3. DIE EXPONENTIALFUNKTION UND VERWANDTES

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1 3. DIE EXPONENTIALFUNKTION UND VERWANDTES (1) DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION Für α = (a n ) n=0mit a n := 1, (n IN) gilt r α = lim n (n + 1)! = lim n (n + 1) =. Damit konvergiert die zugehörige Potenzreihe für alle z CI. Wir bezeichnen die durch (1.0) exp(z) := n=0 1 zn, (z CI ) denierte Funktion exp : CI CI als '(komplexe) Exponentialfunktion'. Da sich für z IR die reelle Exponentialfunktion ergibt, ist diese Bezeichnung gerechtfertigt. Wir beweisen die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion. (1.1) exp : CI CI ist stetig. Funktionalgleichung (Additionstheorem): (1.) exp(z 1 + z ) = exp(z 1 ) exp(z ), (z 1, z CI ). Mit exp(0) = 1 folgt hieraus insbesondere (1.3) exp(z) 0 und exp(z) 1 = exp( z), (z CI ). Weiter gilt (1.4) exp(z) = exp(z), (z CI ). Hiermit folgt sofort (1.5) exp(z) = exp( Rez), (z CI ). () DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN Für α = (a n ) n=0 mit 0, n ungerade a n = 1 ( 1) n, n gerade bzw. a n = 1 0, n gerade 1 ( 1) n 1, n ungerade

2 erhält man unter Beachtung von (1) jeweils r α =. Damit konvergieren die zugehörigen Potenzreihen jeweils für alle z CI. Wir bezeichnen die durch cos(z) := ( 1) n 1 (.0) n=0 (n)! zn, (z CI ) sin(z) := ( 1) n 1 n=0 (n + 1)! zn+1, (z CI ) denierten Funktionen cos, sin : CI CI als (komplexe) 'Cosinus- bzw. Sinusfunktion'. Da sich für z IR die jeweils entsprechende reelle Cosinus- bzw. Sinusfunktion ergibt, ist diese Bezeichnung gerechtfertigt. Wir beweisen die wichtigsten Eigenschaften der Cosinus- und Sinusfunktion. (.1) cos, sin : CI CI sind stetig. Zusammenhangsformeln; Eulersche Formel: cos(z) = cos( z) = 1 ( exp(iz) + exp( iz) ), (.) sin(z) = sin( z) = 1 ( exp(iz) exp( iz) ), i exp(± iz) = cos(z) ± i sin(z), Additionstheoreme: cos(z 1 + z ) = cos(z 1 ) cos(z ) sin(z 1 ) sin(z ), (.3) sin(z 1 + z ) = sin(z 1 ) cos(z ) + cos(z 1 ) sin(z ), Insbesondere folgt hieraus (z CI ). (z 1, z CI ). (.4) Weiter gilt cos(z) + sin(z) = 1, sin(z) = sin(z) cos(z), cos(z) = cos (z) sin (z), (z CI ) (.5) cos(z) = cos(z), sin(z) = sin(z), (z CI ). Aus der reellen Analysis I ist bekannt, daÿ die Cosinusfunktion im Intervall ]0, [ eine Nullstelle besitzt. Man deniert üblicherweise Damit ergibt sich dann sin( π ) = 1. π := min{ x ]0, [ cos(x) = 0 }.

3 Mit (.3) erhält man unmittelbar die folgenden Periodizitätseigenschaften: (.6) cos(z ± π ) = ± sin(z), sin(z ± π ) = ± cos(z), cos(z + π) = cos(z), sin(z + π) = sin(z), cos(z + π) = cos(z), sin(z + π) = sin(z), Bezüglich der Nullstellen erhält man: (.7) {z CI (z CI ) cos z = 0} = π + π Z, {z CI sin z = 0} = π Z. Wie im Reellen deniert man unter Beachtung von (.7) den Tangens und den Cotangens (.8) tan(z) := sin(z) cos(z) cot(z) := cos(z) sin(z), (z CI \ ( π + π Z)),, (z CI \ π Z ). Analog zum reellen Fall kann man auch die komplexen Hyperbelfunktionen, also z.b. den hyperbolischen Cosinus 'cosh', den hyperbolischen Sinus 'sinh', etc. denieren. Wegen (.) hängen diese Funktionen aber ganz eng mit den oben eingeführten trigonometrischen Funktionen zusammen, so daÿ man auf eine separate Diskussion verzichten kann. (3) ABBILDUNGSEIGENSCHAFTEN DER EXPONENTIALFUNKTION Für z CI gilt mit Re z =: x und Im z =: y (3.1) exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy) = exp(x) ( cos(y) + i sin(y) ) und damit insbesondere Re exp(x + iy) = exp(x) cos(y), Im exp(x + iy) = exp(x) sin(y), exp(x + iy) = exp(x), exp(x + iy + πi) = exp(x + iy). Hieraus liest man zunächst ab, daÿ die Exponentialfunktion die komplexe Ebene CI auf die punktierte Ebene CI = CI \ {0} abbildet: exp : CI CI = CI \ {0} ist surjektiv. Für w CI gilt gemäÿ 1. (9) mit y := Arg(w) und x := ln( w ) für z := x + iy w = w (cos(y) + i sin(y)) = exp(x) (cos(y) + i sin(y)) = exp(x + iy) = exp(z). 3

