44 Orthogonale Matrizen

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1 44 Orthogonale Matrizen 44.1 Motivation Im euklidischen Raum IR n haben wir gesehen, dass Orthonormalbasen zu besonders einfachen und schönen Beschreibungen führen. Wir wollen das Konzept der Orthonormalität auf Matrizen erweitern. Dies führt auf die wichtige Klasse von orthogonalen Matrizen, die eine Reihe nützlicher Eigenschaften aufweisen. Unter Anderem lassen sich mit ihnen Drehungen und Spiegelungen beschreiben Definition: Orthogonale Matrizen Besitzt eine Matrix Q IR n n orthonormale Spaltenvektoren q 1,..., q n, so wird sie als orthogonale Matrix bezeichnet. Man definiert ferner O(n) : Q IR n n Q orthogonal}. Bemerkungen: 1. Eine präzisere Bezeichnung wäre orthonormale Matrix hat sich aber nicht durchgesetzt. 2. Die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix bilden eine Orthonormalbasis des euklidischen Raumes IR n Satz: Eigenschaften orthogonaler Matrizen Die folgenden Aussagen sind für Matrizen Q IR n n äquivalent: a) Q O(n). b) Q ist invertierbar, und es ist Q 1 Q T. 129

2 c) Multiplikation von Vektoren mit Q erhält das euklidische Produkt zwischen Vektoren: (Qu) (Qv) u v für alle u, v IR n. d) Multiplikation von Vektoren mit Q erhält die euklidische Norm: Qv v für alle v IR n. Man nennt daher Q auch eine Isometrie. Beweis: (a) (b): Da die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix Q IR n n ein Orthonormalsystem bilden, sind sie nach Satz auch linear unabhängig. Damit hat Q den Rang n, ist also invertierbar. Es sei A (a ij ) Q T Q. Dann gilt: a ij q ki q kj q i q j, sonst. Also ist Q T Q I. Wegen der Invertierbarkeit von Q und 36.9 ist damit Q T Q 1. (b) (a): Ist Q 1 Q T, so folgt Q T Q I und damit q i q j, sonst. Folglich bilden die Spaltenvektoren von Q ein Orthonormalsystem, also Q O(n). (a) (c): (Qu) (Qv) (Qu) T (Qv) u T Q T Q v u }} T v u v. I (c) (a): Gilt (Qu) (Qv) u v für beliebige Vektoren u, v IR n, so muss dies insbesondere auch für die Standardbasisvektoren 1 v 1., v 2 1.,..., v n. 1 13

3 zutreffen. Damit gilt für beliebige i, j 1,..., n (Qv i ) (Qv j ) v i v j, sonst. Da aber Qv i q i und Qv j q j gelten, haben wir q i q j, sonst, woraus wie oben Q O(n) folgt. (c) (d): Man setze u v in (c). (d) (c): Für beliebige u, v IR n muss wegen (d) gelten (Q(u + v)) (Q(u + v)) (u + v) (u + v) (Q(u v)) (Q(u v)) (u v) (u v), also wegen der Distributivität des euklidischen Produktes und der Matrixmultiplikation sowie der Kommutativität des euklidischen Produktes (Qu) (Qu) + 2 (Qu) (Qv) + (Qv) (Qv) u u + 2 u v + v v (Qu) (Qu) 2 (Qu) (Qv) + (Qv) (Qv) u u 2 u v + v v und nach Subtraktion 4 (Qu) (Qv) 4 u v. Daraus folgt (c) Beispiele a) Rotationen können durch orthogonale Matrizen beschrieben werden: cos α sin α Q sin α cos α beschreibt eine Drehung um den Winkel α, vgl. 35.6(e). cos α sin α Q T Q 1 sin α cos α 131

4 entspricht der Drehung um α. Es gilt det Q cos 2 α + sin 2 α 1. b) Es gibt auch orthogonale Matrizen, die keine Drehungen beschreiben, z. B. 1 Q. 1 Q vertauscht die x- und y-komponente v1 Q v 2 und stellt damit eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten dar. Hier gilt ( v2 v 1 ) det Q 1 1. Kann die Determinante orthogonaler Matrizen andere Werte als ±1 annehmen? Nein! 44.5 Satz: Determinante orthogonaler Matrizen Für jedes Q O(n) gilt det Q 1. Beweis: Aus QQ T I folgt 1 det I det(qq T ) det Q det Q T (det Q) 2. Orthogonale Matrizen Q mit det Q 1 werden noch einmal besonders ausgezeichnet Definition Man definiert SO(n) : O + (n) : Q O(n) det Q 1}. 132

