Bipartite Graphen. Beispiele

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1 Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten aus T verbindet. Beispiele graphen3.pdf, Seite 1

2 Eigenschaften Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn es keinen aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden geschlossenen Weg gibt. Bei einem zusammenhängenden bipartiten Graphen ist die Zerlegung V = S T eindeutig bestimmt. Ist G = (V, E) bipartit mit V = S T, so gilt: Bei einem aus einer geraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehören Start- und Endpunkt zur selben Menge S oder T, bei einem aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehören Start- und Endpunkt zu verschiedenen Mengen. graphen3.pdf, Seite 2

3 Konstuktion einer Zerlegung V = S T durch Markierung der Knoten eines zusammenhängenden (ungerichteten) Graphen: 1. Markiere einen (beliebigen) Startknoten mit s. 2. Markiere alle Nachbarknoten des Startknotens mit t. 3. Markiere alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit t markierten Nachbarknoten haben, mit s, sowie alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit s markierten Nachbarknoten haben, mit t. 4. Wiederhole Schritt 3 so lange, bis entweder alle Knoten markiert sind oder zwei benachbarte Knoten die gleiche Markierung haben. In diesem Fall ist der Graph nicht bipartit und der Algorithmus kann abgebrochen werden. graphen3.pdf, Seite 3

4 Matchings Sei G = (V, E) bipartit mit V = S T. Ein Matching (oder Paarung) ist eine Teilmange E 0 E der Kantenmenge, so dass jeder Knoten mit maximal einer Kante aus E 0 inzident ist. Ein Matching heiÿt maximal, wenn es kein anderes Matching gibt, das mehr Kanten enthält. Eine vollständige Paarung ist ein Matching E 0, so dass jeder Knoten mit einer Kante aus E 0 inzident ist. Matchings E0 graphen3.pdf, Seite 4

5 Eigenschaften und Bemerkungen Jeder bipartite Graph hat ein maximales Matching. Dieses ist i. a. nicht eindeutig. Nicht jeder bipartite Graph hat eine vollständige Paarung. Jede vollständige Paarung ist ein maximales Matching. Eine vollständige Paarung E 0 deniert eine bijektive Abbildung (1:1Zuordnung) S T, wenn man jedem Element s S das (eindeutige) Element von T zuordnet, das mit s durch eine Kante aus E 0 verbunden ist. Insbesondere ist eine vollständige Paarung nur möglich, wenn S und T gleich viele Elemente haben. Aber auch in diesem Fall ist die Existenz einer vollständigen Paarung nicht garantiert. graphen3.pdf, Seite 5

6 Konstruktion maximaler Matchings über augmentierende Wege (ungarischer Algorithmus, Algorithmus von Hopcroft und Karp) Augmentierender Weg Gegeben sei ein bipartiter Graph G = (V, E) mit V = S T und ein (beliebiges) Matching E 0. Ein augmentierender Weg (erweiternder Weg; Verbesserungsweg) ist ein Weg in G mit folgenden Eigenschaften: Start- und Endknoten sind ungepaarte Knoten, d. h. sie sind mit keiner Kante aus E 0 inzident, Die Kanten des des Weges gehören abwechselnd zu E \ E 0 und zu E 0 (der Weg ist alternierend). graphen3.pdf, Seite 6

7 Beispiel Ein augmentierender Weg führt zur Verbesserung eines gegebenen Matchings E 0, indem die zu E 0 gehörenden Kanten des Weges aus dem Matching entfernt und die nicht zu E 0 stattdessen hinzugefügt werden (Umschalten des Weges). Das neue Matching enthält eine Kante mehr als das alte, da die erste und letzte Kante des augmentierenden Weges nicht zu E 0 gehören. graphen3.pdf, Seite 7

8 Bemerkung Jeder augmentierende Weg besteht aus einer ungeraden Anzahl von Kanten, da er alterniernend ist und die erste und die letzte Kante nicht zum Matching gehören. Damit liegt entweder der Startpunkt in S und der Endpunkt in T oder umgekehrt. Es genügt dabei, augmentierende Wege zu betrachten, die in einem ungepaarten Knoten aus S beginnen und in einem ungepaarten Knoten aus T enden. graphen3.pdf, Seite 8

