Lorentzkraft. 1. Einleitung

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1 Lorentzkraft Einleitung Ein gerader stromführender Draht lenkt eine Kompassnadel ab Wir shreiben diese Wirkung dem Magnetfeld zu, das von ihm ausgeht Streut man Eisenfeilspäne auf eine Unterlage, die vom Draht senkreht durhstoßen wird, ordnen sih diese in konzentrishen Kreisen um den Draht als Mittelpunkt an Die Kreise mahen die Feldlinien des Magnetfelds sihtbar Strom und Magnetfeld sind demnah miteinander verknüpft wie, das lässt sih zeigen, wenn man als Magnetfeld- Detektoren niht Kompassnadeln oder Eisenfeilspäne benutzt, sondern untersuht, wie eine (punktförmige) elektrishe Ladung auf den Strom im Draht reagiert Solange die Ladung ruht, zeigt sie keine Reaktion Der Draht ist trotz des Stroms, der in ihn fließt, elektrish neutral Also gehen von ihm keine elektrishen Feldlinien aus, deshalb wirkt auh keine Kraft auf die Ladung Eine Kraft misst man erst, wenn sih die Ladung relativ zum Draht bewegt: Ein Hinweis darauf, dass hier die Relativitätstheorie im Spiel ist Wir betrahten als einfahste Relativbewegung die gleihförmige Bewegung parallel zum Draht Die Kraft auf die bewegte Ladung lässt sih in der Tat als lorentztransformierte elektrishe Kraft beshreiben Sie heißt dementsprehend Lorentzkraft Hier geht es um den Versuh, diese Kraft zu messen Messverfahren Dass eine Ladung q eine Kraft erfährt, wenn sie sih parallel zu einem stromführenden Draht bewegt, ist plausibel: Man (lorentz-)transformiere das System, in dem sih die Ladung bewegt (das Laborsystem), in das System, in dem die Ladung q ruht (das mitbewegte System) In diesem bewegen sih die Elektronen und positiven Ladungen des Drahtes entgegengesetzt zur Bewegungsrihtung der Ladung q, und zwar vershieden shnell Ihre gegenseitigen Abstände sind daher auh untershiedlih stark lorentzkontrahiert Deshalb ist der Draht im mitbewegten System elektrish geladen und übt auf die Ladung q die aus der Elektrostatik bekannte Coulombkraft aus Nah Rüktransformation in das Laborsystem erhält man die gesuhte Lorentzkraft Da es um die Messung der Kraft geht, hier nur das Ergebnis: () F 4πε I qv r Dabei ist ε die Influenzkonstante (Dielektrizitätskonstante des Vakuums), I die Stärke des im Draht fließenden Stroms, v die Geshwindigkeit der Ladung (im Laborsystem) und r der Abstand der Ladung vom stromführenden Draht Eine Herleitung der Formel, die von den relativistishen Transformationsformeln Gebrauh maht, findet sih im Anhang Sie ist dem Physiklehrbuh Conepts in Physis von Adair entnommen Übliherweise wird die Lorentzkraft als Kreuzprodukt von qv und der magnetishen Feldstärke B definiert In unserem Fall stehen v und B senkreht aufeinander, so dass die Kraft gleih dem arithmetishen Produkt qvb ist Der Vergleih mit Gl () zeigt, dass die Feldstärke des Magnetfeldes, das den Draht umgibt, gegeben ist durh () B I µ I r π r 4πε 4, 7 wobei µ die Permeabilität des Vakuums ist ( µ / ε 4π Vs / Am ) Diese aus den Lehrbühern bekannte Gleihung leitet man in der Regel aus dem Ampere shen Durhflutungsgesetz ab Auf den stromführenden Draht angewandt, lautet es: Die Liniensumme der magnetishen Feldstärke längs der Feldlinie mit dem Radius r, also πrb, ist gleih µ mal dem Strom I, der durh die von der Feldlinie eingeshlossenen Flähe hindurhtritt

