Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens , 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)

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1 Serie Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab a + b 2 Hiweis: I eiem mathematische Beweis schließt ma die Behauptug aus bekate wahre Aussage ud icht umgekehrt. Schreibe Sie de Beweis sauber hi!. Aufgabe.2: Collatz-Vermutug 5 P Die Abbildug c: N N sei durch c := { 3 +, falls ugerade,, falls gerade, 2 defiiert. Die Etscheidug über die Richtigkeit der Vermutug, dass für jede beliebige Wahl vo N = {, 2, 3,...} die rekursiv defiierte Folge a :=, a k+ := ca k ab eier bestimmte Stelle i de Zyklus, 4, 2,, 4, 2,... eimüdet, wird Collatz-Problem oder 3x + -Problem geat ist z.b. =, erhalte wir direkt die Folge, 4, 2,, 4, 2,... ud gehört bislag zu de ugelöste Probleme der Mathematik. Prüfe Sie die Vermutug für = 9 ud = 7. Aufgabe.3: Zeige Sie per vollstädiger Iduktio: 5 P Für jedes N gilt k= kk + = +. Aufgabe.4: Zeige Sie per vollstädiger Iduktio: Für alle N mit 2 gilt 5 P k= k >.

2 Serie 2 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 2.: 5 P Susi Sorglos immt bei der Gierbak eie Kredit über Euro mit 0% Zise pro Jahr auf, um sich ei Auto zu kaufe. Sie zahlt de Kredit i jährliche Rate vo 500 Euro achschüssig ab. Wie lage wird sie zahle? Bereche Sie die Summe ihrer Eizahluge. Wieviel hätte sie am Ede gehabt, we sie die Rate jährlich achschüssig auf ei Koto mit 5% Zise pro Jahr eigezahlt hätte? Beachte Sie, dass die letzte Rate uter Umstäde kleier als 500 Euro sei ka. Aufgabe 2.2: 5 P Gebe Sie die Lösugsmege der Ugleichug als Vereiigug vo Itervalle a. 3 x + 2 < 2 3x Aufgabe 2.3: Sei K ei Körper. 5 P a Beweise Sie durch vollstädige Iduktio mit dem Distributivgesetz für y,..., y K ud x K die Gültigkeit vo x y j = xy j. j= j= b Beweise Sie durch vollstädige Iduktio i m N mit dem Distributivgesetz ud Teil a für y,..., y, x,..., x m K die Gültigkeit vo m x i y j = i= j= m x i y j. i= j= Aufgabe 2.4: Gruppe- ud Körperaxiome 5 P Auf der Mege Z der gaze Zahle seie die beide folgede Operatioe defiiert: Tropische Additio : Z Z Z, a, b a b := mia, b, Tropische Multiplikatio : Z Z Z, a, b a b := a + b. Beatworte Sie die folgede Frage ud beweise Sie alle Ihre Atworte: a Gelte für das Assoziativgesetz ud das Kommutativgesetz? b Gelte für das Assoziativgesetz ud das Kommutativgesetz? c Gilt für die Additio ud die Multiplikatio das Distributivgesetz? d Wird Z mit der tropische Additio ud der tropische Multiplikatio zu eiem Körper?

3 Serie 3 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 3.: 3 P Zur Kezeichug vo Kraftfahrzeuge wird i eier Regio ei System aus Buchstabe ud Ziffer verwedet, bei dem zwei Buchstabe vier Ziffer folge. Wie viele Möglichkeite der Kezeichug vo Kraftfahrzeuge gibt es isgesamt? Aufgabe 3.2: Ei festes 8-stelliges Passwortsystem sei ach folgede Regel aufgebaut: 5 P a Jedes Passwort besteht geau aus 8 Symbole. b Die zu verwedede Symbole sid die Ziffer 0 bis 9 ud die Buchstabe a-z ud A-Z. Kleie ud große Buchstabe sid als uterschiedliche Symbole betrachtet. c Es muss midestes eie Stelle gebe, die vo eier Ziffer belegt wird. Ma iterpretiere mit dieser Aufgabe kombiatorisch. 8 j= 8 0 j 52 8 j = j Aufgabe 3.3: 4 P Beweise Sie direkt mit der Biomische Formel!, dass für jede reelle Zahl x 0 ud jede atürliche Zahl 2 gilt + x 2 4 x2. Aufgabe 3.4: Wir betrachte die Ugleichug P + a j + a j. 3. j= j= a Zeige Sie mittels vollstädiger Iduktio, dass 3. gilt, we für alle a,..., a 0 a,..., a. b Zeige Sie mittels vollstädiger Iduktio, dass 3. gilt, we für alle a,..., a a,..., a 0. c Gilt 3. für alle a,..., a mit a,..., a?

