Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 5.4

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1 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 54 B ist linear unabhängig, wenn die Vektorgleichung ( ) ( ) ( ) ( ) 456 λ + λ + λ = bzw das LGS λ +4λ +λ = λ +5λ λ = λ +6λ + λ = nur die triviale Lösung hat Durch Lösen des LGS mithilfe des Gauss-Algorithmus ergibt sich λ =λ =λ =, also die lineare Unabhängigkeit B ist ein Erzeugendensystem von R, wenn die Vektorgleichung ( ) ( ) ( ) ( ) 456 y λ + λ + λ = z bzw das LGS λ +4λ +λ = λ +5λ λ = y λ +6λ + λ = z ( ) y für jeden Vektor = lösbar ist Durch Lösen des LGS erhält man z z +4y +7 z +7y + z y +4 λ =, λ =, λ =, das LGS ist also für beliebige, y, z lösbar, und B ist ein Erzeugendensystem von R Durch Lösen der Vektorgleichung 4 λ + λ + λ + λ 4 = ergibt sich λ = λ = λ = λ 4 = als einzige Lösung somit ist B linear unabhängig Nach dem Satz 5 ist B damit eine Basis von R 4, und die Aufgabe ist gelöstwirzeigenabertrotzdemnoch,dassb ein Erzeugendensystem von R 4 ist Dies trifft genau dann zu, wenn für jeden Vektor 4 die Gleichung 4 λ + λ + λ + λ 4 = 4 lösbar ist Dies ist der Fall, durch Lösen des entsprechenden LGS erhält man λ = λ = ,λ = 4 +, 8,λ 4 =

2 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 ( ) ( ) ) 4 78 =( ) +( ) 5 +4( Es gibt verschiedene Möglichkeiten der Lösung, z B: Die Vektoren,, und sind linear unabhängig, denn das lineare Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung Jeder der weiteren Vektoren von X lässt sich somit auch als Linearkombination dieser 4 Vektoren darstellen Durch die Vektoren der Menge X lässt sich jeder Vektor von R 4 als Linearkombination darstellen (dazu reichen sogar die ersten vier Vektoren) Also ist U = X = R 4 und somit ist die Standardbasis von R 4 mit den Basisvektoren,, und auch eine Basis von U 5 Bemerkung: Wenn Basen von Vektor- bzw Unterräumen zu bestimmen sind, gibt es jeweils unendlich viele Lösungsmöglichkeiten, sodass die hier angegebenen Lösungen nur eemplarisch sein können {( ) ( )} a) Eine Basis von U ist z B B =, b) Es ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems = + + = zu bestimmen Es werden dazu und als Parameter s bzw t gesetzt Dann ist 4 = s t und = s t Es ergibt sich s L = R 4 t = s t s, t R 4 s t 4 = R 4 = s + t s, t R 4 4 Da U gerade die Lösungsmenge des o a linearen Gleichungssystems ist, erhalten wir als eine Basis von U : B = 6 Es ist zu zeigen, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind (drei linear unabhängige Vektoren bilden stets eine Basis von R ) Dazu muss nachgewiesen werden, dass das durch die Matri y z gegebene lineare y z

3 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, also den Rang hat (siehe Abschnitt ) Dies ist bei einem homogenen LGS genau dann der Fall, wenn die einfache Koeffizientenmatri y z den Rang hat Wir formen diese y z Matri mithilfe des Gauß-Algorithmus um und erhalten: y z y z ( (y+)) y z (z )(y+)+(z ) (Bei der letzten Umformung wurde die dritte binomische Formel verwendet) Es ist also zu zeigen, dass unter den gegebenen Voraussetzungen nicht (z )(y + ) +(z ) = sein kann Wäre dies der Fall, so müsste gelten: () (z )(y + ) =z Es sind nun zwei Fälle zu betrachten: Fall: z = in diesem Falle ist z = und deshalb muss einer der beiden Faktoren auf der linken Seite von Gleichung () Null sein Dann gilt z = oder y = und somit y = z, in jedem Falle entsteht ein Widerspruch zur Voraussetzung y, z, y z Fall: z in diesem Falle ist z + und die Multiplikation beider Seiten von () mit (z + ) isteineäquivalenzumformung Gleichung () erhält dadurch die Gestalt y + = z + Somit gilt y = z, was ebenfalls im Widerspruch zur Voraussetzung steht Es gilt also unter den gegebenen Voraussetzungen (z )(y + )+(z ) Somit hat die o a Matri den Rang drei und die angegebenen Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis von R 7 Lässt sich in E = { e e l } kein Vektor finden, der von U = { u u k } linear unabhängig ist, so lässt sich jeder Vektor von E als Linearkombination der Vektoren u u k darstellen: e = k i= λ i u i e = k i= λ i u i e l bzw in kürzerer Schreibweise k e j = λ ji u i i= = k i= λ li u i (für j =l) Da E ein Erzeugendensystem von V ist, gibt es für jeden Vektor V reelle Zahlen μ,μ l mit = l j= μ j e j, somit gilt also

