Formale Sprachen und Automaten

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1 Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen enthalten: Zahlen, Symbole, andere Mengen, etc. Mengen kann man dadurch charakterisieren, dass man ihre Elemente aufzählt. Menge 1 = {1, 3, 4, 6} Menge 2 = {Moses, Josua, Ruth, Samuel} Die Elemente einer Menge haben nicht notwendigerweise etwas gemein. Menge 3 = {1, 4, Josua, Ruth} Reihenfolge und Dopplung der Elemente sind egal. {1, 3, 4, 6} = {3, 6, 4, 1} {1, 3, 4, 6} = {6, 6, 1, 3, 4, 6, 4} Typeset by FoilTEX 1 Typeset by FoilTEX 2

2 Mengen 2 Mengen 3 bezeichnet die Elementbeziehung, die negierte Form davon. 1 {1, 3, 4, 6} 5 {1, 3, 4, 6} A ist eine Teilmenge von B (A B), genau dann, wenn (gdw). für alle x gilt: wenn x A, dann x B. A = B gdw. A B und B A A ist eine echte Teilmenge von B (A B), gdw. A B und A B Es gibt eine Menge ohne Element: die leeren Menge. Man schreibt { } oder. Es gibt eine Menge, die alle Elemente enthält: die universale Menge (manchmal als U geschrieben). Wenn Mengen sehr groß sind, ist es umständlich, ihre Elemente aufzuzählen. Wenn Mengen unendlich sind, ist dies praktisch sogar unmöglich. Man greift daher auf zwei alternative Darstellungen zurück. 1. Entweder, man deutet mit... an, wie die Elementfolge fortgeführt werden könnte: Menge der natürlichen Zahlen (N ) = {1, 2, 3,...} 2. Man abstrahiert von einer Eigenschaft, die alle Elemente der Menge haben: Menge der Primzahlen = {x x ist nur durch 1 und durch sich selbst teilbar} (Darstellung 1. vertraut darauf, dass der Leser die Abstraktion selber durchführt). Typeset by FoilTEX 3 Typeset by FoilTEX 4

3 Mengenoperationen Mengenoperationen 2 Es gelten folgende binäre Operationen auf Mengen: 1. Vereinigung: A B = {x x A x B} 2. Schnitt: A B = {x x A x B} 3. Komplementbildung: A B = {x x A x B} Vereinigung und Schnitt können generalisiert werden auf eine beliebige Zahl von Mengen. Sei S eine Menge von Mengen S = {x x S1 S 2... S n S 1,..., S n S} S = {x x S1 S 2... S n S 1,..., S n S} Das Komplement einer Menge A (A) ist definiert als: Ā = U A Komplementgesetze: 1. A A = U 2. (A) = A 3. A A = 4. A B = A B DeMorgans Gesetze: 1. (A B) = A B 2. (A B) = A B Typeset by FoilTEX 5 Typeset by FoilTEX 6

4 Mengenoperationen 3 Folgen Es gibt wenigstens zwei binäre Operationen auf Mengen. Die Kardinalität einer Menge A ( A ) bezeichnet die Anzahl der Elemente von A (As Mächtigkeit). A = Σ x A Die Potenzmenge von A (2 A oder P(A)) ist die Menge aller Teilmengen von A. P(A) = {x x A} Eine Folge ist eine geordnete Liste von Elementen. Folge 1 : (1,2,3,4,5) Folge 2 : (Moses, Josua, Ruth, Samuel) Folge 3 : (1, Moses, 2, Josua, 3, Ruth) Folgen sind geordnet, doppelte Elemente sind nicht redundant. (1,2,3,4,5) (3,1,2,5,4) (1,2,3,4,5) (1,1,2,3,4,4,4,5) Folgen können endlich oder unendlich sein. Eine endliche Folge nennt man ein Tupel. Ein Tupel mit k Elementen nennt man ein k-tupel. Typeset by FoilTEX 7 Typeset by FoilTEX 8