4 Serie 4 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Bezeichug: Häufig verwedet ma bei der Agabe vo Nε die wie folgt defiierte Gaußklammer eglisch: floor fuctio: Zu x R sei x die größte gaze Zahl, die kleiergleich x ist eie solche existiert ach dem Archimedische Axiom. Machmal beutzt ma auch die Aufrudugsfuktio eglisch: ceilig fuctio, die eiem x R die kleiste gaze Zahl zuordet, die größergleich x ist, ud diese wird mit x bezeichet. Aufgabe 4.: 3+2 P a Beweise Sie die Kovergez der Folge a mit a = 5, idem Sie direkt die Defiitio des Grezwertes verwede, d.h. fide Sie ei a R ud zu jedem ε > 0 ei Nε N, mit dem für alle Nε die Ugleichug a a < ε gilt. b Bestimme Sie jeweils ei Nε für ε {0, 0 3, 0 6 }. Aufgabe 4.2: 2+2 P Bestimme Sie die Grezwerte der Folge c, d mit c Beweise Sie Ihre Aussage. = 3, d = Aufgabe 4.3: 4+2 P a Es sei a eie Folge reeller Zahle, die gege eie Grezwert a R kovergiert. Desweitere sei ϕ: N N eie ijektive Abbildug. Zeige Sie, dass da die durch b := a ϕ defiierte Folge b ebefalls gege a kovergiert. b Gebe Sie zwei Beispiele a, i dee ϕ: N N sogar eie Bijektio ist. Aufgabe 4.4: Sei a N eie kovergete Folge reeller Zahle mit Grezwert a. 4+ P a Zeige Sie, dass die durch b := bestimme Sie ihre Grezwert. a k gegebee Folge b N koverget ist ud k= b Ka ma aus der Kovergez vo b N auf die Kovergez vo a N schließe?

5 Serie 5 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 5.: Prüfe Sie, ob die folgede Grezwerte existiere ud bereche Sie sie ggf. 5 P a lim b lim c lim Hiweise zu c: Für a 0 gilt 4 a = a sowie a a 3 + a 2 + a + = a 4. Aufgabe 5.2: 5 P Prüfe Sie die Reihe 2 auf Kovergez ud bereche Sie ggf. ihre Grezwert. =2 Wiederholug: Es gilt der folgede Satz: a Jede ach obe beschräkte ud mooto wachsede Folge reeller Zahle kovergiert. b Jede ach ute beschräkte ud mooto fallede Folge reeller Zahle kovergiert. Vorbemerkug: Wir beutze u die Fuktio cos: R R. Ohe Beweis teile wir a dieser Stelle mit, dass für jede Folge a aus R mit lim a = a R auch lim cos a = cos a gilt. Dies dürfe Sie beim Löse der ächste Aufgabe verwede. Aufgabe 5.3: Sei x eie Folge mit x 0 ud x + = x cosx 2 für. 5 P a Zeige Sie mit dem obige Satz, dass x kovergiert. b Zeige Sie, dass der Grezwert der Folge x π eie gaze Zahl sei muss. c Bereche Sie für die Startwerte x = 6.2 bzw. x = 6.25 bzw. x = 6.29 die Afagsfolgeglieder x π, x 2 π,, x 0 π. Wiederholug: Sei a N eie reelle Zahlefolge ud a k k N eie Teilfolge. a Wir sage lim a existiert, we a kovergiert oder bestimmt divergiert. I alle adere Fälle sage wir lim a existiert icht oder a ist ubestimmt diverget. b Satz: Existiert lim a, so auch lim k a k, ud es gilt lim k a k = lim a. c Satz: Jeder Häufugspukt vo a k k N ist auch Häufugspukt vo a N. d Folgerug aus Bolzao-Weierstraß ud der Zusatzaufgabe 5.2: Jede reelle Zahlefolge besitzt eie Häufugspukt i R {, }. Aufgabe 5.4: Sei a eie reelle Folge. Beweise Sie: 5 P lim a existiert geau da, we die Folge a geau eie Häufugspukt h R {, } besitzt. Weiterhi gilt da lim a = h.

