Anode. Die ausgelösten Elektronen werden durch die angelegte Spannung zur Anode beschleunigt und erzeugen einen Photostrom. Eine schematische Darstellung einer Photoröhre ist in Abbildung (9) gezeigt. Abbildung 9: Messaufbau zum Nachweis des Photoeffekts 10
13 4 Photoeffekt 4.2 Beobachtungen und Folgerungen Der Photostrom setzt erst bei einer bestimmten Schwellenfrequenz ein und zwar unabhängig von der Intensität. Die Schwellenfrequenz ist materialabhängig. Es wird bereits bei einer Gegenspannung U min ein Photostrom gemessen. Bei erhöhen der Spannung stellt sich bei einer materialspezifischen Spannung (W a /e) eine Sättigungsstromstärke ein. Die Sättigungsstromstärke steigt linear mit der Intensität an. Der Photostrom setzt instantan ein. Die Messungenauigkeit beträgt Sekunden Abbildung 10: Strom-Spannungs-Kennlinie für eine Photoröhre bei variierender Intensität oder Wellenlänge Führt man den Versuch mit verschiedenen Materialien und verschiedenen Frequenzen durch, so erhält man für die maximale Gegenspannung U min als Funktion der Frequenz immer Geraden der gleichen Steigung, allerdings unterschiedlichem Y-Achsenabschnitt. Die Gleichung dieser Gerade ist die Einstein Gleichung: e U min = E kin = h f W A (26) wobei e die Ladung des Elektrons, W A die Austrittsarbeit des verwendeten Materials und h das Plancksche Wirkungsquantum sind. Man sieht, dass sich das Plancksche Wirkungsquantum aus der Steigung der Gerade berechnen lässt h = E f 11
14 4 Photoeffekt Abbildung 11: Die Schwellenspannung U min als Funktion der Frequenz des einfallenden Lichts. Der Achsenabschnitt W A der Gerade ist materialspezifisch und entspricht der Austrittsarbeit. Die Steigung der Gerade ist materialunabhängig. Plancksches Wirkungsquantum h = 6, Js = 4, evs Energie eines Photons h f = hω Photonen sind Teilchen mit einer Energie E γ = h f welche Elektronen aus der Kathode heraus lösen. Die Photonenenergie muss größer als die Austrittsarbeit der Elektronen in der Kathode sein um einen Photostrom messen zu können. Die Energie eines Photons kann nicht teilweise abgegeben werden und Energie mehrerer Photonen können auch nicht summiert werden um ein Elektron zu lösen. Die überschüssige Energie E γ w A entspricht der kinetischen Energie der austretenden Elektronen. Da der Sättigungsstrom (Anzahl der Elektronen pro Zeit) proportional zur Lichtintensität ist, handelt es sich bei Licht um einen Teilchenstrahl (Intensität Anzahl Photonen pro Zeit und Fläche). 12
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