Zusammenfassung: Komplexe Zahlen

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1 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe Zhleeee Bektlich k m jede Pukt der Eee mit wei Koordite eschreie Ist die erste Koordite ud die weite Koordite, d P schreit m de Pukt i der Form P( ) = = + i Defiitio: Jede Pukt P( ) der Eee k m ls eie komplexe Zhl = + i schreie Fsst m die Pukte der Eee ls komplexe Zhle uf, d et m die Eee die komplexe Zhleeee Defiitio: Die Mege heißt Mege der komplexe Zhle { i, } { = = + Defiitio: Für eie komplexe Zhl = + i heißt der lteil ud der giärteil = Schreiweise: = ud Zhle der Form = (lso giärteil = 0 ) liege uf der chtschse, die m i der komplexe Zhleeee die reelle Achse et Diese Zhle sid die reelle Zhle, ud die reelle Achse ist die gewöhliche Zhlegerde Jede reelle Zhl ist lso eie speielle komplexe Zhl Zhle der Form = i (lso lteil = 0 ) heiße imgiäre Zhle Sie liege uf der Hochchse, die m i der komplexe Zhleeee die imgiäre Achse et Defiitio: Der Betrg eier komplexe Zhl = + i ist = + = + i Der Betrg eier komplexe Zhl ist der Astd der Zhl i der komplexe Zhleeee vom Ursprug Für eie reelle Zhl = + 0i ist 0 = + = =, lso der üliche Betrg us_komplexehle /

2 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Beispiel: { = } { ist i der komplexe Zhleeee der Kreis um 0 mit dem Rdius Defiitio: Für eie komplexe Zhl = + i heißt = i die kojugiert komplexe Zhl = + i Die kojugiert komplexe Zhl etsteht durch eie Spiegelug der reelle Achse = i Für eie reelle Zhl ist die kojugiert komplexe Zhl gleich der Zhl selst che mit komplexe Zhle + i + c+ di = + c + + d i Defiitio (Additio): Deutug i der komplexe Zhleeee: De komplexe Zhle = + i ud w= c+ di Q c d mit de d c Ortsvektore OP = ud OQ = d Der Summe + w etspricht der Pukt mit dem Ortsvektor OP + OQ = d d + c + d etspreche die Pukte ( ) P ud ( ) w + w Für reelle Zhle = + 0i ud w c 0i Additio + w= + c + + i = + c, lso die üliche = + ist ( 0 0) Feststellug: Für die Additio komplexer Zhle gilt: ds Kommuttivgeset: + = + ; ds Assoitivgeset: ( + ) + = + ( + ) ; es git ei eutrles Elemet: + 0 = ; 4 jede Zhl = + i ht eie Gegehl, ämlich i =, so dss gilt: ( ) 0 + = Für eie reelle Zhl = + 0i ist die Gegehl = 0i =, lso die üliche Gegehl Ds Negtive eier komplexe Zhl etsteht durch eie Spiegelug m Ursprug = i = + i Wie ei reelle Zhle wird die Sutrktio defiiert ls die Additio der Gegehl: Defiitio (Sutrktio): w= + ( w) us_komplexehle /

3 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Also ist ( + i) ( c+ di) = ( c) + ( d) i Der Astd weier reeller Zhle ud uf der Zhlegerde ist für komplexe Zhle: Ds gilt etspreched Merke: Der Astd weier komplexer Zhle ud w i der komplexe Zhleeee ist w Beispiel: { i = } { ist i der komplexe Zhleeee der Kreis um i mit dem Rdius Defiitio (Multipliktio): ( + i) ( c + d i) = ( c d ) + ( d + c) i i i = 0+ i 0+ i = i = Beispiel: Für reelle Zhle = + 0i ud w= c+ 0i ist w = + 0i c + 0i = c c = c, lso die üliche Multipliktio Feststellug: Für die Multipliktio komplexer Zhle gilt: ds Kommuttivgeset: = ; ds Assoitivgeset: ( ) = ( ) ; es git ei eutrles Elemet: = Feststellug: Für die Additio ud die Multipliktio komplexer Zhle gilt ds Distriutivgeset: + = + Ttsächlich muss m sich die Defiitio der Multipliktio icht merke, soder m schreit die komplexe Zhle i Klmmer, multipliiert wie ülich us ud ersett i i durch Beispiel: + i 4 + 5i = 4 + 5i + i 4 + i 5i = 8 + 0i + i + 5ii = 8 + i 5 = 7 + i Defiitio (-te Pote): Beispiel: i = i i = = Fktore ( =,,, ) Feststellug: Jede komplexe Zhl = + i, 0 ht eie Kehrhl, ämlich = i, + + so dss gilt: = i Beweis: Es ist i =, lso us_komplexehle / ( + i)( i) ( i) i + = ( + i) = = = =

