Das elektrische Feld als Energiespeicher

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1 Laungsquantelung Das elektrische Fel als Energiespeicher 79. Das elektrische Fel als Energiespeicher a) Welche Beobachtung legt nahe, ass in einem elektrischen Fel Energie gespeichert ist? b) Zeigen Sie, ass im elektrischen Fel eines Plattenkonensators (Kapazität, Betrag er Laung auf einer Platte Q, Betrag er Spannung zwischen en Platten U) ie Energie E el Q E el gespeichert ist! c) Zeigen Sie, ass auch gilt: U bzw. Q U 8. Moifizierte Formel für ie elektrische Energie a) Zeigen Sie, ass im homogenen elektrischen Fel er Felstärke E un er elektrischen Verschiebungsichte D eines Plattenkonensators, essen Plattenzwischenraum as Volumen V einnimmt un materiefrei ist, ie elektrische Energie E D V gespeichert ist! b) Wie lautet ie Beziehung aus Teilaufgabe a, wenn er Plattenzwischenraum mit einem Dielektrikum er relativen DK ε r gefüllt ist? c) Welchen physikalischen Aspekt es elektrischen Fels bringt ie Formel aus Teilaufgabe a besser zum Ausruck als ie Formeln aus Aufgabe 79? 8. Energiebilanz für einen materiefreien Plattenkonensator mit veränerlichem Plattenabstan Ein materiefreier Plattenkonensator (Plattenfläche 4, cm ; Plattenabstan 3, cm) ist an eine Batterie (Spannungsbetrag U 3 V) angeschlossen. a) Berechnen Sie en Betrag Q er Laung auf einer Konensatorplatte un ie vom Konensator gespeicherte elektrische Energie E el,! Nun wir bei angeschlossener (Fall I) bzw. abgetrennter (Fall II) Batterie er Plattenabstan auf 7, cm vergrößert. 3

2 Materie im elektrischen Fel Berechnen Sie für beie Fälle b) ie abei verrichtete mechanische Arbeit W mech, c) ie Änerung E er vom Konensator gespeicherten elektrischen Energie ) un stellen Sie mit Hilfe er Ergebnisse aus en Teilaufgaben b un c jeweils eine quantitative Energiebilanz auf! Lösungen 79. Das elektrische Fel als Energiespeicher a) Wir ein gelaener Konensator von er Spannungsquelle abgetrennt un über einen ohmschen Wierstan R kurzgeschlossen (Schalter von I nach II), so entlät er sich. Der Entlaestrom verrichtet elektrische Arbeit, ie im ohmschen Wierstan vollstänig in Wärme umgewanelt wir. Die hierfür benötigte Energie kann nicht von er Spannungsquelle bezogen weren, a iese ja abgetrennt ist. Als einzig mögliches Energiereservoir R kommt nur as elektrische Fel II I es Plattenkonensators in Betracht. b) Wir er Schalter zum Zeitpunkt t, zu em sich noch ie gesamte Laung Q auf en Konensatorplatten befinet, Q() Q, von I nach II bewegt, so hat sich ie im Konensator gespeicherte Energie E elektr bis zum Zeitpunkt t, zu em er Konensator sicher entlaen ist, Q(), vollstänig in elektrische Arbeit W el es Entlaestroms umgewanelt. Es gilt also 33

3 Laungsquantelung Wel U() t I() t t vgl. Hinweis Q( t) FS. S. 4 /. 6. : U( t) Q( t) Q t t FS S It Qt ().. 36 /. : () () Das Minuszeichen berücksichtigt ie Tatsache, ass ie Laung auf en Konensatorplatten abnimmt. Qt () Qt () t [ Q() t] ( ) ( ) Q Q ( ) Q ( ) Q c) Q Q Q U Q U Q FS S Q U.. 4 /. 6. : Q U U FS S Q U ( ).. 4 /. 6. : Hinweise: P. Aus em Physikunterricht er Mittelstufe wissen Sie, ass eine U I zeitlich konstante Spannung U, ie einen zeitlich konstanten Strom I verursacht, in er Zeit t ie elektrische Arbeit W U I t verrichtet (vgl. FS. S. 37 /.4.). W el Trägt man ie zeitlich konstante t t elektrische Leistung P, P U I, gegen ie Zeit t in einem t-p-diagramm an, so entspricht ie elektrische Arbeit em Flächeninhalt es Rechtecks mit en Seiten U I un t. 34