2 Unser Ziel ist es, die durh Gl () gegebene Kraft zu messen Wir messen diese Kraft niht direkt, sondern die durh sie bewirkte seitlihe Ablenkung der Ladung Da Gl () das Ergebnis zweier Lorentz-Transformationen ist, kann man die Messung als Test der Speziellen Relativitätstheorie auffassen Das entsprehende Experiment ist deshalb von einem gewissen pädagogishen Wert Es eignet sih im Physikunterriht der Shule zumindest zur Demonstration des Effekts Will man es numerish auswerten, muss man den Shülern und Shülerinnen klarmahen, dass Messergebisse mit Fehlern behaftet sind Die Messwerte sind nämlih nur der Größenordnung nah mit den theoretish berehneten verträglih (siehe unten) In einem Leistungskurs kann man den Shülern und Shülerinnen auh die Herleitung der Gleihung (Anhang) zumuten mit Hilfestellung Das Prinzip des Experiments ist einfah: ein Elektronenstrahl verläuft parallel zu einem stromführenden Draht und wird dabei seitlih abgelenkt, je nah Stromrihtung vom Draht weg oder auf den Draht zu Die Ablenkung lässt sih z B in einer Elektronen-Ablenkröhre beobahten, die von der Lehrmittelindustrie angeboten wird In ihr werden Elektronen wie in einer Kathodenstrahlröhre beshleunigt, zu einem Strahl fokussiert und streifend an einem Fluoreszenzshirm entlang gelenkt Der Shirm leuhtet auf dort, wo er von Elektronen getroffen wird Er liegt in der Bahnebene des nahezu kreisförmig 3 abgelenkten Strahls Seine Ablenkung lässt sih am Koordinatengitter des Shirms (m-raster) ablesen Abbildung zeigt ein Foto der Anordnung Abbildung Elektronen-Ablenkröhre mit stromführenden Draht (oberhalb des Glaskolbens) Der Strom fließt von links nah rehts Das Magnetfeld ist daher unterhalb des Drahtes in die Bildebene hinein gerihtet Die Elektronen bewegen sih von rehts nah links Die Lorentzkraft lenkt den Elektronenstrahl nah oben ab Wie oben gesagt, berehnen wir zur Bestätigung von Gl () die seitlihe Ablenkung des Strahls am Ende des Fluoreszenzshirms und vergleihen diese mit dem gemessenen Wert Die Geometrie der Anordnung geht aus Abbildung hervor Die Elektronen werden durh die Spannung U zwishen Kathode und Anode der Elektronenkanone beshleunigt und treten durh ein Loh im Anodenbleh aus Dort befinde sih der Nullpunkt unseres Koordinatensystems, die x-ahse zeige in Rihtung der Elektronenbewegung nah rehts, die y-ahse in Rihtung auf den stromführenden Draht zu Nah dem Durhgang durh die Anode bleibt die Geshwindigkeit der Elektronen in x-rihtung konstant, da in dieser Rihtung keine Kraft auf sie einwirkt Das heißt, der Weg x der Elektronen wähst mit der Zeit t gemäß x vt,

3 wobei v die Elektronengeshwindigkeit ist und t vom Zeitpunkt des Durhgangs durh die Anode aus gezählt wird In y-rihtung wirkt die uns interessierende Lorenzkraft F Sie führt zu einer Abbildung Geometrie der Anordnung gleihmäßig beshleunigten Bewegung mit der Beshleunigung F/m, wenn wir mit m die Ruhmasse des Elektrons bezeihnen Wir nehmen an, wie in Abbildung eingezeihnet, dass F auf den stromführenden Draht hin gerihtet ist Dann gilt für den in y-rihtung zurükgelegten Weg y F t m Eliminieren wir aus den letzten beiden Gleihungen die Zeit t, folgt als Bahngleihung der Elektronen (3) y x F m v Die Streke zwishen Anode und dem Ende des Shirms habe die Länge L und die Ablenkung dort werde mit Δy bezeihnet Dann gilt (4) y F L mv Die Geshwindigkeit v der Elektronen ergibt sih aus dem Energiesatz, angewandt auf die Beshleunigungsstreke zwishen Kathode und Anode der Röhre: Die potentielle Energie eu der Elektronen am Ort der Kathode ist demnah gleih der kinetishen Energie mv / am Ort der Anode, also (5) m v eu Daraus folgt (6) eu v m