5 Folgen 2 Relationen Wenn A und B Mengen sind, dann ist das Kartesische Produkt (oder Kreuzprodukt) aus A und B (A B) definiert als die Menge aller 2-Tupel deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist. A B = {(x, y) x A y B} Das Kartesische Produkt kann auf n Stellen generalisiert werden. A 1... A n = {(x 1,..., x n ) x i A i, 1 i n} Ist eines der A i leer, so ist auch das Produkt die leere Menge. Das n-fache Kartesische Produkt, bei dem alle A i gleich A sind, schreibt man auch als A n. Eine Relation R zwischen den Mengen A und B ist eine Teilmenge von A B. Beispiel: Sei A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3}, dann ist R 1 = {(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 3)} eine Relation zwischen A und B. R 1 ist binär. Relationen können k-stellig sein. Sie sind dann Teilmengen des Kartesischen Produkts A 1... A k. Das Inverse einer Relation R A B, bezeichnet als R 1 B A, ist definiert als R 1 = {(b, a) (a, b) A B} Ein Pfad in einer binären Relation R ist eine Folge (a 1,..., a n ) mit n 1, so dass (a i, a i+1 ) R für i = 1,..., n 1. Typeset by FoilTEX 9 Typeset by FoilTEX 10

6 Eigenschaften von Relationen Funktionen Eine Relation R A A ist 1. reflexiv gdw.: (a, a) R für jedes a 2. transitiv gdw.: (a, b) R (b, c) R (a, c) R 3. symmetrisch gdw.: (a, b) R (b, a) R 4. asymmetrisch gdw.: (a, b) R (b, a) R 5. antisymmetrisch gdw.: (a, b) R a b (b, a) R Eine Funktion von einer Menge A nach einer Menge B ist eine binäre Relation R zwischen A und B mit folgender Eigenschaft: für jedes a A gibt es genau ein b B, so dass (a, b) R. R 1 = {(x, y) x ist ein Vater und y ist ein Kind} R 2 = {(y, x) x ist ein Vater und y ist ein Kind} R 2 ist eine Funktion, R 1 nicht. Eine Relation die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man Äquivalenzrelation. Typeset by FoilTEX 11 Typeset by FoilTEX 12

7 Funktionen 2 Arten von Funktionen Man schreibt eine Funktion f von A nach B oft als f : A B. 1. A ist die Domäne von f. 2. B ist der Zielbereich von f. 3. f(a) ist das Abbild von a unter f. Das Abbild einer Menge A unter f wird geschrieben als f[a]. Eine Funktion f : A B heißt 1. injektiv, gdw. für jedes b B existiert höchstens ein a A, so dass f(a) = b. 2. surjektiv, gdw. für jedes b B existiert mindestens ein a A, so dass f(a) = b. 3. bijektiv, gdw. für jedes b B existiert genau ein a A, so dass f(a) = b (f ist bijektiv gdw. f injektiv und surjektiv ist). f[a] = {f(a) a A}. Typeset by FoilTEX 13 Typeset by FoilTEX 14

8 Inverse Funktionen Funktionale Komposition Funktionen sind Relationen, haben also auch ein Inverses. Allerdings ist das Inverse einer Funktion nicht notwendigerweise wieder eine Funktion. Man schreibt das Inverse einer Funktion f : A B als f 1 : B A. Das Inverse einer bijektiven Funktion f ist immer eine bijektive Funktion f 1, die Umkehrfunktion von f. Das Inverse einer nicht-bijektiven Funktion ist niemals eine Funktion. f : A B und g : B C können komponiert werden zu einer Funktion h : A C (oder g f). h nimmt ein a A, macht damit das, was f damit getan hätte, und wendet g auf das Ergebnis von f(a) an. Für jedes a A gilt: h(a) = (g f)(a) = g(f(a)) In diesem Falle existiert nur (g f) aber nicht (f g), weil der Wertebereich von g nicht gleich der Domäne von f ist. Wenn aber f : A A und g : A A, dann existieren sowohl (g f) als auch (f g). Typeset by FoilTEX 15 Typeset by FoilTEX 16

