Mathematik verstehen Beispiele aus der Stochastik

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1 Mathematik verstehen Beispiele aus der Stochastik Wilhelm Stannat Fachbereich Mathematik TU Darmstadt February 1, 2007

2 Stochastik = Wahrscheinlichkeitstheorie + Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie = Mathematische Theorie des Zufalls Statistik = Beschreibung und Auswertung von Daten Begründet wurde die Stochastik durch das Interesse an Glücksspielen von Blaise Pascal (1623/1662)

3 Das klassische Ruinproblem Stellen Sie sich folgende Situation vor Sie benötigen sofort 80 - haben aber nur 10 zur Verfügung Um zu 80 zu kommen, beschließen Sie, eine Spielbank aufzusuchen, und Ihr Glück am Roulettetisch zu versuchen

4 Am Roulettetisch verfolgen Sie folgende Strategie: Sie setzen stets 1 auf Rot und beenden das Spiel sobald 80 zusammengekommen sind Frage Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alles zu verlieren ohne überhaupt die 80 zusammenzubekommen? Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnet man als Ruinwahrscheinlichkeit

5 Das Ruinproblem in der Schadensversicherungsmathematik a = Prämieneinnahmen pro Jahr S n = Schadenssumme im Jahr n i = Anfangskapital Z n (i) = i + n a n k=1 S k = Risikoreserveprozess zugehörige Ruinwahrscheinlichkeit P [ Z n (i) 0 für ein n 1 ]

6 Die mathematische Beschreibung des Ruinproblems Wahrscheinlichkeit für Verdoppelung des Einsatzes von 1 Anzahl der roten Felder = = < Anzahl aller Felder Bezogen auf Ihr Gesamtkapital bedeutet das

7 Nach dem zweiten Spiel

8 Vier Spielverläufe

9 Der Spielgewinn als zufällige Irrfahrt Kapital Im folgenden R(i) = P ( Spieler geht mit Anfangskapital i bankrott) = Ruinwahrscheinlichkeit bei Anfangskapital i Offensichtlich R(0) = 1 R(80) = 0

10 Was gilt für i zwischen 1 und 79? i+1 37 i i-1 { Bankrott mit Anfangskapital i } = { Spieler gewinnt 1. Spiel und Bankrott mit i+1 } { Spieler verliert 1. Spiel und Bankrott mit i-1 }

11 Also R(i) = P ( Bankrott mit Anfangskapital i ) = P ( Spieler gewinnt 1. Spiel und Bankrott mit i+1 ) + P ( Spieler verliert 1. Spiel und Bankrott mit i-1 ) = P ( Spieler gewinnt 1. Spiel ) P ( Bankrott mit i+1 ) + P ( Spieler verliert 1. Spiel ) P ( Bankrott mit i-1 ) = 19 R(i + 1) + R(i 1) Zum Beispiel R(1) = 37 R(2) R(0) = R(2)

12 Zusammengefasst erhalten wir ein Gleichungssystem R(0) = 1 und R(80) = 0 ( Randbedingungen ) R(i) = 19 R(i + 1) + R(i 1) für i = 1,..., 79 (1) 37 37

13 Lösung des Gleichungssystems Es gilt also (1) äquivalent zu R(i) = 19 R(i) R(i) 19 (R(i) R(i + 1)) = (R(i 1) R(i)) R(i) R(i + 1) = 19 (R(i 1) R(i))

14 Insbesondere i = 1 R(1) R(2) = 19 (R(0) R(1)) i = 2 R(2) R(3) = 19 (R(1) R(2)) = ( 19 ) 2 (R(0) R(1))... i = 79 R(79) R(80) = ( 19 ) 79 (R(0) R(1)) Andererseits R(0) R(80) = }{{} =1 79 i=0 79 R(i) R(i + 1) = ) 80 = 1 ( (1 R(1)) i=0 ( ) 19 i (R(0) R(1))

15 Auflösen nach R(1) ergibt R(1) = ( ) = 19 ( 19 1 ( 19 ) 80 ) 80 Für R(2) folgt R(2) = R(2) R(1) + R(1) ) 80 = ( ) ( 19 1 ( ) = }{{}}{{} =R(2) R(1) =R(1) ( 19 ) 2 ( 19 1 ( 19 ) 80 ) 80