4 4 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 ) l k l k = λ ji u i = μ j λ ji u i = ν i u i j= μ j ( k i= i= mit ν i = l j= μ jλ ji für i N, i k Also ist in diesem Falle jeder Vektor V als Linearkombination von u u k darstellbar damit ist U = { u u k } bereits ein Erzeugendensystem und (wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit) eine Basis von V Eistiert in E = { e e l } hingegen ein Vektor, der von U = { u u k } linear unabhängig ist (durch Umbenennen lässt sich erreichen, dass dies e l ist) so ist U k+ = { u u k e l } eine linear unabhängige Teilmenge Es wird nun überprüft, ob einer der Vektoren der Menge E\{ e l } = { e e l } von U linear unabhängig ist Trifft dies für keinen der Vektoren zu, so ist U k+ ein Erzeugendensystem (der Beweis erfolgt ebenso wie oben für U), der Satz ist also bewiesen Gibt es jedoch in E\{ e l } = { e e l } einen Vektor, der von U k+ linear unabhängig ist (o B d A sei dies e l ), so ist auch U k+ = { u u k e l e l } linear unabhängig Das Verfahren wird nun fortgesetzt, wobei sich mit jedem Schritt entweder herausstellt, dass U k+m = { u u k e l m+ e l } ein Erzeugendensystem (und damit eine Basis) ist, womit das Verfahren abgebrochen wird, oder dass U k+m durch einen weiteren Vektor aus E erneut zu einer linear unabhängigen Menge erweitert werden kann Spätestens nachdem U durch alle Vektoren von E erweitert wurde, ist dann durch schrittweise Erweiterung von U durch Vektoren von E eine Basis gefunden 8 Nach dem Satz 56 (Basisergänzungssatz) lässt sich jede linear unabhängige Teilmenge eines Vektorraumes V durch Elemente eines Erzeugendensystems zu einer Basis von V ergänzen Da nach dem Satz 58 alle Basen eines Vektorraumes gleich viele Vektoren enthalten und U ebenso viele Elemente enthält wie die Basis B, mussu bereits eine Basis sein 9 Nach dem Satz 54 (Verkürzungssatz) ist jedes Erzeugendensystem E von V entweder eine Basis von V oder es eistiert eine echte Teilmenge von E, die eine Basis von V ist Da jede Basis von V n Elemente enthalten muss, eistiert keine echte Teilmenge von E die Basis von V ist, denn jede echte Teilmenge von E hat weniger als n Elemente Somit ist E eine Basis von V a) Offensichtlich ist F nicht leer, denn die klassische Fibonacci-Folge (58)erfüllt die Bedingung f n+ = f n +f n+ Weiterhin ist die Summe (f n )+(g n ) zweier beliebiger verallgemeinerter Fibonacci-Folgen (f n ) und (g n ) ebenfalls eine verallgemeinerte Fibonacci-Folge aus f n+ = f n + f n+ und g n+ = g n + g n+ für alle n N,n folgt f n+ + g n+ = f n +f n+ + g n +g n+ = f n +g n + f n+ +g n+ Völlig analog zeigt man, dass für jede verallgemeinerte Fibonacci-Folge (f n ) auch die Folge λ(f n ) eine (verallgemeinerte) Fibonacci-Folge ist j= i=

5 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 5 Nach dem Unterraumkriterium (Satz 5) ist F somit ein Unterraum des Vektorraumes aller Folgen reeller Zahlen b) Jede verallgemeinerte Fibonacci-Folge ist durch die Angabe ihrer ersten beiden Glieder eindeutig bestimmt, denn mittels der Bildungsvorschrift f n+ = f n + f n+ lassen sich daraus alle weiteren Glieder berechnen Wir müssen also für Basisvektoren nur die ersten beiden Glieder angeben Eine Basis des Vektorraumes der Fibonacci-Folgen ist B = {(b n ) (c n )} mit b =,b =,b n+ = b n +b n+, c =,c =,c n+ = c n +c n+ Die lineare Unabhängigkeit von B = {(b n ) (c n )} lässt sich bereits mithilfe der ersten beiden Folgenglieder zeigen Eine Folge, deren erste beide Glieder Null sind, lässt sich nur auf triviale Weise als Linearkombination von (b n ) und (c n ) darstellen, dies gilt erst recht für den Nullvektor (die Folge, deren sämtliche Glieder Null sind) B = {(b n ) (c n )} ist auch ein Erzeugendensystem, denn jede verallgemeinerte Fibonacci-Folge ist durch ihre ersten beiden Glieder bestimmt Es lässt sich (wie in R ) mithilfe der Paare ( ) und ( ) jedes beliebige Paar reeller Zahlen erzeugen, also beliebige erste Folgenglieder (f f ) einer verallgemeinerten Fibonacci-Folge Somit lässt sich jede verallgemeinerte Fibonacci-Folge als Linearkombination von (b n ) und (c n )erzeugen B = {(b n ) (c n )} ist also eine Basis von F die Dimension von F ist a) Es ist das lineare Gleichungssystem = λ + λ + s zu lösen Dies kann zum Beispiel mithilfe des CAS Maima geschehen: b:[-,,,,,-,,-,]$ b:[,-,,,,-,-,,]$ b:[/,/,,-/,/,,/,/,]$ m:[4,9,,,5,7,8,,6]$ solve([lambda*b[] + lambda*b[] + s*b[] = m[], lambda*b[] + lambda*b[] + s*b[] = m[], lambda*b[] + lambda*b[] + s*b[] = m[], lambda*b[4] + lambda*b[4] + s*b[4] = m[4], lambda*b[5] + lambda*b[5] + s*b[5] = m[5], lambda*b[6] + lambda*b[6] + s*b[6] = m[6], lambda*b[7] + lambda*b[7] + s*b[7] = m[7], lambda*b[8] + lambda*b[8] + s*b[8] = m[8], lambda*b[9] + lambda*b[9] + s*b[9] = m[9] ], [lambda, lambda, s])

