Anwendung Differenzial-/Integralrechnung Matura

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1 Anwendung Differenzial-/Integralrechnung Matura 1. Eine Straßen bahn fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s und beginnt vor der Haltestelle zu bremsen. Vom Bremsbeginn bis zum Stillstand lässt sich der Geschwindigkeitsverlauf näherungsweise durch die folgende Funktion beschreiben: v(t)= t t t 12 (Skizze unten) (a) Geben Sie eine Funktion an, die die Bremsverzögerung beschreibt. (b) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem de Betrag der Bremsverzögerung maximal ist, und geben Sie diese Bremsverzögerung an. (c) Erklären Sie anhand der Skizze, um welchen besonderen Punkt des Funktionsgrafen es sich dabei handelt. (d) Wie groß ist der Bremdweg der Straßenbahn? (e) Zeichnen Sie ihn auch in der Skizze ein. 2. Der Stephansdom ist ein Wahrzeichen Wiens. Die große Glocke im Stephansturm heißt Pummerin. Die Form der Pummerin kann durch folgende Funktionslgeichung angenähert werden: f (x)=0,4 x 4 1,8x 2 +2,3 x [ 1,5;1,5] (Maße in m) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Querschnitts.

2 3. Der Stromverbrauch eines Betriebs hängt von der Tageszeit ab. Für den Zeitraum von 8:00 h bis 18:00 h kann er näherugnsweise durch foglende Funktion dargestellt werden: f (t)=6t 4 120t t 2 t Zeit seit 8 h in Stunde ( 0 t 10 ) f(t) elektrische Leistung in Watt (W) (a) Beschreiben Sie, wie Sie den Zeitpunkt, zu dem die elektrische Leistung maximal ist, und die maximale Leistung berechnen können. (b) Ermitteln Sie die Wendepunkte der Funktion f und interpretieren Sie ihre Bedeutung in diesem Zusammenhang. (c) Den gesamten Stromverbrauch in Wattstunden (Wh) erhält man, indem man die Leistung integriert. i. Berechnen Sie de gesamten Stromverbrauch innerhalb von 10 h und geben Sie das Ergebnis in Kilowattstunden (kwh) an. ii. Berechnen Sie auch den durchschnittlichen Verbrauch pro Stunde. 4. Bei einem Autorennen kann die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs in den ersten 10 Seknden annähernd durch die Funktion v(t)= 0,18 t 3 +2,7 t 2 in Meter pro Sekunde beschrieben werden. (a) Berechnen Sie, welche Weg das Auto in den ersten 10 Sekunden zurück legt. (b) Ermitteln Sie die Gschwindigkeit des Autos nach 7 Sekunden in Kilometer pro Stunde. (c) Argumentieren Sie, warum das Intervall [0; 10] der sinnvolle Definitionsbereich für dieses Funktion ist. (d) Geben Sie die Gleichung jener Funktion an, die die Beschleunigung des Autos in den ersten 10 Sekunden beschreibt. 5. Ein Auto im Stadtverkehr steht bei einer roten Ampel, fährt bei Grün an, fährt eine Zeitlang mit gleichbleibender Geschwindigkeit und muss bei der darauffolgenden Ampel wieder abbremsen. Die Abbildung zeigt den zurückgelegten weg in Abhängigkeit von der Zeit zwischen zwei Ampeln.