9 Beweis durch Widerspruch Endliche und unendliche Mengen Ein wichtiges Beweisschema ist der Beweis durch Widerspruch. Beweis von Hypothese H durch Widerspruch: 1. Nimm an, es gelte die Negation von H: H 2. Leite dann unter dieser Annahme durch logische Schlußfolgerungen einen Widerspruch ab. 3. Das einzige, was in dieser Ableitung zum Widerspruch geführt haben kann, ist die Annahme, dass H gilt. 4. Daher muss H falsch sein (H kann nicht richtig sein, und eine dritte Möglichkeit gibt es nicht). 5. Wenn H falsch ist, dann ist H wahr. q.e.d. Das Schema beruht auf der Annahme, dass H/H nicht gleichzeitig wahr und falsch sein können. Mengen A und B sind gleich mächtig, wenn es eine Bijektion zwischen A und B gibt. Eine Menge A ist endlich, wenn es eine Bijektion zwischen A und {1,..., n} gibt, für eine natürliche Zahl n N. Eine Menge A ist unendlich, wenn sie nicht endlich ist. Beispiele für unendliche Mengen: die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die Primzahlen, die reellen Zahlen,... Sind alle unendlichen Mengen gleich mächtig (d.h. kann man immer eine Bijektion zwischen solchen Mengen finden)? Typeset by FoilTEX 17 Typeset by FoilTEX 18

10 Abzählbarkeit Überabzählbare Mengen und Diagonalisierung Eine Menge A ist 1. abzählbar, wenn (a) A endlich ist, oder (b) A abzählbar unendlich ist. 2. abzählbar unendlich, wenn A gleich mächtig ist wie N (es gibt Bijektion zwischen A und N ). 3. überabzählbar, wenn A nicht abzählbar ist. Beispiele für abzählbar unendliche Mengen: 1. die geraden Zahlen 2. die ganzen Zahlen 3. die Vereinigung zweier abzählbar unendlicher Mengen Nicht alle unendlichen Mengen sind abzählbar. Dies kann man durch Cantors (Georg Cantor, ; deutscher Mathematiker) Diagonalisierungsprinzip zeigen (siehe Cantor 1890). Diagonalisierungsprinzip: Sei R A A eine binäre Relation und sei D die Diagonalisierungsmenge für A: D = {a (a, a) R}. Für jedes a A sei R a = {b b A (a, b) R}. Dann ist D verschieden von jedem R a. Das Diagonalisierungsprinzip ist anwendbar auf endliche und unendliche Mengen. Typeset by FoilTEX 19 Typeset by FoilTEX 20

11 Cantors Diagonalisierungstheorem Vollständige Induktion Theorem: Die Menge 2 N ist überabzählbar unendlich. Beweis durch Widerspruch: 1. Angenommen 2 N sei abzählbar unendlich. Dann existiert eine Bijektion von N nach 2 N (d.h., man kann jedes Element von 2 N mit einer natürlichen Zahl indizieren): 2 N = {R 0, R 1, R 2,...}. 2. Bilde die Diagonalmenge D = {n N n R n }. 3. D enthält nur natürliche Zahlen, muss also in 2 N sein. 4. Also muss es ein k N geben, so dass D = R k. 5. Das kann aber nicht sein, da D R k, für jedes k (nach Konstruktion von D). Man hat also einen Widerspruch. 6. Dann muss die Annahme, dass 2 N abzählbar unendlich ist, falsch sein. q.e.d. Hypothese: Eigenschaft P gilt für alle natürlichen Zahlen. Beweis: erfolgt üblicherweise durch das Prinzip der vollständigen Induktion. Schema der vollständigen Induktion: 1. Zeige, dass P für 0 (oder 1) gilt (Induktionsanfang). 2. Nimm an, dass P für eine beliebige natürliche Zahl n gilt (Induktionsannahme). 3. Zeige, dass P für n + 1 gilt (Induktionsschritt). Typeset by FoilTEX 21 Typeset by FoilTEX 22