4 Materie im elektrischen Fel Sin U(t) un I(t) un amit Ut () It () zeitabhängige Funktionen, so ergibt sich ie zwischen t un t t verrichtete elektrische Arbeit auch als Flächeninhalt unter er t-u I-Kurve. Es gilt also: P W el t Wel U() t I() t t t t t t. In er Formelsammlung ist nur ie Beziehung U aufgeführt, auf S. 4 / Moifizierte Formel für ie elektrische Energie a) FS. S. 4 /. 6. 3: E el U A E U A el FS. S. 4/ 6.. : ε FS. S. 38 /.. 3: U E ε U V W A E E A E el ε V E ε ε E ε E V FS. S. 39/. 3: D ε E E D V b) Bezeichnen E mat bzw. D mat ie Beträge er elektrischen Felstärke bzw. er elektrischen Verschiebungsichte im materiegefüllten Plattenzwischenraum, so gilt:, mat Emat Dmat V c) Aus zahlreichen Versuchen ist bekannt, ass in einem Volumen V, as von einem elektrischen Fel er Stärke E urchsetzt wir, elektrische Energie gespeichert ist. Genau iesen Sachverhalt, ass as elektrische Fel, auch losgelöst von Materie, Träger von Energie ist, bringt ie Formel aus Teilaufgabe a besser zum Ausruck. Sie beschreibt nämlich 35

5 Laungsquantelung ie im Volumen V gespeicherte elektrische Energie nur urch ie ort messbaren Felgrößen E un D un nicht urch Größen, ie ie materiellen Felerzeuger charakterisieren. Hinweis:. Die Formeln aus Teilaufgabe a un b sin in er Formelsammlung nicht aufgeführt. Sie können aber leicht aus er ort auf S. 39 /.4 abgeruckten Beziehung ρ el E D für ie Energieichte eines elektrischen Fels rekonstruiert weren: Die Energieichte ist eine reichlich theoretische Größe. Sie rückt aus, welcher Energieanteil von er im Plattenzwischenraum gespeicherten elektrischen Energie auf ie Volumeneinheit entfällt, also ρ el E el V. Mittels E el E D V lässt sich er Betrag er Kraft F, mit er sich ie Platten eines Konensators gegenseitig anziehen aneres als in Aufgabe 4 berechnen: Vergrößert man nämlich bei einem gelaenen, von er Spannungsquelle getrennten Konensator en Abstan er Platten von auf + (Denken Sie im Folgenen aran, ass sich F, D un E abei nicht änern!), so führt ie hierbei aufgewante mechanische Arbeit W F zu einer Zunahme E D V er im Fel gespeicherten elektrischen Energie. W F E D V EDA F E D A Dies ist ie im Hinweis zu Aufgabe 4 angesprochene, moifizierte, in er Formelsammlung aufgeführte Form er Formel F E Q. 8. Energiebilanz für einen materiefreien Plattenkonensator mit veränerlichem Plattenabstan a) A Q U U 4 4 m 885, ε, 3V V m 3, m 35, n 36

6 Materie im elektrischen Fel E U A el, U ε, m, ( 3V) 5,3 7J V m 3, m Fall I: U konst. 3 V Fall II: Q konst. 3,5 n b) Für en Betrag F(x) er Kraft, ie eine Konensatorplatte auf ie anere bei einen Plattenabstan x ausübt, gilt nach FS. S. 4 /.6.4 Fx ( ) EDA Fx ( ) ε E A D Fx ( ) A ε U ε A Q x A ε U A ε A Q x konst. A ε Da Wmech F( x) x, folgt hieraus: ε U A x Q W mech W x mech x A ε ε U A [ Q x] [ x] A ε ε U A Q ( ) ( A ) ε (Aus Platzgrünen wir er explizite Zahlenterm ausnahmsweise nicht angegeben.) 3, 7 J 69, 7 J 37

7 Laungsquantelung Fall I: U konst. 3 V Fall II: Q konst. 3,5 n c) E,, U U Q Q A A U ( ε ) ε Q ε U A ( b) ) ε A ε A b) Q b) W 3 7 ( mech, J A ) ε W 69 7 mech, J ) Vergrößert man en Plattenabstan von auf, so wir aurch em System (Plattenkonensator un Batterie) (nur Plattenkonensator) von außen ie Energie Wmech 3, 7 J Wmech 69, 7 J zugeführt. Die vom Konensator gespeicherte Energie nimmt um E 3, 7 J ab. E 69, 7 J zu. Folglich wir er Batterie nicht nur ein Energiebetrag in Höhe er von außen am System verrichteten mechanischen Arbeit zugeführt, sonern arüber hinaus ein gleich großer Energiebetrag, er ursprünglich im elektrischen Fel im Plattenzwischenraum es Konensators gespeichert war. Der Energieinhalt er Batterie erhöht sich insgesamt um 6, 7 J. Die em System von außen her zugeführte mechanische Energie wir im elektrischen Fel es Plattenzwischenraums gespeichert. Der Energieinhalt er Batterie änert sich nicht, sie war ja abgeklemmt. Hinweis: Teile ieser Aufgabe weren gerne in Prüfungsaufgaben verwenet! 38