3 (a) Das Auto beschleunigt aus dem Stand mit der konstanten Beschleunigung von 2,8 m/s². Ermitteln Sie die Gleichung der Zeit-Weg-Funktion in der Beschleunigungsphase. (b) Lesen Sie aus dem Grafen die konstante Geschwindigkeit im zweiten Zeitabschnitt ab ( 5 s t 14 s ). (c) Während der Bremsphase ist der Weg durch die folgende Funktion gegeben: s 3 (t)= 1,75t 2 +63t 378 Geben Sie die Funktionsgleichung für die Geschwindigkeit an und berechnen Sie die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t = 15 s. 6. Der Expresszug Peter Rosegger verbindet Wien mit Zagreb. Er bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit auf die Balkanregion zu. (a) Der Zugführer bremst den Zug 6 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit v des Zuges lässt sich in dieser Phase durch v(t)= 4 27 t3 4 3 t2 +35 in Meter pro Sekunde beschreiben. i. Berechnen Sie, welchen Weg der Zug während des Bremsvorgangs zurücklegt. ii. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Zuges am Ende des Bremsvorgangs in Kilometer pro Stunde. (b) Erklären Sie allgemeine, wie die Weg-Zeit-Funktion s(t), die Geschwindigkeit-Zeit- Funktion v(t) und die Beschleunigung-Zeit-Funktion a(t) mathematiksch zusammenhängen. 7. Zwei Physikerinnen blicken auf den Hallstätter See und entwickeln eine Formel, die die Entfernung d eines Rundfahrtschiffes von der Ablegestelle angibt. Sie lautet: d(t)=0,2t 3 16t t t Fahrtdauer in Minuten d(t) Entfernung von der Ablegestelle in Meter (a) Zeigen Sie, dass die Physikerinnen eine Gesamtdauer von 40 min für die Rundfahrt angenommen haben. (b) Argumentieren Sie, warum das Intervall [0; 40] der sinnvolle Definitionsbereich für dieses Funktion ist. (c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, and em das Schiff am weitesten von der Ablegestelle entfernt ist. 8. Die Formel-1-Saison 2015 begann am wie auch die Jahre davor auf dem 5,303 km langen Albert Park Circuit von Melbourne, Australien, und brachte folgendes Ergebnis:

4 Die ersten 10 Sekunden nach Beginn des Starts können annähernd durch die Geschwindigkeitsfunktion v(t)= 0,2t 3 +2t 2 +8t (v(t) in m/s und t in Sekunden) beschrieben werden. (a) Bestimmen Sie die Länge der Beschleunigungsphase in Sekunden. Wie hoch ist die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt? (b) Bestimmen Sie die mittlere Beschleunigung im Zeitintervall t [1;6]. (c) Berechnen Sie die Länge des Wegs, der in den ersten 4 Sekunden zurückgelegt wird.? (d) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit des Siegers Lewis Hamilton während des gesamten Grand Prix. (e) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Geschwindigkeit 20 m/s beträgt.? (f) Begründen Sie allgemein, warum eine Polynomfunktion 3. Grades höchstens zwei Extremwerte haben kann. (g) Geben Sie an, wie Sie die Fläche zwischen dem abgebildeten Funktionsgrafen und der x- Achse berechnen können. Begründen Sie Ihre Antwort. 6 f(x)dx richtig falsch f( x)dx+ f (x) dx richtig falsch 3 6 f (x)dx richtig falsch f (x)dx Die Durchflussstärke eines Flusses kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die folgende Funktion beschrieben werden: f (t)=0,0175 t 3 0,84 t 2 +10,5t t Zeit in Stunden seit 0:00 Uhr f(t) Durchflussstärke in Millionen m³ pro Stunde (a) Berechnen Sie, zu welcher Uhrzeit der Durchfluss am stärksten war, und ermitteln Sie die maximale Durchflussstärke. (b) Die gesamte Durchflussmenge ergibt sich aus dem Integral von f(t). Berechnen Sie, wie viel Wasser in 24 Stunden durchgeflossen ist und wie hoch die durchschnittliche Durchflussmenge pro Stunde war. 10.Die Konzentration des Ozons in der Atmosphäre wird in sogenannten Dobson-Einheiten gemessen wurden 300 Dobson gemessen, 10 Jahre später war dieser Wert auf 250 Dobson gesunken und 1988 konnte man nur mehr 175 Dobson messen. (a) Die zeitliche Entwicklung der Ozonkonzentration kann durch eine quadratische Funktion