12 Induktionsbeweis 1. Beispiel Induktionsbeweis 1. Beispiel, 2 Beobachtung: 1 = 1 = = 4 = = 9 = = 16 = 4 2 Zeige: Für alle natürlichen Zahlen n 1 gilt n k=1 (2k 1) = n2. Beweis (Franciscus Maurolicus, ): durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang (n = 1): 1 k=1 (2k 1) = 1 = 12 Induktionsvoraussetzung: Es gilt n k=1 (2k 1) = n2. Fortsetzung Induktionsschritt: n+1 k=1 (2k 1) = n k=1 (2k 1) + (2(n + 1) 1) = n k=1 (2k 1) + (2n + 1) = (wegen Voraussetzung) n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 q.e.d. Typeset by FoilTEX 23 Typeset by FoilTEX 24

13 Induktionsbeweis 2. Beispiel Induktionsbeweis 2. Beispiel, 2 Zeige: P(M) = 2 n, wenn M = n. Beweis: durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang (n = 0): 1. Wenn M =, dann M = Dann ist P(M) = { }, denn nur die leere Menge ist Teilmenge der leeren Menge. 3. Dann ist P(M) = 1 = 2 0. Induktionsvoraussetzung: Sei M = n und es gelte P(M) = 2 n. Fortsetzung Induktionsschritt: 1. Sei M = n+1 und sei x ein bestimmtes Element in M. 2. Teile P(M) auf in (a) alle A P(M), so dass x A (b) alle B P(M), so dass x B 3. Nach Vorraussetzung ist die Anzahl der A P(M) = 2 n (alle As sind Teilmengen einer Menge mit n Elementen; x fehlt!). 4. Aus allen Bs kann man x entfernen. Das ändert die Anzahl der Bs nicht, aber danach handelt es sich auch bei den Bs um Teilmengen einer Menge mit n Elementen. Also gilt nach Voraussetzung, dass die Anzahl aller B = 2 n 5. Addiere die Anzahl der As und Bs: 2 n + 2 n = 2 n+1 q.e.d. Typeset by FoilTEX 25 Typeset by FoilTEX 26

14 Schubfachprinzip Abschlusseigenschaften Schubfachprinzip (pigeon hole principle): Wenn A und B endliche Mengen sind, und wenn A > B, dann gibt es keine injektive Funktion f : A B. Beweis: durch vollständige Induktion über B. Induktionsanfang ( B = 0): Dann existiert f : A B nicht und kann auch nicht injektiv sein. Induktionvoraussetzung: Es gibt kein injektives f : A B für B = n, wenn A > B. Induktionsschritt: Sei A > B und B = n + 1. Betrachte a A. Wenn es a A gibt, so dass a a und f(a) = f(a ), dann ist f nicht injektiv. Falls kein solches a A existiert, betrachte g : A {a} B {f(a)}, wobei g sonst wie f ist. Nach Voraussetzung ist g aber nicht injektiv. Also ist f auch nicht injektiv. q.e.d. Eine Menge B D heißt abgeschlossen unter einer Relation R D n+1 wenn für alle b 1,..., b n+1 gilt: Wenn b 1,..., b n B und wenn (b 1,..., b n, b n+1 ) R, dann gilt auch b n+1 B. Eine Eigenschaft der Form die Menge B ist abgeschlossen unter der Relation R nennt man eine Abschlusseigenschaft von B. Beispiel: N ist abgeschlossen unter Addition, Multiplikation, und Quadratur, aber nicht unter Subtraktion, Division, oder dem Ziehen der Quadratwurzel. Abschlusseigenschaften können benutzt werden, um aus kleineren Mengen größere zu konstruieren. Der reflexiv transitive Abschluss (reflexiv transitive Hülle) einer Relation R A 2 ist die Relation R = {(a, b) a, b A und es gibt einen Pfad von a nach b in R}. Typeset by FoilTEX 27 Typeset by FoilTEX 28

15 Literatur Cantor, Georg (1890): Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Deutsche Mathematiker- Vereinigung 1, Halmos, Paul (1976): Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen. Typeset by FoilTEX 29