4 und Gl (4) wird zu (7) y FL 4eU Setzen wir für F den Term aus Gl () ein, wird (8) y L 4πε e I mu r Damit hängt Δy ab von der Stromstärke I im Draht, von dessen Abstand r zum Elektronenstrahl, von der Länge L der Elektronenlaufstreke und von der Beshleunigungsspannung U der Elektronen Kritish ist die Abhängigkeit von L, da diese Größe quadratish eingeht 3 Abshätzung der Größenordnung des Effekts Anhand von Gl (8) shätzen wir zunähst die Größenordnung von Δy ab und hoffen, dass die Ablenkung mit den zur Verfügung stehenden Geräten überhaupt sihtbar gemaht werden kann Zur Verfügung stand die Ablenkröhre der Firma 3B Sientifi Physis (# D65) Ihr Glaskolben hat einen Durhmesser von etwa 3 m, so dass der Abstand r des Drahtes vom Elektronenstrahl niht kleiner als 6,5 m gemaht werden kann Die Länge L ist durh die Abmessung des Fluoreszenzshirms vorgegeben: L m Laut Datenblatt des Herstellers sind Beshleunigungsspannungen zwishen kv und 5 kv möglih Gewählt wurde ein mittlerer Wert von etwa kv, bei kleineren Werten war der Strahl weniger gut sihtbar Die Stromstärke I sollte möglihst groß sein Eine V-Autobatterie liefert zwar Ströme großer Stärke, Werte über A lassen sih jedoh mit einem handelsüblihen Amperemeter niht messen Deshalb wurde bei diesen Stromstärken der Spannungsabfall an einem sehr kleinen Vorwiderstand gemessen und in Ampere umgerehnet Als Widerstand diente ein 4 m langer,,3 mm diker Kupferdraht, sein Widerstand wurde zu,54 Ω gemessen Das ergab als Umrehnungsfaktor 85 (± 7) A/V Mit den Werten r,65 m, L, m, U kv und I A folgt nah Gl (8) eine Ablenkung Δy,4 mm Das heißt, der Effekt sollte gerade noh sihtbar (und messbar) sein Es geht in dem Experiment also darum, ob man trotz der genannten Beshränkungen sinnvolle Messwerte erzielt 4 Messungen, Ergebnisse Mehrere Versuhsreihen wurden ausgeführt Zwei dieser Reihen, bei denen es um die Abhängigkeit von der Stromstärke I im Draht ging, wurden zusammengefasst Bei diesen waren Spannung U und Abstand r gleih: U, kv bzw r,65 m L, m, wie shon erwähnt Die Ergebnisse zeigt Tabelle Tabelle Abhängigkeit der Auslenkung Δy von der Stärke I des Stroms im Draht U, kv, r,65 m und L, m Daten vom 599 und 63 Datum I / A Δy / mm 599 * ) 9,,5 ±,5 6,6, ±,5 8,5,5 ±,5 9,6 3,5 ±,5 63 ** ),5 ±,5 4,5 ±,5 6,5 ±,5 8, ±,5

5 , ±,5 * ) Stromstärke I mit Hilfe des Vorwiderstands gemessen (siehe Text) ** ) Stromstärke mit Amperemeter gemessen In Abbildung 3 sind die entsprehenden Daten als Messpunkte in ein Koordinatensystem mit I als waagerehter und Δy als senkrehter Ahse eingetragen Die Anpassung einer (Nullpunkts-) Geraden durh die Punkte liefert als Steigung K,38 ±,5 mm/a (χ /Freiheitsgrad,5) Abbildung 3 Ablenkung des Elektronenstrahls in Abhängigkeit von der Stromstärke im Draht Beshleunigungsspannung U kv Daten vom 599 und 53 kombiniert Nah Gl (8) ist die Steigung der Geraden K e L mu r 4πε Mit den Zahlenwerten U, kv, r,65 m, L, m und e/m,759 As/kg ergibt sih K also m, 4πε Vs, 4πε 3 m,38 A,35 3 m, Vs 7 Vs Am

6 Bei einer weiteren Messreihe wurde ebenfalls die Stromstärke I variiert, allerdings bei einer Beshleunigungsspannung von U,5 kv Tabelle und Abbildung 4 zeigen das Ergebnis Abbildung 4 Ablenkung des Elektronenstrahls in Abhängigkeit von der Stromstärke im Draht Beshleunigungsspannung U,5 kv Messung am 599 Tabelle Abhängigkeit der Auslenkung Δy von der Stärke I des Stroms im Draht U,5 kv, r,65 m und L, m Messung am 599 I / A * ) Δy / mm 9,5, ±,5 6,6,5 ±,5 4,,5 ±,5 35, 3, ±, 46,3 4, ±, 68,5 5, ±, * ) Stromstärke I mit Hilfe des Vorwiderstands gemessen (siehe Text) Die Anpassung der Geraden an die Messpunkte in Abbildung 4 ergibt als Steigung K,854 ±,54 mm/a Das führt zu 4πε 3 m,854 A,937 3 m,9 Vs 7 Vs Am In einer letzten Versuhsreihe wurde bei konstanter Beshleunigungsspannung U,5 kv und (fast) konstanter Stromstärke I der Abstand r variiert Da I nur annähernd konstant war, wurde Δy in Abhängigkeit von I/r gemessen Die Daten zeigt Tabelle 3