5 K(t)=a t 2 +b t+c beschrieben werden. K(t) Ozonkonzentration in der Atmosphäre in Dobson zum Zeitpunkt t t vergangene Zeit in Jahren seit 1968 Erstellen Sie das Gleichungssystem, mithilfe dessen die Koeffizienten der Funktionsgleichung berechnet werden können. (b) Die Funktionsgleichung lautet K(t)= 0,125 t 2 3,75t+300. i. Im Jahr 2002 betrug die Ozonkonzentration in der Atmosphäre 33 Dobson. Beziehen Sie zu dieser Aussage Stellung. ii. Berechnen Sie, in welchemjahr die Konzentration nur mehr 70 Dobson beträgt. iii. Geben Sie eine Formel an, mit der man die durchschnittliche Änderung der Ozonkonzentration pro Jahr von 1984 bis 2000 berechnen kann. 11.Die ESA (European Space Agency) bringt seit 1996 mit Hilfe der Trägerrakete Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. (a) Die Rakete steigt nach dem Start ca. 180 Sekunden lang mit einer konstanten Beschleunigung von 6,18 m/s². Danach sind die Brennstoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt. Bestimmen Sie i. die Funktion v, die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. ii. die Funktion s, die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt. Berechnen Sie zum Zeitpunkt des Absprengens der Brennstoffbooster: iii. die Höhe, in der sich die Rakete befindet. iv. die Geschwindigkeit der Rakete. (b) Ca Sekunden nach dem Start erreicht die Rakete in 1000 km Höhe die geostationäre Umlaufbahn, in der sie die Satelliten aussetzt. Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete seit dem Start in m/s und km/h. (c) Der Start einer anderen Rakete sei durch das Zeit-Weg-Gesetz s(t)= t t3 12 beschrieben (s(t) erreichte Höhe nach t Sekunden). Berechnen und interpretieren Sie im Sachzusammenhang: i. den Wert des Quotienten s(5) s(3) 2 ii. s (4) (d) Die nachstehende Abbildung zeigt den Grafen einer Polynomfunktion f. Alle Nullstellen sind ganzzahlig. Die Fläche A, die von Grafen der Funktion und der x-achse begrenzt wird, ist schraffiert dargestellt. Geben Sie eine Rechnung an, mit der A aus der Funktion f berechnet werden kann.

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7 Ergebnisse: 1) a) b(t) = 5 / 96 t² 5 / 8 t b) b (t) = 5 / 48 t 5 / 8 = 0 t = 6 Sekunden c) Wendepunkt d) 90 m e) Fläche unter der Kurve 2) 4,065 m² 3) a) erste Ableitung von f(t) Null setzen, daraus t berechnen => Zeitpunkt, zu dem elektrische Leistung maximal ist; diesen Wert in f(t) einsetzen => maximale Leistung b) W 1 (2,11/1662,92), W 2 (7,89/1662,92); Zuwachs bzw. Abnahme sind zu diesen Zeitpunkten am größten c) 20 kwh d) 2 kw 4) a) 450 m b) 254 km/h c) im Intervall [0; 10] ist die Funktion streng monotn steigend, für x > 10 fällt die Funktion, nicht anzunehmen, dass das Auto nach 10 Sekunden bremst d) a(t) = -0,54t² + 5,4t 5) a) s 1 (t) = 1,4t² b) 13,89 m/s c) v(t) = -3,5t + 63; v(15) = 10,5 m/s 6) a) i. 162 m ii. 68,4 km/h b) a(t) = v (t) = s (t) 7) a) d(40) = 0 b) Nachdem die Rundfahrt 40 min dauert, ergibt t > 40 in diesem Zusammenhang keinen Sinn c) t = 13 min 20 s 8) a) 8,28 s; 89,82 m/s b) 13,5 m/s² c) 93,86 m d) 55,78 m/s e) 1,82 s f) Extremwerte werden als Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Eine Funktion 3. Grades hat als Ableitungsfunktion eine Funktion zweiten Grades. Diese hat maximal zwei Nullstellen. g) falsch, weil über Nullstellen hinweg integriert wird; falsch, weil hier die beiden Flächeninhalte subtrahiert werden; richtig, zweites Integral < 0, daher braucht man Betrag um Flächeninhalte zu addieren 9) a) um 8 Uhr 31, 39,31 Mio m³/h b) 604,8 Mio m³; 25,2 Mio m³/stunde 10) a) K(0) = 300: c = 300 K(10) = 250: 100a + 10b + c = 250 K(20) = 175: 400a + 20b + c = 175 K(32) K(16) b) i. stimmt nicht, nur 28 Dobson ii. Im Jahr 1998/1999 iii ) a) i. v(t)=6,18 t ii. s(t)=3,09 t 2 iii. s(180)= km iv. v(180)=1112,4 m/s 4005 km/h 10 6 (b) =588,24 m/s 2118 km/h 1700 (c) (d) 10,36 2,24 i. =4,06 2 Die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete von der 3. bis zur 5. Sekunde beträgt 4 m/s. ii. s (4) = 3,979 Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4 beträgt ca. 4 m/s. A= 1 2 f (x)dx + f( x)dx 2 1