4 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Bemerkug: Es ist =, lso = = Wege = ist = 0 Für eie reelle Zhl = + 0i ist = = = , lso die üliche Kehrhl Defiitio (Divisio): = ( w 0 ) w w Diese Defiitio ergit für reelle Zhle die üliche Divisio Ttsächlich muss m sich die Defiitio der Divisio icht merke, soder m erweitert de Bruch mit dem komplex kojugierte Neer ud wedet die dritte iomische Formel Beispiel: ( 4+ 5i) ( 6 8i) 4 + 5i 4 i+ 0i i 64 6 = = = = i = i 6 + 8i 6 + 8i 6 8i Für Experte: Die komplexe Zhle ilde eie Körper Polrform komplexer Zhle Feststellug ud Defiitio: Jeder komplexe Zhl 0 k m de Wikel ϕ wische der positive reelle Achse ud der Strecke 0 uorde, woei 80 < ϕ 80 gilt Dieser Wikel heißt ds Argumet vo Schreiweise: rg ( ) 0 ϕ Beispiel: rg ( i ) = 90 Berechug vo ϕ = rg ( ) : Soderfälle: reell, lso = : ) > 0 : ϕ = 0 ) < 0: ϕ = 80 imgiär, lso = i: c) > 0 : ϕ = 90 d) < 0 : ϕ = 90 Allgemeier Fll: Für = + i ist tϕ = ϕ = + i us_komplexehle 4/

5 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Achtug: Fll < 0 ud > 0 ist 90 < ϕ < 80, ud m muss 80 um GTR-Ergeis ddiere Beispiel: = + i tϕ = = ϕ, = 46, < 0 ud < 0 ist 80 < ϕ < 90, ud m muss 80 vom GTR-Ergeis sutrhiere Beispiel: = i tϕ = = ϕ, 7 80 = 46, Eie komplexe Zhl = + i, 0 k m mit ihrem Betrg r = ud ihrem Argumet ϕ = rg ( ) drstelle: Soderfll r = (Vergleiche Sius ud Kosius im Eiheitskreis ) gilt = cosϕ = siϕ ϕ = + i llgemeie Fll mit elieigem r dekt m sich ds oige Bild etrisch gestreckt, mit dem Ursprug ls Strecketrum ud dem Streckfktor r D erhält m = r cosϕ = r siϕ r r ϕ = + i r Also gilt i r cosϕ r siϕ i r ( cosϕ siϕ i) = + = + = + Ds ist die Drstellug mit dem Betrg ud dem Argumet: Defiitio: Die Polrform eier komplexe Zhl 0 ist = r cosϕ + siϕ i mit r = ud rg ( ) ϕ = Bemerkug: Der GTR stellt die Polrform i der Form = r e ϕ i dr Gegest ur Polrform heißt die Drstellug = + i die Normlform us_komplexehle 5/

6 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Umrechug vo der Normlform i r = = + Bestimme ϕ = rg ( ) wie oe erläutert Umrechug vo der Polrform r ( cosϕ siϕ i) = + i die Polrform r ( cosϕ siϕ i) = + : = + i die Normlform = + i : = r cosϕ + r siϕ i, lso = r cosϕ ud = r siϕ Feststellug (Beweis siehe Für Experte ): Für komplexe Zhle r ( cosϕ siϕ i) = r ( cosϕ + siϕ i) ist = rr cos( ϕ + ϕ ) + si ( ϕ + ϕ ) i Also gilt: = ud rg ( ) = rg ( ) + rg ( ) Für Experte: M muss evtl 60 ddiere oder sutrhiere Merke: Bei der Multipliktio komplexer Zhle multipliiere sich die Beträge ud ddiere sich die Argumete = + ud Durch -fche Awedug dieser Formel w durch vollstädige Iduktio folgt der St (Formel vo Moivre): Die -te Pote ( =,,, ) eier komplexe Zhl = r cosϕ + siϕ i ist Also gilt: = rg ( ) = rg ( ) ( cos( ϕ) si ( ϕ) ) = + r i Für Experte: M muss evetuell 60 oder ei Vielfches vo 60 ddiere oder sutrhiere Wurel komplexer Zhle Defiitio: Gegee ist eie komplexe Zhl ud eie türliche Zhl Eie komplexe Zhl w mit w = heißt eie -te Wurel vo ; im Fll = heißt w eie Qudrtwurel vo Liest m die Formel vo Moivre rückwärts, d erhält m de St: Jede komplexe Zhl ht eie -te Wurel ( =,, 4, ), ämlich die Zhl w, für die gilt: rg ( ) w = ud rg ( w) = us_komplexehle 6/

