Allgemeine Relativitätstheorie

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Sigrid Ritter
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1 Allgemeine Relativitätstheorie Eine anschauliche Einführung in die Grundlagen

2 Wegelemente euklidischer Raum: Minkowski-Raum: y c t ds dy ds 2 =dx 2 dy 2 ds c d t ds 2 =c 2 dt 2 dx 2 dx x invariant bei Drehungen dx x invariant bei Lorentz- Transformationen 3-dimensional: ds 2 =dx 2 dy 2 dz 2 1 dx dy 0 0 dz ds 2 = dx dy dz ds 2 =g ab dx a dx b Euklidische Metrik 4-dimensional: ds 2 =c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz dt ds = c dt dx dy dz 1 dx dy c dz ds 2 = dx dx Minkowski-Metrik

3 Beschleunigte Bezugssysteme Beispiel: rotierendes Bezugssystem y' y ω t x' x x=x ' cos t ' y ' sin t ' y =x ' sin t ' y ' cos t ' z=z ' t=t ' Wegelement im rotierenden System: ds 2 = c 2 2 x ' 2 y ' 2 dt ' 2 2 y ' dx ' dt ' 2 x ' dy ' dt ' dx ' 2 dy ' 2 dz ' 2 In beschleunigten Bezugssystemen ist das Wegelement von komplizierterer Form als in einem Inertialsystem. Die Metrikkoeffizienten sind im allgemeinen Funktionen der Koordinaten: ds 2 = g ab (x,y,z,t) dx a dx b

4 Masse: experimenteller Befund: schwere Masse und träge Masse sind gleich Inertialsystem: Bezugssystem, in dem das 1. Newton'sche Gesetz (Trägheitsprinzip) gilt. Beobachtungen in Raumschiffen und Raumstationen zeigen: In einem Gravitationsfeld frei fallende Bezugssysteme sind Inertialsysteme.

5 Äquivalenzprinzip Die Vorgänge in beschleunigten Bezugssystemen und in Gravitationsfeldern sind einander äquivalent. Durch Messungen innerhalb eines Labors kann man nicht unterscheiden, ob sich dieses in einem Gravitationsfeld befindet oder aus einer anderen Ursache konstant beschleunigt wird. Gleichwertige Formulierung: In Lokalen Inertialsystemen ( Satellitenlabor ) gelten die bekannten Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie ohne Gravitation.

7 Linienelement im Gravitationsfeld ohne Gravitation/Beschleunigung: flache Raumzeit, Minkowski-Metrik ds 2 = dx dx mit Gravitation/Beschleunigung: gekrümmte Raumzeit, kompliziertere Metrik ds 2 =g x dx dx Analogie: ebene Fläche gekrümmte Fläche v = 0 v = 1 v = 2 s r z.b. Ebene im Raum θ r dθ dθ r z.b. Kugelfläche ds u = 0 φ dφ u = 1 u = 2 x=u r v s r sin(θ) r sin(θ) dφ ds 2 =du 2 dv 2 ds 2 = du dv du dv ds 2 =r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2 ds 2 = d d r r 2 sin 2 d d

8 Feldgleichungen Newton: Einstein: Grundsatz: Ursache der Gravitation ~ Masse beschrieben durch Potential Kraft ~ Änderung des Potentials lokale Formulierung:: Quellstärke der Gravitation = Quellstärke der Potentialänderung ~ Dichte Grundsatz: Ursache der Gravitation ~ Energie- und Impulsfluss beschrieben durch Metrikkoeffizienten Gravitation entspricht Krümmung der Raumzeit lokale Formulierung:: Krümmung = Änderung der Metrikkoeffizienten ~ Energie- und Impulsfluss r =4 G r G = 8 G c T 4

9 Lineare Näherung in schwachen Feldern ds 2 =c 2 dt d x 1 2 c 2 c 2 r = G M r Newton'sches Gravitationspotential Oberfläche von M /kg r /km 2 /c 2 Erde 5, , , Sonne 1, , , Weißer Zwerg 1, , Neutronenstern 1, ,0 10 1

10 Verhalten von Uhren z.b. Sonne R S ruhende Uhr ruhende Uhr ds 2 =c 2 d 2 2 c 2 d 2 =c 2 d t 1 2 c 2 dt= d 1 2 c 2 dt d 1 c 2 dt d 1 c 2 d ds 2 =c 2 dt c 2 In der Umgebung schwerer Massen ist der Gang von Uhren im Vergleich zu einer im Unendlichen ruhenden Uhr um den Faktor (1 φ/c 2 ) verlangsamt.

11 Verhalten von Maßstäben z.b. Sonne R S ruhender Maßstab ruhender Maßstab ds 2 =d 2 ds 2 =d x 2 d 2 =d x 1 2 c 2 dx= d 2 1 c 2 dx d 1 c 2 dx d 1 c 2 d c 2 Maßstäbe, die von in die Umgebung schwerer Massen gebracht werden, schrumpfen im Vergleich zu den bei befindlichen Maßstäben um den Faktor (1 + φ/c 2 ).

12 Gravitationsrotverschiebung Beispiel: Von der Oberfläche eines Sterns (A) wird Licht der Frequenz f A ausgesandt. Am Ort B wird dieses Licht mit einer Frequenz f B empfangen. Voraussage der ART: f A f B f A = B A = r B r A A c 2 B A Rotverschiebung Bestätigung durch Messungen an der Sonne und an Quasaren

13 Gravitationsrotverschiebung (2) Erste terrestrische Messung: Pound/Rebka/Snider (1962/65) homogenes Gravitationsfeld: y =g y h 0 =g h h=22,5 m f A f B = g h f A c = 9,81m/s2 22,5m =2, m/s wurde experimentell bestätigt

14 Lichtablenkung Voraussage der ART: Lichtstrahlen erfahren im Gravitationsfeld eine Ablenkung. Erste Beobachtungen: Lichtstrahlen von Sternen, die den Rand der Sonne streifen (sichtbar bei Sonnenfinsternissen) vorausgesagter Ablenkungswinkel: =1,75' ' experimentell bestätigt weitere experimentelle Bestätigungen durch Messungen an Quasaren

15 Periheldrehung Die Newton'sche Gravitationstheorie sagt für die Bahnkurven von Planeten Ellipsen voraus. In der ART ergibt sich eine kleine Abweichung von der geschlossenen Ellipsenbahn, die als Drehung der Ellipse beschrieben werden kann. Experimentell wird sie als Winkeländerung ϕ des sonnennächsten Bahnpunkts, des Perihels, beobachtet. Beispiel Merkur: Die ART ergibt ϕ = 43'' pro Erdjahrhundert, in Übereinstimmung mit experimentellen Daten.

16 Radarechoverzögerung Ein von der Erde ausgesandtes Radarsignal kann von einem anderen Planeten reflektiert und auf der Erde wieder empfangen werden. Passiert der Radarstrahl dabei das Gravitationsfeld der Sonne, so trifft das Echo zeitlich verzögert ein. Diese Änderung der Laufzeit kann experimentell beobachtet werden. Beispiel: Erde - Mars Messung: ART: t=2 2 G M S c ln a E a M 3 2 R S =220 s

17 Wo wird die ART benötigt? Korrekturen/Erweiterungen der Newton'schen Gravitationstheorie Erklärung von Gravitationslinsen Voraussage von Gravitationswellen Theorie des Sternaufbaus und der Sternentwicklung Beschreibung von Schwarzen Löchern / Quasaren Kosmologie: Aufstellen von Weltmodellen, welche die zeitliche Entwicklung der Materieverteilung und des Gravitationsfeldes des Kosmos beschreiben

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