16 Allgemeine Formel R(i) = ( 19 ) i ( 19 ) 80 1 ( ) für i = 0, 1,..., 80 Funktionsgraph von R(i) Insbesondere ist R(10) = Erfolgswahrscheinlichkeit dieser Strategie 1 R(10) = Zum Vergleich Erfolgswahrscheinlichkeit bei Setzen von 2 auf eine Zahl 1 37 =

17 Allgemeine Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit p = Erfolgswahrscheinlichkeit pro Spiel (vorhin p = 37 ) K = der zu erzielende Betrag (vorhin K = 80) Dann gilt für die Ruinwahrscheinlichkeit R(i) bei Anfangskapital i R(i) = ( 1 p p 1 ) i ( 1 p ( 1 p p p ) K ) K für i = 0,..., K (2)

18 Im Beispiel der Schadensversicherung a = 1 Mio { 2 Mio mit W.keit 1 p S n = 0 Mio mit W.keit p zugehörige Ruinwahrscheinlichkeit R(i) = ( 1 p p ) i ( ) K 1 p p 1 für p < 0.5 ) K K ( ) i 1 p 1 p für p > 0.5 ( 1 p p Fazit Nur für a E [ S n ] > 0 gibt es eine positive W.keit, dass die Versicherung nicht bankrott geht

19 Variante - Höhere Einsätze Wie ändert sich die Ruinwahrscheinlichkeit bei Verdoppelung des Einsatzes auf 2? Tausche 10 in 5 Jetons zu je 2 i bezeichne nun die Anzahl der Jetons i Jetons i+1 Jetons i-1 Jetons Das Ziel ist erreicht, wenn 40 Jetons gewonnen sind

20 In der Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit ist also lediglich K = 40 zu setzen R = ( 19 ) 5 ( 19 ) 40 1 ( ) = Durch die Verdoppelung des Spieleinsatzes hat sich die Ruinwahrscheinlichkeit verringert zugehörige Erfolgswahrscheinlichkeit

21 Bei Einsatz von 10 pro Spiel ergibt sich R = 19 ) 8 ( 19 1 ( ) 19 8 = Erneut verringert sich die Ruinwahrscheinlichkeit zugehörige Erfolgswahrscheinlichkeit

22 Die Ruinwahrscheinlichkeit abhängig vom Kapitaleinsatz Erklärung Bei unfairem Spiel, dh Gewinnwahrscheinlichkeit p < 0.5 ist es günstiger, die Anzahl der benötigten Spiele möglichst gering zu halten Begründung Nach dem Gesetz der Großen Zahlen wird der Spieler auf Dauer mehr Spiele verlieren als gewinnen

23 Minimale Ruinwahrscheinlichkeit Fragen Ist es möglich, die Ruinwahrscheinlichkeit durch immer ausgeklügeltere Strategien beliebig zu drücken? Gibt es eine untere Schranke und wenn ja, wie sieht eine zugehörige optimale Strategie aus?

24 Untere Schranke für die Ruinwahrscheinlichkeit Für p = 0.5 gilt bei Verwendung beliebiger Strategien R(i) = 1 i K Mit sinkender Erfolgswahrscheinlichkeit p wächst R(i), also R(i) 1 i K Im Beispiel R(10) = 0.875

25 Optimale Strategie - Alles oder Nichts Setze bei jedem Spiel stets das gesamte Kapital Bei dieser Strategie beträgt die Ruinwahrscheinlichkeit also R(10) = ( ) 19 2 ( ) = 1 = zugehörige Erfolgswahrscheinlichkeit

26 Moderne Anwendungen der Stochastik in den Naturwissenschaften, der Medizin und Pharmazie statistische Auswertung von Versuchsergebnissen, medizinische Tests statistische Verfahren in der Physik (Atomphysik), der physikalischen Chemie (kinetische Gastheorie) in den Wirtschaftswissenschaften in der Finanzmathematik (Modellierung & Preisbestimmung von Optionen u.a. Derivaten,...) in der Unternehmensforschung (Operations Research) (Qualitätskontrollen, Zuverlässigkeitstheorie, Spieltheorie, Optimierung,...) Auswertung statistischer Erhebungen (Umfragen, Marktbefragungen,...) in den Ingenieurwissenschaften Signalverarbeitung (Bild-, Sprach- und Mustererkennung) Steuer- und Regelungstechnik