6 Serie 6 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 6.: 3 P Die reelle Zahlefolge a N ud b N seie rekursiv defiiert durch a = a > 0, b = b > 0 ud a + = a + b, b + = a b N 2 Beweise Sie, dass a N ud b N gege eie gemeisame Grezwert kovergiere. Bemerkug: Dieser gemeisame Grezwert wird als arithmetisch-geometrisches Mittel Ma, b bezeichet. Aufgabe 6.2: Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez: 5 P + a b c d! e a wobei a := { 2 falls 0 mod 2, 3 falls mod 2. Aufgabe 6.3: Zu a N existiere ei M R, so dass N: a M. Zeige Sie: 2+2 P a Für jedes x ], [ kovergiert die Reihe a x. b Für die durch fx := + a x gegebee ach Aufgabeteil a existierede Fuktio f : ], [ R gilt x ], [ : x < + M = fx > 0. Aufgabe 6.4: Zu a =, N, betrachte wir die Reihe 2+3 P N N S N N N = a ud T N N N = a τ, 2 + we = mod 3, N N N N 3 2 wobei die Abbildug τ : N N defiiert sei durch τ = 2 we = 2 mod 3, 3 4 we = 0 mod 3. 3 a Bereche Sie de Vektor τk 8 k= sowie S 2, T 8 ud T 8 S 2 2 auf 8 Stelle ach dem Komma. b Zeige Sie: i τ ist eie Bijektio N N. Folglich ist T N eie Umordug vo S N. ii Für alle N N gilt T 3N = S 2 2N iii lim T N = S S, wobei S > 0 de ach dem Leibiz-Kriterium existierede Grezwert 2 vo S N bezeiche. Aufgabe 6.5: 3 P Die harmoische Reihe divergiert bekatlich bestimmt gege. Ma streiche i der harmoische Reihe alle Glieder, bei dee die Dezimaldarstellug des Neers die Ziffer 7 ethält. Zeige Sie, dass die so erhaltee Reihe kovergiert.

7 Serie 7 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Wiederholug: Zu eier reelle Zahlefolge a N defiiere wir de Limes Superior als lim sup a := lim sup{ak : k } de Limes Iferior als lim if a := lim if{ak : k } wobei die lim stets im Sie der Kovergez bzw. der bestimmte Divergez existiere. Aufgabe 7.: Sei b N eie reelle Zahlefolge ud b R {, }. Zeige Sie: 2+2 P a lim sup b < b 0 N q < b N: 0 = b < q. b lim if b > b 0 N q > b N: 0 = b > q. Aufgabe 7.2: 3+2 P Bestimme Sie die Mege aller Häufugspukte, de Limes Superior ud de Limes Iferior für die achstehede Folge a ud b : a = , b = +. Aufgabe 7.3: Sei a N eie Folge reeller Zahle. Zeige Sie das Wurzelkriterium: P a lim sup b lim sup a < = a > = c N: a 0 lim sup a kovergiert absolut. a divergiert. a > = a divergiert bestimmt gege +. Aufgabe 7.4: Bestimme Sie geau die x R, für welche die folgede Reihe kovergiert: 5 P + 2 x

8 Serie 8 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 8.: Gegebe sei die Fuktio fx = 4x x, 0 x P a Zeige Sie 0 fx für jedes x [0, ]. Dabei köe wir f als Fuktio f : [0, ] [0, ] betrachte. b Bestimme Sie die Fixpukte der Abbildug f : [0, ] [0, ], d.h., bestimme Sie die Lösuge der Gleichug fx = x. c Bereche Sie die 3. iterierte Fuktio f 3 := f f f ud zeiche Sie de Graphe vo f 3 x. Aufgabe 8.2: 4 P Zeige Sie, dass ma sich i der Defiitio des rechtsseitige Grezwertes auf streg mooto fallede Folge beschräke ka, d.h., zeige Sie die Gültigkeit der Aussage lim fx = c a ist HP vo D ]a, [ ud x N aus D ]a, [: x a x N streg mooto lim x = a = lim fx = c Hiweise/Wiederholug: Wir ee p eie Häufugspukt HP eier Mege A, falls eie Folge x N N: x A \ {p} ud x p existiert. Die Defiitio des rechtsseitige Grezwertes lautet: mit lim x a fx = c : a ist HP vo D ]a, [ ud x N aus D ]a, [: Die Defiitio des liksseitige Grezwertes lautet: lim x = a = lim fx = c lim x a fx = c : a ist HP vo D ], a[ ud x N aus D ], a[: lim x = a = lim fx = c Aufgabe 8.3: 6 P Sei a ei Häufugspukt vo D ]a, [ ud vo D ], a[. Da gilt lim fx = c lim fx = c ud lim fx = c. x a x a x a Hiweis: Beachte Sie, dass wege c R {, } drei Fälle zu uterscheide sid. Aufgabe 8.4: Zu welche Parameter a, b R existiert eie stetige Fuktio f : R R mit 4 P x 2 we x oder x 2, fx := x ax + b we < x < 2? A dieser Stelle ee wir p eie Häufugspukt eier Mege A, falls eie Folge x N mit N: x A\{p} ud x p existiert.

