Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 2 Prof. Dr. J. Hartl

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Laura Schäfer
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1 Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 2 Prof. Dr. J. Hartl Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) 1. Die Gemeinde Fronhausen besteht aus drei Ortsteilen: Neudorf, Wulling und Marking. Aus Neudorf kommen 12 der Gemeinderäte von Fronhausen, aus Wulling 13 und aus Marking 25. Von den Gemeinderäten aus Neudorf haben vier ein Einkommen von 5000 Euro, vier ein Einkommen von Euro und vier ein Einkommen von 7000 Euro. Von den Gemeinderäten aus Wulling haben sechs ein Einkommen von 5000 Euro, einer ein Einkommen von Euro, fünf ein Einkommen von 7000 Euro und einer ein Einkommen von Euro. Alle Gemeinderäte aus Marking arbeiten in der gleichen Firma, und jeder hat ein Einkommen von Euro. a) Welche Möglichkeiten gibt es, ein mittleres Einkommen der Gemeinderäte jedes Ortsteils anzugeben? Welches mittlere Einkommen ergibt sich jeweils? b) Welches mittlere Einkommen ergibt sich bei den verschiedenen Vorgehensweisen aus a) jeweils für die Gemeinderäte von Fronhausen? Ist jeweils es möglich, das mittlere Einkommen der Gemeinderäte von Fronhausen aus den bekannten Anzahlen der Gemeinderäte jedes Ortsteils und aus den bekannten mittleren Einkommen der Gemeinderäte jedes Ortsteils zu berechnen? Wie kann man sich gegebenenfalls überlegen, dass das nicht möglich ist? Ortsteil Anzahl Gemeinderäte Einkommen Neudorf Wulling Marking a) Einige Möglichkeiten, ein mittleres Einkommen der Gemeinderäte jedes Ortsteils anzugeben: arithmetisches Mittel: Neudorf: = 1

2 Wulling: Marking: = = Median, Zentralwert, mittlerer Wert: Ordnet man die zwölf Werte für Neudorf der Größe nach, so liegt in der Mitte gerade der Wert (Eigentlich liegt in der Mitte gar kein Wert, weil bei einer geraden Anzahl von Werten in der Mitte eine Lücke ist, aber für diesen Fall nimmt man das arithmetische Mittel des vor der Lücke und des nach der Lücke stehenden Wertes, also 1 ( + ).) 2 Für Wulling erhält man als siebten von 13 Werten ebenfalls Für Marking ist der 13. von 25 Werten Der Modalwert, der Modus oder das Dichtemittel wäre der am häufigsten vorkommende Wert. Dieses Mittel ist für Neudorf nicht definiert, weil mehrere Werte gleich häufig vorkommen. Für Wulling ist der Modus 5000 Für Marking ist der Modus Das geometrische Mittel oder ein harmonisches Mittel zu bilden, erscheint hier nicht besonders sinnvoll. b) Das arithmetische Mittel des Einkommens der Gemeinderäte von Fronhausen erhält man aus den arithmetischen Mitteln für die einzelnen Ortsteile als gewogenes arithmetisches Mittel: = = Ordnet man die 50 Einkommenswerte aller Gemeinderäte von Fronhausen der Größe nach, so sind der 25. und der 26. Wert gleich, also der Median ebenfalls. Es ist aber Zufall, dass das zugleich der Median für alle Ortsteile ist. Da aus Marking die Hälfte aller Gemeinderäte 2

3 kommen und die alle 6ooo Euro verdienen, können Neudorf und Wulling am Median nicht mehr viel ändern. Auch wenn der Median in Neudorf und Wulling völlig anders aussähe, würde sich nichts am Median von Fronhausen ändern, vorausgesetzt, mindestens ein Stadtrat aus einem dieser beiden Ortsteile verdient noch Euro. der Modalwert für Fronhausen ist ebenfalls Euro. Er lässt sich offenbar nicht aus den Modalwerten der einzelnen Ortsteile berechnen, auch nicht, wenn die Anzahlen der Stadträte für jeden Ortsteil bekannt sind. Das geometrische und das harmonische Mittel wurden hier nicht berechnet, aber aus diesen Mitteln für die einzelnen Ortsteile könnte man das Mittel für Fronhausen berechnen. 2. In einem Käfig befinden sich zu Beginn eines Versuches 60 Ratten und 40 Meerschweinchen. Am Ende des Versuches sind 15 % der Ratten und 5 % der Meerschweinchen entwischt. a) Wieviele Prozent der Nagetiere sind am Ende des Versuchs entwischt? b) Welche Mittelbildung ist zu verwenden, wenn man aus dem Prozentsatz der entwischten Ratten und dem Prozentsatz der entwischten Meerschweinchen den Prozentsatz der entwischten Nagetiere berechnen will? Zu Beginn eines Versuches 60 Ratten und 40 Meerschweinchen. Am Ende des Versuches 15 % der Ratten und 5 % der Meerschweinchen entwischt. a) Wieviele Prozent der Nagetiere sind am Ende des Versuchs entwischt? Es sind zu Beginn des Versuches = 100 Nagetiere im Käfig. Davon sind am Ende des Versuchs entwischt: 60 15%+40 5% = 9+2 = 11, also 11%. b) Welche Mittelbildung ist zu verwenden, wenn man aus dem Prozentsatz der entwischten Ratten und dem Prozentsatz der entwischten Meerschweinchen den Prozentsatz der entwischten Nagetiere berechnen will? Entwischt sind 60 15% % % = % Zu verwenden ist das gewogene arithmetische Mittel mit den Anteilen der verschiedenen Nagetierarten am Tierbestand als Gewichten. 3

4 3. Gegeben sei die folgende Häufigkeitstabelle einer Stichprobe von 1293 Gewichten (in kg): Klassenintervall Klassenmitte absolute relative Häufigkeit Häufigkeit a) Zeichnen Sie das dazugehörige Histogramm (Säulendiagramm) der absoluten Häufigkeiten! b) Berechnen Sie die entsprechende Häufigkeitstabelle, wenn man gröber klassifiziert in die folgenden fünf Klassen: , , , , c) Zeichnen Sie das Histogramm zu b) in der Figur von a) unter Berücksichtigung des Prinzips der Flächentreue. a) Histogramm (Säulendiagramm) der absoluten Häufigkeiten siehe Tafelskizze. b) Häufigkeitstabelle, wenn man gröber klassifiziert in die folgenden fünf Klassen: , , , ,

5 Klassenintervall Klassenmitte absolute relative Häufigkeit Häufigkeit c) Histogramm zu b) in der Figur von a) unter Berücksichtigung des Prinzips der Flächentreue siehe Tafelskizze. 4. In folgender Tabelle sind Zeiten von 495 Teilnehmern an 100-Meter-Läufen in Sekunden angegeben. Ergänzen Sie die fehlenden Spalten. Klassen- absolute relative relative Summenmitte Häufigkeit Häufigkeit häufigkeit Summe Klassen- absolute relative relative Summenmitte Häufigkeit Häufigkeit häufigkeit Summe

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