5 44.7 Satz: Gruppeneigenschaft von O(n) und SO(n) O(n) und SO(n) sind Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GL(n, IR) (vgl ). Man nennt O(n) die orthogonale Gruppe und SO(n) die spezielle orthogonale Gruppe. Beweis: Übungsaufgabe Bemerkung: Eine Matrix aus O(n) beschreibt eine orthogonale Transformation des euklidischen Raumes IR n, d. i. eine starre Transformation des IR n, die den Ursprung fest lässt. Matrizen aus SO(n) entsprechen dabei orientierungserhaltenden Transformationen. (Diese lassen in IR 2 z. B. den Umlaufsinn unverändert, in IR 3 die Händigkeit eines Tripels von Vektoren oder den Drehsinn einer Schraube, einer Spirale etc. Entsprechende Konzepte von Orientierung lassen sich auch in höheren Dimensionen einführen.) Es handelt sich um echte Bewegungen, die eine stetige Überführung des Anfangs- in den Endzustand ermöglichen. Das sind beliebige Drehungen um im IR n. Eine Matrix aus O (n) : O(n) \ SO(n) verkörpert hingegen stets eine orientierungsumkehrende Transformation, d. h. eine Drehung verknüpft mit einer Spiegelung. (Nur im IR 2 reicht eine Spiegelung alleine aus.) Wo treten orthogonale Matrizen noch auf? Beim Wechsel von einer Orthonormalbasis in eine andere Wechsel zwischen Orthonormalbasen Es sei v 1,..., v n } eine Orthonormalbasis des euklidischen Raumes IR n. Dann existieren zu jedem u IR n eindeutig bestimmte Koeffizienten a 1,..., a n mit u a k v k. 133

6 Der Vektor a (a 1,..., a n ) T ist also der Koordinatenvektor von u bezüglich der Orthonormalbasis v 1,..., v n }. Es sei nun w 1,..., w n } eine weitere Orthonormalbasis des IR n. Bezüglich w 1,..., w n } habe u den Koordinatenvektor b (b 1,..., b n ) T. Problem: Gibt es eine Übergangsmatrix Q mit b Qa? Lösung: Man berechnet u a k v k (v T k w i )w i ) ( a k i1 ( ) a k (vk T w i ) i1 } } :b i b i w i, i1 w i wobei zunächst die Basisvektoren v k bezüglich der Basis w 1,..., w k } ausgedrückt und anschließend die Reihenfolge der (endlichen) Summen vertauscht wurde. Damit hat man b i (vk T } w i) a } k, :q ik also für die gesuchte Übergangsmatrix Q (q ik ) q ik v T k w i w T i v k bzw. w T 1 Q. v 1,..., v n wn T Q ist also das Produkt zweier orthogonaler Matrizen. 134

7 w T 1 ( Warum ist. w T n orthogonal?) Also ist Q selbst orthogonal. Bemerkungen: 1. Umgekehrt beschreibt bei gegebener Orthonormalbasis v 1,..., v n } jede orthogonale Matrix Q den Wechsel zu einer anderen Orthonormalbasis w 1,..., w n }. 2. Drehungen oder allgemeiner Orthogonaltransformationen der Vektoren im IR n in einer festen Basis und Basiswechsel stehen in einem engen Zusammenhang: Eine Drehung/Transformation der Basis um eine Matrix Q unter Beibehaltung der Vektoren entspricht einer Drehung/Transformation der Vektoren um Q 1 Q T unter Beibehaltung der Basis. Beispielsweise dreht in IR 2 die Matrix cos α sin α R sin α cos α die Vektoren bezüglich einer festen Basis um α, vgl. 35.6(e), 44.4(a). Für eine Drehung der Basis um α erhält man dagegen Folgendes: Wählen wir für die erste Basis die Standardbasisvektoren v 1 (1, ) T, v 2 (, 1) T, so lauten die Vektoren der gedrehten Basis w 1 (cos α, sin α) T, w 2 ( sin α, cos α), und es ergibt sich Q w 1 T w2 T v 1 v 2 cos α sin α R 1. sin α cos α cos α sin α 1 sin α cos α 1 135