9 Der Ungarische Algorithmus beruht auf dem Satz: Ein Matching E 0 ist genau dann maximal, wenn es keinen augmentierenden Weg gibt. Damit 1. Starte mit einem bekannten Matching E 0 (z. B. E 0 = ). 2. Suche einen augmentierenden Weg. Gibt es einen augmentierenden Weg, so ersetzte das aktuelle Matching En durch ein neues besseres Matching En+1 durch Umschalten entlang des Weges. Formal: Ist A die Menge der zum augmentierenden Weg gehörenden Kanten, so setze En+1 = En A = (En \ A) (A \ En). Gibt es keinen augmentierenden Weg, so ist das aktuelle Matching En maximal. 3. Wiederhole Schritt 2, so lange es augmentierende Wege gibt. graphen3.pdf, Seite 9

10 Finden eines augmentierenden Weges durch Markierung der Knoten oder (äquivalent) Betrachten eines gerichteten Graphen: Die zum aktuellen Matching E n gehörenden Kanten bekommen die Richtung von T nach S (von rechts nach links), die übrigen von S nach T (von links nach rechts). Ein augmentierender Weg ist dann ein gerichteter Weg, dessen Startpunkt (in S) und Endpunkt (in T ) in E n ungepaarte Knoten sind. Dieser kann z. B. durch eine Breitensuche gefunden werden. graphen3.pdf, Seite 10

11 Bemerkungen Ist n die Zahl der Knoten und m die Zahl der Kanten, so hat der ungarische Algorithmus die Komplexität O(n m) = O(n 3 ). Beim Algorithmus von Hopcroft und Karp werden simultan mehrere augmentierende Wege betrachtet. Dies führt zu einer Verbesserung der Komplexität auf O( n m) = O(n 5 2 ). Der ungarische Algorithmuis berechnet simultan zum maximalen Matching eine minimale Knotenüberdeckung (duales Problem). Man kann Paarungen auch in nicht bipartiten Graphen betrachen. Auch hier kann eine maximale Paarung über augmentierende alternierende Wege gefunden werden. graphen3.pdf, Seite 11

12 Beispiel Gesucht ist ein maximales Matching im bipartiten Graphen G = (S T, E) mit S = {1, 2, 3, 4}, T = {a, b, c, d} und E = {1a, 1c, 2a, 2b, 2d, 3a, 3c, 3d, 4c}. Als Startpunkt für den ungarischen Algorithmus kann das triviale Matching E 0 = genommen werden. Dann bildet jede Kante aus V einen augmentierenden Weg der Länge 1, d. h. es gibt die augmentierenden Wege 1a, 1c, 2a, 2b, 2d, 3a, 3c, 3d und 4c. graphen3.pdf, Seite 12

13 Beispiel: Übergang E0 E1 von links: Graph mit Matching E 0 =, zugehöriger gerichteter Graph mit möglichen Anfangs- und Endpunkten augmentierender Wege, ausgewählter augmentierender Weg 2a, Matching E 1 = {2a} nach Umschalten. graphen3.pdf, Seite 13

14 Beispiel: Übergang E1 E2 Zu E 1 gibt es noch augmentierende Wege der Länge 1, d. h. es können Kanten hinzugefügt werden, ohne andere aus dem Matching herauszunehmen: 1c, 3c und 4c. Mit Auswahl von 3c erhält man E 2 = {2a, 3c}. graphen3.pdf, Seite 14

15 Beispiel: Übergang E2 E3 Jetzt lässt sich keine Kante mehr direkt hinzufügen, augmentierende Wege haben mindestens die Länge 3. Es gibt folgende Möglichkeiten: 1a2b, 1a2d, 1c3a2b, 1c3a2d, 4c3a2b (ausgewählt) und 4c3a2d. Umschalten liefert ein neues Matching E 3 = E 2 {4c, 3a, 2b} \ {2a, 3c} = {4c, 3a, 2b}. graphen3.pdf, Seite 15

16 Ende des Algorithmus Jetzt gibt es keine augmentierenden Wege mehr. Jeder Versuch, einen solchen (der im Knoten 1 beginnen muss) zu bilden, endet in der Sackgasse 4: 1a3c4, 1c4. Somit ist das Matching E 3 maximal. Insbesondere gibt es keine vollständige Paarung. Bemerkung: Das maximale Matching ist nicht eindeutig, sondern das Ergebnis hängt von der Auswahl der augmentierenden Wege in den einzelnen Teilschritten ab. graphen3.pdf, Seite 16