7 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Also ist ( w) rg ( ) = cos ud ( w) rg ( ) = si Stdrdufge: Bereche eie -te Wurel w eier komplexe Zhl = + i Lösug: Bereche Bereche = + t ( rg ) = rg ( ) = < ud > 0 muss m 80 um GTR-Ergeis ddiere, ud im Fll < muss m 80 vom GTR-Ergeis sutrhiere! rg ( ) rg ( ) w = cos ud ( w ) = si Achtug: Fll 0 < 0 ud 0 Bereche Feststellug: Ist die Zhl w eie -te Wurel der Zhl ( =,, 4, ), d erhält m eie weitere -te Wurel w vo, idem m ds Argumet vo w um 60 vergrößert Beweis: D = Drus folgt w eie -te Wurel vo ist, gilt rg ( w ) rg ( ) 60 rg w = rg w + = rg w + 60 = rg w = rg Also ist uch w eie -te Wurel vo Folgerug: Eie komplexe Zhl 0 ht für jede türliche Zhl midestes verschiedee -te Wurel Beweis: M k ds Argumet eier -te Wurel -ml um 60 erhöhe, is m ds ursprügliche Argumet plus 60 ud dmit die ursprügliche -te Wurel erhält Feststellug: Eie komplexe Zhl ht für jede türliche Zhl höchstes verschiede -te Wurel Beweis: Eie -te Wurel vo ist eie Nullstelle des Polyoms x = 0, ud wie im elle ht ei Polyom vom Grd höchstes Nullstelle Drus folgt der St: Eie komplexe Zhl 0 ht für jede türliche Zhl geu verschiedee -te Wurel Bei reelle Zhle ist ds ektlich ders: Eie positive reelle Zhl x ht geu eie reelle -te Wurel, ämlich x Ist x eie egtive reelle Zhl ud ugerde, d ht x geu eie reelle -te Wurel, ämlich x us_komplexehle 7/

8 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Ist x eie egtive reelle Zhl ud gerde, d ht x keie -te Wurel Fll = : Eie komplexe Zhl 0 ht wei verschiedee Qudrtwurel: Die Zhl w mit w die Zhl w = w rg = ud rg ( w ) = ; Soderfll: Eie egtive reelle Zhl x ht die eide Qudrtwurel w Beispiel: Die Zhl ht die eide Qudrtwurel i ud i = xiud w = xi Alle -te Wurel eier komplexe Zhl he desele Betrg uterscheide sich jeweils um 60 Drus folgt die, ud ihre Argumete Feststellug: Die -te Wurel eier komplexe Zhl liege i der Zhleeee uf dem Kreis um de Ursprug mit dem Rdius, ud sie sid die Eckpukte eies regelmäßige -Ecks Beispiel: Die vierte Wurel vo sid i,, i ud Sie liege uf dem Eiheitskreis ud sid die Ecke eies Qudrts i i Feststellug: Ist die Zhl w eie -te Wurel der Zhl, d ist w eie -te Wurel vo Beweis: D w eie -te Wurel vo ist, gilt w = M k chreche, dss w = w gilt Drus folgt durch vollstädige Iduktio: w = w Also ist w =, d h w ist eie -te Wurel vo Formel vo Crdo Für eie speielle Form eier Gleichug dritte Grdes git es eie Lösugsformel: St (Formel vo Crdo; ohe Beweis): Gegee ist eie Gleichug der Form x + px + q = 0 ( p, q ) Bei geeigeter Whl der Wurel ist q q p q x = + D + D mit D = + eie reelle Lösug der Gleichug Es git wei Fälle: Ist D 0, d ist D eie reelle Zhl, ud ei der Berechug der Lösug trete ur reelle Zhle uf, weil m ls dritte Wurel eier reelle Zhl immer eie reelle Zhl ehme k us_komplexehle 8/

9 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Ist D < 0, d ist D = Di Sett m q : = + D, d lutet die Formel vo Crdo: x = + Ist w eie dritte Wurel vo, d ist w eie dritte Wurel vo Also ergit die Formel vo Crdo die Lösug x = w+ w Die Zhl x ist eie reelle Zhl, de für jede komplexe Zhl w = + i ist w+ w = + i + i = = w Stdrdufge: Bestimme eie reelle Lösug der Gleichug x px q + + = 0 Lösug: p q Bereche D = + q q Fll D > 0 : Bereche x = + D + D Fll D < 0: q Bereche = + D mit D= Di 4 Bereche de lteil ( w ) = rg ( ) cos eier dritte Wurel w vo x = w 5 Bereche Bemerkug: Eie (elieige) Gleichug dritte Grdes x + x + cx + d = 0 ( cd,, ) k durch eie geeigete Sustitutio i eie Gleichug der Form + p + q = 0 üerführt werde, siehe Für Experte Also k m mit der Formel vo Crdo elieige Gleichuge dritte Grdes löse Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome Defiitio: Ei Polyom p( x) = x + x + + x + 0 heißt ei reelles Polyom (w komplexes Polyom), we lle Koeffiiete 0,,, reelle Zhle (w komplexe Zhle) sid Ei reelles Polyom ist lso ei speielles komplexes Polyom us_komplexehle 9/