7 Tabelle 3 Abhängigkeit der Auslenkung Δy vom Abstand r zwishen Draht und Strahlahse U,5 kv und L, m Messung am 599 r / m I / A * ) (I/r) / (A/m) Δy / mm,65 68,5 54 5, ±,5,8 65 8,5 3,5 ±,5,9 65 7, 3, ±,5,5 64,8 563,5,7 ±, * ) Stromstärke I mit Hilfe des Vorwiderstands gemessen (siehe Text) Abbildung 5 Ablenkung des Elektronenstrahls in Abhängigkeit vom Abstand r Da die Stromstärke I niht konstant war, wurde die Ablenkung in Abhängigkeit von I/r aufgetragen In Abbildung 5 sind die Daten der Tabelle 3 aufgetragen, also die Auslenkung Δy als Funktion von I/r Die Steigung der angepassten Geraden ist K,444 ±, mm/(a/m) Theoretish ist jetzt K L 4πε e mu, also 4πε mu Vs m Vs 7 Vs K K,687,444,687, L e m A m Am Damit liegen drei Messwerte der universellen Konstanten /4πε vor Sie stimmen niht überein Das deutet auf systematishe Fehler hin, deren Ursahe ohne weitere Messungen niht feststellbar ist Ein endgültiges Ergebnis sollte trotzdem angegeben werden: Der (niht gewihtete) Mittelwert der drei Messwerte ist

8 4πε (, ±,34) 7 Vs Am, wobei der Fehler den größten und kleinsten Messwert einshließt Theoretish sollte sih exakt, 7 Vs/Am ergeben Dass der experimentelle Mittelwert mit diesem fast übereinstimmt, ist Zufall Die Werte der Einzelmessungen zeigen, dass man niht damit rehnen kann, ihn bei weiteren Messungen zu reproduzieren Das Experiment liefert aber zumindest die rihtige Größenordnung Literatur ) Robert K Adair: Conepts in Physis, Aademi Press, New York 969, Kapitel ) z B 3B Sientifi Physis 3 ) man vernahlässigt die Änderung der Magnetfeldstärke auf dem Weg des abgelenkten Elektronenstrahls

9 Lorentzkraft auf bewegte Ladung Wir suhen einen Term für die Kraft auf eine Ladung q, die sih mit der Geshwindigkeit v parallel zu einem stromführenden Draht bewegt Die Stromstärke im Draht sei I, der Abstand der Ladung zum Draht r Dazu gehen wir vom Laborsystem aus in das Koordinatensystem, das sih genau so shnell wie die Ladung, nämlih mit der Geshwindigkeit v, relativ zu diesem bewegt In diesem mitbewegten System ruht die Ladung Wir berehnen die Kraft auf die im mitbewegten System ruhende Ladung und transformieren sie dann in das Laborsystem zurük Im Laborsystem ist der Draht elektrish neutral, da er pro Längeneinheit gleih viele positive wie negative Ladungen enthält Bezeihnen wir die entsprehenden Ladungsdihten (Ladung pro m) mit bzw, so ist die Nettoladung gleih Null Im mitbewegten System ist die Nettoladung ungleih Null, da sih die positiv geladenen Atomrümpfe des Drahtes und die Elektronen in ihm relativ zur Ladung q vershieden shnell bewegen Wegen der untershiedlihen Geshwindigkeit sind sie in Bewegungsrihtung vershieden stark lorentzkontrahiert In Abbildung sind die beiden Koordinatensysteme gegenübergestellt Abbildung Koordinaten des Laborsystems (ungestrihen) und des mitbewegten Systems (gestrihen) Die Geshwindigkeit der Ladung q im Laborsystem ist v Im mitbewegten System ist sie Null, da sih dieses in der gleihen Rihtung mit derselben Geshwindigkeit bewegt Im mitbewegten Systen bewegen sih Atomrümpfe und Elektronen im Draht vershieden shnell (hier nah links) Ihre Ladungsdihten sind wegen der untershiedlihen Lorentzkontraktion vershieden Der Draht ist daher im mitbewegten Systen elektrish geladen und übt auf die Ladung q eine (elektrostatishe) Kraft aus Im Laborsystem wird sie als Kraft aufgefasst, die von einem Magnetfeld ausgeht und auf die bewegte Ladung wirkt Wir nehmen an, dass im Laborsystem der Strom I und die Geshwindigkeit v der Ladung gleih gerihtet sind (klassishe Stromrihtung) In der Abbildung ist das die Rihtung nah