17 Netzwerke Ein Netzwerk ist ein zusammenhängender, gerichteter und gewichteter Graph G = (V, E) mit Gewichten g(i, j) > 0 mit zwei speziellen Knoten: Quelle q V und Senke s V. graphen3.pdf, Seite 17

18 Anwendungen Datennetze Leitungsnetze (Wasser, Gas,...) Verkehrsplanung Die Gewichte werden dabei als (Transport-)Kapazitäten interpretiert. Ziel ist, möglichst viel von der Quelle zur Senke zu transportieren. Der Transport wird durch zulässige Flüsse beschrieben. graphen3.pdf, Seite 18

19 Flüsse in einem Netzwerk Ein zulässiger Fluss ist eine Abbildung f : E R mit 0 f (i, j) g(i, j) für jede Kante (i, j) E (die durch die Kante transportierte Menge übersteigt nicht deren Kapazität), Für jeden Knoten j mit j q und j s ist i f (i, j) = k f (j, k), d. h. die Summe der Flüsse über alle in den Knoten j hineinzeigenden Kanten ist gleich der Summe über die aus j herauszeigenden Kanten (Kirchhosches Gesetz, die Gesamtmenge des in den Knoten hinein transportierten Flusses ist gleich der Gesamtmenge des aus dem Knoten heraus transportierten Flusses). graphen3.pdf, Seite 19

20 Gesamtuss Der Gesamtuss oder Wert des Flusses ist gegeben durch f (q, j) = f (i, s) j i (Gesamtmenge, die von q nach s transportiert wird). Ein Fluss ist maximal, wenn sein Gesamtuss so groÿ wie möglich ist. graphen3.pdf, Seite 20

21 Beispiel: Fluss mit Wert 4 Die blauen Zahlen geben den Fluss der jeweiligen Kanten an. Der Gesamtuss F ist die Summe aller Flüsse, die aus der Quelle herauskommen bzw. in die Senke hineinlaufen: F = f (q, a) + f (q, b) = = 4 = = f (c, s) + f (d, s). graphen3.pdf, Seite 21

22 Konstruktion von maximalen Flüssen Naiver Ansatz, Teil 1: Finde einen (gerichteten) Weg von q nach s und ordne allen Kanten entlang des Weges den gleichen Fluss zu, der sich nach der Kante mit der geringsten Kapazität richtet. Die übrigen Kanten des Netzwerks bekommen Fluss 0. graphen3.pdf, Seite 22

23 Konstruktion von maximalen Flüssen Naiver Ansatz, Teil 2: Suche einen weiteren Weg von q nach s über noch nicht benutzte Kanten (i, j) mit Fluss f (i, j) = 0 und transportiere gröÿtmögliche Menge über diesen Weg. graphen3.pdf, Seite 23

24 Konstruktion von maximalen Flüssen Naiver Ansatz, Teil 3: Gibt es keine unbenutzten Wege mehr, so suche einen Weg von q nach s über noch nicht voll ausgelastete Kanten (i, j) mit f (i, j) < g(i, j). Vergröÿere den Fluss entlang des Weges so weit wie möglich. graphen3.pdf, Seite 24

25 Ende des naiven Ansatzes Jetzt führt jeder Weg von q nach s über mindestens eine voll ausgelastete Kante. Bedeutet dies, dass keine Verbesserung mehr möglich und der Fluss maximal ist? graphen3.pdf, Seite 25

26 Nein! Weitere Verbesserung über augmentierende Wege möglich! graphen3.pdf, Seite 26

27 Ein augmentierender Weg ist ein Pfad von q nach s, bei dem Kanten auch in der falschen Richtung benutzt werden dürfen, wobei: Ist (i, j) eine Kante des augmentierenden Weges, die in der richtigen Richtung benutzt wird, so gilt f (i, j) < g(i, j). Ist (j, i) eine in der falschen Richtung durchlaufene Kante mit (i, j) E, so gilt f (i, j) > 0. graphen3.pdf, Seite 27