10 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Bektlich ht ei reelles ormiertes qudrtisches Polyom x + px + q die Nullstelle Ist x, p p = ± q p q < 0, d ht ds Polyom die eide komplex kojuigerte Nullstelle p p, = + q i Bemerkuge: Eigetlich drf m im Komplexe ds Wureleiche icht verwede Wege ± ist ds er i Ordug Ds Polyom ht keie reelle Zerlegug, er die komplexe Zerlegug x + px+ q = x x Ht ei reelles Polyom p( x ) eie reelle Nullstelle x 0, d lässt sich vo x x 0 splte, d h es git ei reelles Polyom q( x ) mit p( x) = ( x x0 ) q( x) Etspreched gilt: Ht ei (reelles oder komplexes) Polyom p( x ) eie komplexe Nullstelle 0, d lässt sich vo p( x ) ei Lierfktor x 0 splte, d h es git ei komplexes Polyom q( x ) mit p( x) = ( x ) q( x) Feststellug: Für jede komplexe Zhl gilt x x = x x+ Isesodere ist ds Polyom p( x) = ( x )( x ) reell 0 p x ei Lierfktor Beweis: p x = x x = x x x+ = x + x+ = x x+ Fudmetlst der Alger (ohe Beweis): Der Körper der komplexe Zhle ist lgerisch geschlosse, d h jedes ichtkostte komplexe Polyom ht (midestes) eie komplexe Nullstelle Bemerkuge: Also ht uch jedes ichtkostte reelle Polyom (midestes) eie komplexe Nullstelle Der St sgt icht, wie m eie Nullstelle estimme k us_komplexehle 0/

11 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Folgerug: Jedes ichtkostte (reelle oder komplexe) Polyom lässt sich ls Produkt vo komplexe Lierfktore schreie, d h für ei ormiertes Polyom -te Grdes p( x) = x + iedrigere Terme gilt p( x) = ( x ) ( x ) ( x ) Diese Nullstelle köe teilweise gleich sei Feststellug (Beweis siehe Für Experte ) : Ht ei reelles Polyom eie komplexe Nullstelle, d ist uch die kojugiert komplexe Zhl eie Nullstelle des Polyoms Ei reelles Polyom k m lso immer folgedermße fktorisiere: Zu jeder reelle Nullstelle gehört ei reeller Lierfktor Ei Polyom ugerde Grdes ht immer eie reelle Nullstelle Nch dem Asplte des ugehörige Lierfktors leit ei Polyom gerde Grdes ürig We dieses Polyom keie reelle Nullstelle ht, d ht es wei kojugiert komplexe Nullstelle Ds Produkt der eide ugehörige Lierfktore ist ei reelles qudrtisches Polyom, ds m splte k Drus folgt ds Ergeis: Jedes ichtkostte reelle Polyom lässt sich ls ei Produkt vo reelle Lierfktore ud reelle qudrtische Terme schreie, d h für ei ormiertes Polyom p( x) = x + iedrigere Terme gilt p x = x x x x x x x + p x+ q x + p x+ q x + p x+ q Für Experte ( r)( )( ) ( k k) Beweis der Feststellug: Für komplexe Zhle r ( cosϕ siϕ i) = r ( cosϕ + siϕ i) gilt = rr ( cos( ϕ + ϕ) + si ( ϕ + ϕ) i) = + ud Beweis: Ohe Begrüdug: Additiostheoreme für Sius ud Kosius: si α + β = siα cos β + cosα si β cos α + β = cosα cos β siα si β Drus folgt = r cosϕ + siϕ i r cosϕ + siϕ i ( cosϕ cosϕ siϕ siϕ ) ( cosϕ siϕ siϕ cosϕ ) ( cos( ϕ ϕ ) si ( ϕ ϕ ) i) = r r + + i = rr us_komplexehle /

12 LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Feststellug: Eie Gleichug der Form x + x + cx + d = 0 ( cd,, ) wird durch die Sustitutio = x+ w x = i eie Gleichug der Form + p + q = 0 üerführt Beweis: Die Sustitutio ergit + + c + d = 0 c c + d = 0 9 c c + d = c + + c + + d = 0 7 Beweis der Feststellug: Ht ei reelles Polyom eie komplexe Nullstelle, d ist uch die kojugiert komplexe Zhl eie Nullstelle des Polyoms p x = x + x + + x + 0 D gilt p = 0 Beweis Sei = = = 0 + w= + w = 0 w= w = 0 für ist = = = p = 0 us_komplexehle /