6 6 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 Als Lösung erhält man λ =6,λ ( =,s= ) 5 Dies sind die Koordinaten des magischen Quadrats 57 bezüglich der in Beispiel ermittelten Basis b) Eine Basis des Vektorraumes der ( magischen ) Quadrate der Kantenlänge 49, in der das magische Quadrat 57 ein Basisvektor ist, erhält man 86 ausgehend von der Basis B = mithilfe von Satz 59 Dessen Voraussetzung μ ist wegen der in a) ermittelten Koordinaten für jeden der Basisvektoren von B erfüllt, d h jeder dieser Basisvektoren darf gegen das in der Aufgabe genannte magische Quadrat ausgetauscht werden Eine Basis, welche die Aufgabenstellung erfüllt, ist als z B: 49 B = a)diezweitereiheenthält k, die dritte Reihe k Steine usw Somit ist die Gesamtzahl der Steine einer Rechenmauer k n =+++ k = i = k (k+) b) Wir nummerieren die Steine der Rechenmauer wie in der folgenden Abbildung i= Dann muss gelten: a = a + a a = a + a a = a + a 4 a = a + a = a + a + a + a = a +a + a a = a + a = a + a + a + a 4 = a +a + a 4 a 4 = a + a = a +a + a + a +a + a 4 = a +a +a + a 4 Jede additive reelle Rechenmauer mit vier Grundsteinen lässt sich somit als n-tupel

7 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 7 a a a a 4 a a a a a a 4 = a a a a 4 a +a a +a a +a 4 a +a +a a +a +a 4 a +a +a +a 4 mit a,a,a,a 4 R schreiben Dabei handelt es sich um eine nicht leere Teilmenge von R Eslässt sich leicht zeigen, dass für zwei beliebige Rechenmauern (mit Koeffizienten a ij und b ij ) und für beliebige λ R auch a a a a 4 a +a a +a a +a 4 a +a +a a +a +a 4 a +a +a +a 4 + b b b b 4 b +b b +b b +b 4 b +b +b b +b +b 4 b +b +b +b 4 sowie λ a a a a 4 a +a a +a a +a 4 a +a +a a +a +a 4 a +a +a +a 4 = λa λa λa λa 4 λa +λa λa +λa λa +λa 4 λa +λa +λa λa +λa +λa 4 λa +λa +λa +λa 4 die Bedingungen an Rechenmauern erfüllen Somit ist die Menge aller reellen Rechenmauern mit vier Grundsteinen nach dem Unterraumkriterium ein Unterraum von R c) Eine Basis dieses Unterraumes ist, wie man leicht nachprüft, B = Der Vektorraum der reellen Rechenmauern mit vier Grundsteinen ist demnach vierdimensional

8 8 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 Eine Basis von U ist B = Eine Basis von U ist B =,alsoistdimu =,alsoistdimu = Um eine Basis von U U zu bestimmen, löst man das aus vier Gleichungen bestehende LGS, das die vier zu U bzw zu U gehörenden Bedingungen enthält (jeder Vektor, der zu U U gehört, muss alle vier Gleichungen erfüllen) Es ergibt sich eine einparametrige Lösungsmenge mit dem Basisvektor, also ist dim(u U )= Ein Erzeugendensystem von U + U erhält man, indem man Erzeugendensysteme beider Unterräume vereinigt, also ist E = ein Erzeugendensystem von U + U Allerdings sind diese 4 Vektoren nicht linear unabhängig, der Rang des sich ergebenden LGS ist Eine Basis von U + U besteht daher nur aus drei Vektoren, z B: B = Es ist also dim U =, dimu =, dim(u U ) =, dim(u +U )= Tatsächlich gilt immer die Dimensionsformel (Satz 5): dim U +dimu = dim(u U ) + dim(u +U )