28 Auswerten des augmentierenden Weges Wähle k > 0 so groÿ wie möglich, so dass f (i, j) + k g(i, j) für alle Vorwärtskanten des Weges. f (i, j) k für alle Rückwärtskanten (j, i) des Weges. Dann entsteht ein neuer besserer zulässiger Fluss, indem der Fluss der Vorwärtskanten um k erhöht und der der Rückwärtskanten um k erniedrigt wird (im Beispiel ist k = 1). graphen3.pdf, Seite 28

29 Bemerkung Die im naiven Ansatz betrachteten Wege sind Spezialfälle von augmentierenden Wegen, nämlich solche ohne Rückwärtskanten. Algorithmus von Ford-Fulkerson zur Bestimmung eines maximalen Flusses: 1. Starte mit bekanntem zulässigen Fluss (z. B. f (i, j) = 0 für alle Kanten) 2. Suche augemtierenden Weg. Existiert ein solcher, ändere den Fluss entsprechend. Existiert kein augmentierender Weg, so ist der aktuelle Fluss maximal. 3. Wiederhole Schritt 2, solange augmentierende Wege existieren. graphen3.pdf, Seite 29

30 Aunden eines augmentierenden Weges durch Markierung der Knoten oder durch Betrachten eines gerichteten Graphen G = (V, Ẽ) mit (i, j) Ẽ, falls (i, j) E und f (i, j) < g(i, j), (j, i) Ẽ, falls (i, j) E und f (i, j) > 0, d. h. Kanten mit Fluss 0 behalten in G ihre Richtung, voll ausgelastete Kanten mit f (i, j) = g(i, j) kehren die Richtung um und teilweise ausgelastete Kanten sind in G in beiden Richtungen vorhanden. Ein augmentiender Weg in G entspricht dann einem gerichteten Pfad (d. h. einem Weg, der keine Knoten mehrfach durchläuft) von q nach s in G. Ein solcher kann z. B. durch Tiefen- oder Breitensuche gefunden werden. graphen3.pdf, Seite 30

31 Gerichteter Graph im Beispiel Hier gibt es keinen Weg von q nach s, jeder in q beginnende Pfad in G führt zwagsläug über a, d und b nach q zurück. Somit gibt keine weiteren augmentierenden Wege im Netzwerk und der gefundene Fluss ist maximal. graphen3.pdf, Seite 31

32 Bemerkungen Man kann Beispiele konstruieren, bei denen der Algorithmus von FordFulkerson nicht nach endlich vielen Schritten einen maximalen Fluss erreicht. Sind die Kapazitäten g(i, j) ganzzahlig, so hat der Algorithmus die Komplexität O(m w), wobei m die Zahl der Kanten und w der Wert des maximalen Flusses ist. Eine Variante ist der Algorithmus von Edmonds und Karp, bei dem immer der kürzeste augmentierende Weg gesucht wird. Dieser Algorithmus hat in jedem Fall eine polynomiale Komplexität. Der maximale Wert eines Flusses ist gleich der minimalen Kapazität eines Schnittes (Dualitätssatz von FordFulkerson). graphen3.pdf, Seite 32

33 Im Beispiel: Kapazität eines Schnitts Über die rote Linie können maximal 8 Einheiten transportiert werden, d. h. der Schnitt hat Kapazität 8. graphen3.pdf, Seite 33

34 Schnitt mit minimaler Kapazität 6 Ein Schnitt durch die Kanten ac, bc und ds hat die Kapazität 6, die dem Wert des aktuellen Flusses entspricht. Folglich ist der gefundene Fluss mit Wert 6 maximal. Alle Kanten, die diesen Schnitt kreuzen, sind voll ausgelastet. graphen3.pdf, Seite 34

35 Allgemeinere Netzwerke Hat ein Netzwerk mehrere Senken s 1,.., s n, so fügt man einen Noten Knoten s sowie Kanten von s i nach s für alle i mit jeweiliger Kapazität unendlich hinzu. Ein maximaler Fluss im erweiterten Netzwerk mit Quelle q und der einzigen Senke s entspricht dann einem maximalen Fluss im ursprünglichen Netzwerk mit mehreren Senken. Analog geht man bei einem Netzwerk mit mehreren Quellen q 1,..., q n vor: Man denietrt eine neue Quelle q und Kanten von q nach q i für alle i. graphen3.pdf, Seite 35