9 Serie 9 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 9.: Zeige Sie für die Fuktio fx = P x a f ist stetig auf dem Itervall D = ]0, [. Verwede Sie dabei direkt die ε-δ-charakterisierug der Stetigkeit: y D ε > 0 δ = δy, ε > 0 x D : x y < δ = fx fy < ε b f ist icht gleichmäßig stetig auf dem Itervall ]0, ]; c f ist gleichmäßig stetig auf dem Itervall [, [. Aufgabe 9.2: Sei x R, N ud A 0 A...A der Polygoezug der Pukte 2+2+ P a Zeige Sie: Die Läge L = A k k= A k := e i k x, k = 0,.... A des Polygoezuges erfüllt L = 2 si k b Beweise Sie die Idetität lim 2 si c Zeige Sie: Im Fall x 0 gilt lim L = x. x = x. 2 x. 2 Bemerkug: I der Schule wird si Schule über die Verhältisse vo Seiteläge im rechtwikelige Dreieck defiiert. I der Vorlesug wird ab jetzt die Potezreihedefiitio six = Ime ix verwedet. Sei x ] 0, π 2 [. Wir betrachte das Dreieck, das durch die Pukte 0,, e ix der komplexe Zahleebee defiiert wird. Im Dreieck 0,, e ix ist die Läge der Hypoteuse ud die Läge der Gegekathete des Wikels zwische de Strecke 0, ud 0, e ix ist Ime ix. Die Größe dieses Wikels sei α. Nach klassischer Defiitio ist da si Schule α = Gegekathete Hypoteuse = Imeix = Ime ix. Der Begriff der Größe α des Wikels α ka exakt über de Begriff der Bogeläge des Eiheitskreisboges vo 0 bis e ix gefasst werde, aber icht bei userem jetzige Ketisstad. Weiter ka ma da zeige, dass lim L = α. Es ist auch heuristisch d.h. ohe exakte Begriff der Bogeläge sicher eisichtig, dass durch Verfeierug des Polygozuges sich dieser immer mehr a de Kreisboge aähert, also auch die Läge des Polygozuges sich a die Läge des Kreisboges. c besagt u, dass lim L = x. Damit ist α = x ud somit si Schule x = Ime ix. Damit stimme die klassische Defiitio ud die Defiitio über die Potezreihe six = Ime ix ix k ix k = Im = Im k! k! überei. k=0 Wiederholug: Zu jeder komplexe Zahl z 0 gibt es geau ei r > 0 ud geau ei ϕ [0, 2π[ mit z = rcos ϕ + i si ϕ = re iϕ. k=0 Aufgabe 9.3: Bestimme Sie de Radius r > 0 ud de Wikel ϕ [0, 2π[ für ++2 P a z = i, b z 2 = 3i, c z 3 = i. Aufgabe 9.4: Löse Sie über C die Gleichuge 2+3 P a z 2 = i b z 3 = + i.

10 Serie 0 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 0.: +2++ P I welche Pukte x R sid die folgede Fuktioe differezierbar? Bestimme Sie i diese Pukte jeweils die Ableitug mit Hilfe der Defiitio der Differezierbarkeit! f x := x 3, f 2 x := x N, f 3 x := x, f 4x := x 2. Aufgabe 0.2: 4+ P 0 falls x >, Beweise Sie die Differezierbarkeit vo g : R R, x x 3 3x + 2 falls x [, ], 4 falls x <. Bestimme Sie die Ableitug. Ist die Fuktio stetig? Aufgabe 0.3: Bereche Sie ach geeigeter Umformug mit der Regel vo L Hospital P a lim m m m2 + b lim x lx c lim + a x für a R. x 0 x x Aufgabe 0.4: 4 P +5 ZP a Beweise Sie de Satz vo Cauchy auch verallgemeierter Mittelwertsatz geat: Seie f, g : [a, b] R im offee Itervall ]a, b[ differezierbare ud i de Radpukte a, b stetige Fuktioe. Weiter gelte g x 0 für alle x ]a, b[. fb fa Da ist gb ga ud es gibt ei ξ ]a, b[ mit gb ga = f ξ g ξ. b Sei 0 q < ud f ]q, [ R differezierbar mit lim f x = c R {, }. x fx Beweise Sie, dass da auch lim x x = c. Bemerkug: Es hadelt sich um eie iteressate Spezialfall der Regel vo L Hospital. Diese dürfe Sie beim Beweis atürlich icht! beutze, da wir diese Aussage beim Beweis der Regel vo L Hopital beutzt habe!