10 rehts In diesem System sind die positiven Atomrümpfe des Drahts in Ruhe, während sih die Elektronen im Draht mit der Driftgeshwindigkeit v D nah links bewegen Vom mitbewegten System aus betrahtet bewegen sih sowohl Elektronen als auh Atomrümpfe, und zwar auh nah links Die Atomrümpfe haben die Geshwindigkeit v, die Elektronen eine Geshwindigkeit, die sih nah dem Additionstheorem aus v und v D ergibt Für die Ladungsdihte der Atomrümpfe gilt daher (), mit Lihtgeshwindigkeit Dabei ist die Ladungsdihte im Ruhesystem der Atomrümpfe, in diesem Fall also gleih dem Laborsystem Das Additionstheorem, angewandt auf v und v D, ergibt für die Elektronengeshwindigkeit im mitbewegten System v vd () v vvd Daher ist die Ladungsdihte der Elektronen, ausgedrükt durh die Dihte ( ) in ihrem Ruhesystem (3) ( ) Das Ruhesystem der Elektronen ist jedoh niht das Laborsystem, da sih die Elektronen relativ zu ihm mit v D bewegen Das heißt, die Elektronendihte im Laborsystem ist gegeben durh ( ) (4) und damit folgt (5) ( ) Die Ladungsdihte der Elektronen transformiert sih daher vom Labor- ins mitbewegte System gemäß D (6) Dabei ist für der in Gl () angegebene Term einzusetzen, also (7) D vv D v v Das lässt sih umformen:

11 vvd vvd ( v v ) D vvd vvd vd vvd vvd vvd D (8) vvd D vvd Wir setzen diesen Term und den Term in Gl () zusammen zur gesamten Ladungsdihte im mitbewegten System: vv D (9)

12 Da wegen der Neutralität des Drahtes im Laborsystem gilt, folgt vvd vvd () vv D In diesem Term lässt sih das Produkt v D durh die Stromstärke I ausdrüken: im Zeitintervall dt tritt durh einen beliebigen Quershnitt des Drahtes die Ladung dx mit dx v D dt Also ist die Stromstärke (Ladung/Zeit) I v D dt /dt v D Damit ist vi () Nah dem Gauß shen Satz der Elektrostatik folgt daraus für die elektrishe Feldstärke, die von einem Stük des Drahtes mit der Länge dx ausgeht, und damit ε E πr dx dx () E πε r Die Kraft, die das Feld im mitbewegten System auf die dort ruhende Ladung q ausübt, ist also qvi (3) F q πεr πεr Die Rüktransformation von F in das Laborsystem ist einfah, wenn man die Bewegung der Ladung q quer zum Draht betrahtet In dieser Rihtung gibt es keine Lorentzkontraktion, so dass der Weg y, der zwishen zwei Ereignissen zurükgelegt wird, in beiden Systemen gleih ist Das heißt, es gilt a a (4) y y mit y t und y t Dabei sind a und a die Beshleunigungen in y- (bzw y -) Rihtung Setzen wir für sie die Quotienten Kraft/Masse, so ergibt sih

13 F t m F t m, also (5) F m t m t F Wegen der Zeitdilatation und der relativistishen Massenveränderung ist v t t und Das, eingesetzt in Gl (5), führt zu m m (6) F F Gleihung (3) wird damit zu qvi I (7) F qv πε r 4πε r qed Da µ, 4πε 4π wobei µ die Permeabilität des Vakuums ist, shreibt man auh µ (8) I F qv 4π r Dabei ist der Term µ I (9) B π r die magnetishe Feldstärke, die der stromdurhflossene Draht im Abstand r erzeugt

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