36 Netzwerk mit mehreren Quellen und Senken graphen3.pdf, Seite 36

37 Bemerkung Je nach Anwendung können die neuen Kanten endliche Kapazitäten zugewiesen bekommen. Die Kapazität der Kante q q j kann die maximale Menge beschreiben, die von der Quelle q j in das Netz eingespeist werden kann. Die Kapazität der Kante s i s kann die maximale bzw. gewünschte Menge angeben, die an der Senke s i zu entnehmen ist. graphen3.pdf, Seite 37

38 Modellierung von Knoten mit beschränkter Kapazität Hat ein (innerer) Knoten i nur eine beschränkte Kapazität k, so ersetzt man ihn durch zwei Knoten i und i +, die durch eine (neue) Kante (i, i + ) mit Kapazität k verbunden sind. Die bisher in i ankommenden Kanten (j, i) kommen nun in i an, die von i ausgehenden Kanten gehen nun von i + aus, d. h. Kanten (j, i) werden zu (j, i ) und Kanten (i, j) zu (i +, j). Dies hat zur Folge, dass der gesamte durch i laufende Fluss nun durch die neue Kante (i, i + ) laufen muss. graphen3.pdf, Seite 38

39 Knoten i mit beschränkter Kapazität k graphen3.pdf, Seite 39

40 Beispiel Gegeben sei obiges Wasserleitungssystem mit zusätzlichen Beschränkungen: An der Quelle Q1 können maximal 5 Einheiten in das Netz eingespeist werden, an Q2 6 Einheiten. Am zentralen Knotenpunkt Z können maximal 9 Einheiten durchgeleitet werden. Die Verbraucher S1 und S3 möchten jeweils 3 Einheiten entnehmen, S2 5 Einheiten. graphen3.pdf, Seite 40

41 Erweiterter Graph mit einer Quelle Q und einer Senke S. graphen3.pdf, Seite 41

42 Maximaler Fluss (nicht eindeutug bestimmt) mit Wert 11 und zwei Schnitte minimaler Kapazität. Da die Kanten Q Q 1 und Q Q 2 voll ausgelastet sind, wird die maximal mögliche Menge in das Netzwerk eingespeist. Da die Kanten S 1 S, S 2 S und S 3 S voll ausgelastet sind, können alle Verbraucher die gewünschte Menge entnehmen. graphen3.pdf, Seite 42

43 Flüsse und Paarungen Zu jedem bipartiten Graphen G = (V, E) mit V = L R kann ein zugehöriges Netzwerk Ĝ = ( ˆV, Ê) deniert werden: ˆV = V {q, s} (zu den ursprünglichen Knoten wird eine Quelle q und eine Senke s hinzugefügt.) Die Kanten aus G bekommen in Ĝ die Richtung von L nach R und die Kapazität 1. Zusätzlich enthält Ê zu jedem Knoten l L eine Kante (q, l) mit Kapazität 1 und zu jedem Knoten r R eine Kante (r, s) mit Kapazität 1. Dann entspricht jedem Matching in G ein ganzzahliger zulässiger Fluss in Ĝ und umgekehrt. Die zum Matching gehörenden Kanten (l, r) sowie die Kanten (q, l) bzw. (r, s) für alle gepaarten Knoten l und r haben dabei in Ĝ Fluss 1, die übrigen Kanten Fluss 0. graphen3.pdf, Seite 43

44 Matching und zugehöriger Fluss Im Netzwerk haben alle Kanten die Richtung von links nach rechts. Die grünen Kanten haben Fluss 1, die schwarzen Kanten Fluss 0. Der Gesamtuss ist 2 und entspricht der Zahl der Kanten im Matching. graphen3.pdf, Seite 44

45 Augmentierende Wege Jedem augmentierenden Weg bezüglich eines Matchings entspricht ein augmentierender Weg bezüglich des zugehörigen Flusses im Netzwerk. Damit ist das Problem, ein maximales Matching zu nden, ein Speziallfall des Problems, einen maximalen Fluss zu nden. graphen3.pdf, Seite 45

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