11 Serie Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe.: Sei a R, a < b R { }, f : [a, b[ R differezierbar ud lim x b fx existiere. a Zeige Sie: f hat ei globales Maximum x 0 I := [a, b[ mit lim x b fx fx 0. b Zeige Sie: f hat ei globales Miimum x 0 I := [a, b[ mit lim x b fx fx 0. c Zeige Sie: Alle globale Extrema liege i K = {x I : f x = 0} {a}, wobei I := [a, b[ sei. Aufgabe.2: Utersuche Sie folgede Fuktioe auf lokale/globale Extrema 2+2 P a f : [ 3, 3[ R, x 2 xe x2 b g : ], 4] R, x 3 + 3x + x 2 e x Aufgabe.3: 3+ P a Zeige Sie die Differezierbarkeit der Fuktio f : [ 2π ] {, 0 e x si für x [ 2 x π R, x, 0[, 0 für x = 0. Etscheide ud bestimme Sie gegebeefalls die lokale ud globale Maximalstelle ud Maxima sowie die lokale ud globale Miimalstelle ud Miima der Fuktio f. b Wie sieht es aus, we wir stattdesse die Fuktio g : [ 2π ] {, 0 e x si für x [ 2 x π R, x, 0[, 0 für x = 0, betrachte. Aufgabe.4: 2+2 P I welchem Verhältis müsse bei eiem Zylider mit Kreis als Grudfläche der Durchmesser dieses Grudflächekreises ud die Höhe des Zyliders stehe, damit bei gegebeem Volume die Oberfläche des Zyliders miimal wird? Aufgabe.5: 2+2 P a Etscheide ud bestimme Sie gegebeefalls die lokale ud globale Maximalstelle ud Maxima sowie die lokale ud globale Maximalstelle ud Maxima der Fuktio fx = 2 3x + x x + x 2, x R. b Sei > 0. Beweise Sie, dass die Fuktio f : ]0, [ R, x x e x geau a der Stelle x = ihr absolutes Maximum aimmt.

12 Serie 2 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 2.: 2+2 P Susi Sorglos hatte eie Kredit über Euro mit 0% Zise pro Jahr aufgeomme, um sich ei Auto zu kaufe. Sie zahlte de Kredit i jährliche Rate vo 500 Euro achschüssig ab. Dabei musste sie 2 Jahre zahle wobei die letzte Rate geriger war als 500 Euro. Nach 9 Jahre ist das Auto edgültig schrottreif. Wie hoch hätte die Zise seie dürfe, damit sie bei sost gleiche Koditioe de Kredit ach 9 Jahre abbezahlt hätte? Hiweis: Gesucht ist eie Lösug p > 0 der Gleichug p p9 p = 0. Bestimme Sie dazu eie Nullstelle der Fuktio fp = 0000 p + p p 9 mit dem Newto-Verfahre mit Startwert p 0 = 0. ud vier Newto-Iteratioe. Aufgabe 2.2: 5 P Es seie I ud J Itervalle, f : I J kovex ud g : J R mooto wachsed ud kovex. Zeige Sie, dass die Fuktio g f : I R ebefalls kovex ist. Hiweis: Über die Differezierbarkeit der Fuktioe sei ichts bekat! Aufgabe 2.3: Gegebe sei die Fuktio fx = e 2x x 2 2x 55, x R. 5 P a Bestimme Sie die Itervalle, i dee die Fuktio mooto fällt bzw. wächst. b Bestimme Sie die Itervalle, i dee die Fuktio kokav bzw. kovex ist. c Bestimme Sie ggf. die lokale ud globale Maximalstelle ud Maxima sowie die lokale ud globale Miimalstelle ud Miima der Fuktio sowie ihre Wedepukte. Aufgabe 2.4: 5 P Es sei Gx,..., x = x... x das geometrische Mittel ud Ax,..., x = x x das arithmetische Mittel. Zeige Sie die Ugleichug vo Ky Fa: Es seie N ud x,..., x ] 0, 2[. Da gilt Gx,..., x G x,..., x Ax,..., x A x,..., x. Hiweis: Betrachte Sie fx = l x lx, x ] 0, 2[.

