Lehrstuhl für Finanzierung Universitätsprofessor Dr. Jochen Wilhelm

Transkript

1 Lehrstuhl für Finanzierung Universitätsprofessor Dr. Jochen Wilhelm A b s c h l u s s k l a u s u r z u r V o r l e s u n g K a p i t a l m a r k t t h e o r i e W i n t e r s e m e s t e r / F e b r u a r Bearbeitungshinweis: Skizzieren Sie in jeder der nachfolgenden Teilaufgaben Ihren Lösungsweg zunächst verbal bzw. unter Verwendung der üblichen Abkürzungen. Erst nach der Beschreibung des Lösungswegs soll die nummerische Berechnung durchgeführt werden. Viel Erfolg! Aufgabe (Bearbeitungszeit 90 Minuten) Es wird ein Kapitalmarkt unter Unsicherheit mit fünf gleich wahrscheinlichen Zuständen, zwei risikobehafteten Wertpapieren und einer risikofreien Anlage betrachtet. Der Zinssatz der risikofreien Anlage beträgt r 0.1. Die Rückflüsse der unsicheren Wertpapiere ergeben sich aus folgender Tabelle: im Zustand S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 Rückfluss von WP WP

2 Das Marktportfolio sei gegeben als 100 x M. 100 a) Berechnen Sie das Preissystem im Gleichgewicht des CAPM, wenn die Marktteilnehmer insgesamt GE riskant investieren wollen! Welche Wirkung hat eine um 10 % höhere Investition in das Marktportfolio unter sonst unveränderten Bedingungen auf die Preise der einzelnen Wertpapiere? Interpretieren Sie die Preisänderung! Es gibt für ein Wirtschaftssubjekt nicht marktfähiges Einkommen h der folgenden Unsicherheitsstruktur: im Zustand Nicht marktfähiges Einkommen S 1 S 2 S 3 S 4 S b) Berechnen Sie die Struktur des aus der Vorlesung bekannten Hedge Portfolios (Korrektur Portfolios) bei der Formulierungsvariante des CAPM mit nicht marktfähigem Einkommen, das dieser Anleger realisiert! c) Man betrachtet einen Anleger mit obigem nicht marktfähigen Einkommen h. (i) Der Anleger kombiniert 1 % des Marktportfolios mit seinem Korrektur Portfolio. Berechnen Sie den Betrag, den er investiert, den Erwartungswert des Gesamt Rückflusses, die Standardabweichung (das Risiko) seiner gesamten Position. (ii) Angenommen, der Anleger versucht, bei gleichem Budget wie in (i) und gleichem Erwartungswert des Rückflusses wie in (i) sein Portfolio lediglich durch das Marktportfolio und die sichere Anlage zusammenzustellen. Wie hoch ist in diesem Fall die Standardabweichung seiner gesamten Position? Auf welchen Effekt ist das veränderte Risiko im Vergleich zu Teilaufgabe (i) zurückzuführen?

3 Lösung von a) Die Preisgleichung des CAPM lautet: P r E [Z] E [w M(1)] (1 + r) w M (0) Var [w M (1)] Dabei werden die folgenden Bezeichner verwendet: C x M }{{} Cov[Z,w M (1)] P 0 : Preis im Anfangszeitpunkt t 0. r: Risikoloser Zins. Z: Preis im Liquidationszeitpunkt t 1, also die Zahlung. w M (0): Preis des Marktportfolios in t 0. w M (1): Preis des Marktportfolios in t 1. C: Kovarianzmatrix der unsicheren Wertpapiere. x M : Stückzahlenvektor des Marktportfolios. Aus den unsicheren Zahlungen der Wertpapiere errechnet man den Erwartungswert E [Z]: Zahlungen der Wertpapiere WP WP d. h E [Z] 93 Die um die Erwartungswerte bereinigten Zahlungen der Wertpapiere liefern die Kovarianzmatrix C: Bereinigte Zahlungen WP WP d. h C

4 Weiter folgt: E [w M (1)] (1 + r) w M (0) Var [w M (1)] ( ) Cov [Z, w M (1)] Eingesetzt gilt: P ( ) Werden 10 % mehr bezahlt so folgt: ( ) P0 neu Interpretation der Preisänderung: P r E [Z] E [w M(1)] (1 + r) w M (0) Cov [Z, w M (1)] Var [w M (1)] }{{} }{{} B A Steigt w M (0), so fällt c. p. die Größe A. Bei positiver Kovarianz B fällt A B, weshalb der Preis steigt (wie im Beispiel). Bei negativer Kovarianz B fällt der Preis. Die höhere ( Geld )Nachfrage bei gleichem ( Brief )Angebot treibt die Preise für Wertpapiere mit positiver Korrelation zum Marktportfolio in die Höhe. Bei negativer Korrelation würde der betreffende Preis allerdings sinken. Lösung von b) Wir wissen, dass ein Investor mit nicht marktfähigen Einkommen das Portfolio x λ x M C 1 C h }{{} Korrektur Portfolio x h investiert, wobei λ ein individueller Parameter und C h Cov [Z, h] die Kovarianz zwischen den Wertpapieren und dem nicht marktfähigen Einkommen ist. Es gilt E [h] 480, woraus die bereinigten Zahlungsströme folgen: 4

5 Bereinigte Zahlungen Z 1 E [Z 1 ] Z 2 E [Z 2 ] h E [h] C h Weiter folgt: Lösung von c) x h C 1 C h ( ) Es gelten die Preise P Das Portfolio x des Anlegers, der 1 % des Marktportfolios mit seinem Hedge Portfolio kombiniert, setzt sich wie folgt zusammen: x Der riskant investierte Betrag beträgt: Aus den Zahlungsströmen der Wertpapiere und dem exogenen Einkommen ermittelt man den Zahlungsstrom des Investors: S 1 S 2 S 3 S 4 S Σ

6 Daraus errechnet man leicht den Erwartungswert E, die Varianz V ar und die Standardabweichung σ. Es gilt: E V ar σ (Risiko gehedgt ) Nun will der Investor bei gleichem Budget denselben erwarteten Rückstrom erreichen, ohne sein Korrektur Portfolio einzusetzen, d. h. lediglich durch Investition in das Marktportfolio und in die sichere Anlage. Er investiert in das Portfolio y λ x M mit dem Preis λ 100 ( ) λ Der Erwartungswert aus dem Portfolio y beträgt λ 100 ( ) λ Damit der gleiche Gesamt Erwartungswert wie vorher erreicht wird, muss gelten: λ ( λ) λ y Der riskant investierte Betrag beträgt: ( ) Der risikolos investierte Betrag beträgt: Aus den Zahlungsströmen der Wertpapiere, der sicheren Anlage und dem exogenen Einkommen ermittelt man den Zahlungsstrom des Investors: 6

7 S 1 S 2 S 3 S 4 S Σ Daraus errechnet man leicht den Erwartungswert E, die Varianz V ar und die Standardabweichung σ. Es gilt: E V ar σ (Risiko ungehedgt ) Bei einer Investition ins Korrektur Portfolio macht sich der Hedge Effekt bemerkbar. Bei gleichem Budget und gleichem erwarteten Gesamt Rückstrom wird ein geringeres Risiko und damit eine dominierende Strategie realisiert. 7