13 Serie 3 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 3.: 5 P Seie a, b R mit 0 < a < b. Bestimme Sie das Itegral b a x dx als Grezwert der Riemasche Obersumme für die Fuktio x, x [a, b], bzgl. der Uterteilug durch die Pukte x k = a + b a k 2, k = 0,...,. Aufgabe 3.2: 5 P Seie a, b R mit 0 < a < b. Bestimme Sie als Grezwertes vo Riema-Summe b fξ k x k x k k= de Wert des Itegrales a x dx wie folgt: Betrachte Sie die äquidistate Zerlegug Z 2 mit x k := a + d k, k = 0,, 2,...,, d := b a, ud als ξ k := x k x k das geometrische Mittel vo x k ud x k. Aufgabe 3.3: 5 P Bereche Sie das bestimmte Itegral Tipp: Substitutio y := x + 9 x 2 + 0x + 9 x + dx. Aufgabe 3.4: 5 P } Bereche Sie de Flächeihalt der Ellipse E := {x, y R 2 : x2 a + y2 2 b. 2 Aküdigug: Die Klausur Aalysis I fidet am Freitag, de 26. Jauar 2007, vo Pukt :00 Uhr bis 2:30 Uhr im HS III, Parkstr. 6, ud im HS I, Parkstr. 6, statt. Bei de Klausure sid außer Papier, Kugelschreiber ud eier hadelsübliche Formelsammlug keie weitere Hilfsmittel wie z.b. Aufzeichuge der Vorlesuge oder Übuge, Tascherecher, Notebooks, Hadys zugelasse. Wir empfehle och mal auf der Seite decker/aalysis.html vorbeizuschaue ud die dort veröffetlichte Wiederholuge ud Zusatzaufgebe mit Lösuge sowie die Lösuge der Übugsblätter als Vorbereitug durchzusehe ud damit icht zu spät zu begie. Eie Musterklausur wird gege Ede der Woche auf der obige Webseite veröffetlicht.

14 Serie 4 Abgabetermi: spätestes , 09:00 Uhr Aufgabe 4.: 5 P a Sei f : R R i eier Umgebug vo x R differezierbar ud i x selbst zweimal differezierbar. Zeige Sie mittels der Regel vo L Hospital die Gültigkeit vo fx + h 2fx + fx h lim = f x. 4. h 0 h 2 b Zeige Sie, dass für die durch fx := x x defiierte Fuktio der Limes auf der like Seite i 4. bei x = 0 existiert, obwohl die Fuktio icht zweimal differezierbar im Nullpukt ist. Aufgabe 4.2: 5 P Sei a, b R mit a < b. Eie Uterteilug P des Itervalls [a, b] ist ei +-Tupel x 0,..., x vo x k [a, b] mit a = x 0 < x <... < x = b. Die Mege aller Uterteiluge vo [a, b] sei P[a, b]. Sei a < b ud f : [a, b] R eie beschräkte Fuktio. Da ka ma zu jeder Uterteilug P = x 0, x,..., x P[a, b] des Itervalls [a, b] die Riemasche Obersumme OS P, f := k= sup x ]x k,x k [ fx x k x k 4.2 ud die Riemasche Utersumme US P, f := if fx x k x k 4.3 x ]x k,x k [ k= defiiere. Aus der Defiitio sehe wir sofort, dass für jede Wahl vo P offebar US P, f b a fxdx b gilt. Zeige Sie: Für jede beschräkte Fuktio f : [a, b] R gelte a fxdx OS P, f 4.4 b a fxdx = sup US P, f Z Z[a,b] sowie b a fxdx = if OS P, f 4.5 P P[a,b] Aufgabe 4.3: 5 P Bereche Sie das bestimmte Itegral x 3 x x dx. Aufgabe 4.4: 5 P Seie a, b R, a < b ud I = [a, b]. Weiter sei f eie Folge Riema-itegrierbarer Fuktioe f : I R, die gege ei f : I R gleichmäßig kovergiere, d.h., lim sup f x fx = 0. x I b Zeige Sie, dass auch f Riema-itegrierbar ist ud lim f a dx = b fx dx. a