4 Genauer erkennt man aus den obigen Formeln, daÿ die Exponentialfunktion wie folgt abbildet: 1. Die Gerade Re z = x = ξ auf die ( -oft durchlaufene) Kreislinie des Kreises um 0 mit Radius r = exp(ξ) > 0.. Die Gerade Im z = y = η (bijektiv) auf den Strahl von 0 nach, welcher mit der positiven reellen Achse den Winkel ϕ = η bildet. 3. Den Streifen S η := {z = x + iy η π < y < η + π } bijektiv auf die von 0 nach längs des Strahls {t exp(iη) IR t 0 } aufgeschlitzte komplexe Ebene. Rein rechnerisch erhält man noch einmal aus den Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen (.6) entsprechende Eigenschaften der Exponentialfunktion (3.) und hinsichtlich der Eindeutigkeit exp(z ± π i) = ± i exp(z), exp(z + πi) = exp(z), exp(z + πi) = exp(z), (z CI ) (3.3) exp(z 1 ) = exp(z ) z z 1 πi Z, (z 1, z CI ). Aufgrund der genannten Abbildungseigenschaften der Exponentialfunktion existiert keine (globale) Umkehrfunktion. Wir betrachten im folgenden geeignete lokale Umkehrfunktionen. (4) DER KOMPLEXE LOGARITHMUS UND DAS ARGUMENT. (i) Für z CI = CI \ {0} haben wir gemäÿ 1. (9) jede reelle Zahl ϕ IR mit z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z exp(iϕ) als 'Argument' von z bezeichnet. Entsprechend bezeichnen wir nun jede komplexe Zahl u CI mit z = exp(u) als 'Logarithmus' von z. Mit ARG(z) := {ϕ IR z = z exp(iϕ) } IR, LN(z) := {u CI z = exp(u) } CI. 4

5 gilt dann oenbar LN(z) = ln( z ) + i ARG(z), Im LN(z) = ARG(z). Mit der in 1. (9) deerten Argumentfunktion gilt ARG(z) = Arg(z) + πi Z. Man bezeichnet auch Arg(z) =: Hw(ARG(z)) als 'Hauptwert des Arguments' von z und entsprechend Ln(z) := Hw(LN(z)) = ln( z ) + i Arg(z) als 'Hauptwert des Logarithmus' von z. Es gilt dann für z CI Im Ln(z) = Arg(z), LN(z) = Ln(z) + π i Z sowie exp(ln(z)) = z. (ii) Wir bezeichnen für θ IR: CI θ := CI \ {t exp(iθ) IR t 0 } und S θ := {z CI π + θ < Im z < θ + π }. Nach (3) gilt exp : S θ CI θ Sθ bijektiv. Man bezeichnet die Umkehrabbildung ln θ := exp Sθ 1 : CI θ S θ als '(Funktions-) Zweig des Logarithmus auf CI θ Hiermit deniert man auch '. arg θ := Im ln θ : CI θ ] π + θ, π + θ[ IR. 5

6 Insbesondere bezeichnet man ln := ln 0 = Ln CI 0 : CI 0 CI als 'Hauptzweig des Logarithmus'. Dies ist oenbar eine Fortsetzung der reellen Logarithmusfunktion. (Dies rechtfertigt das gleiche Funktionssymbol!) Wir zeigen: (4.1) ln θ : CI θ CI stetig (θ IR). (5) DIE ALLGEMEINE POTENZ Für z CI = CI \ {0} und ξ CI denieren wir und z ξ := exp(ξ LN(z)) := {exp(ξ u) u LN(z)} CI Hw(z ξ ) := exp(ξ Ln(z)) 'Hauptwert' von z ξ. Mit einem beliebigen u LN(z) gilt und damit z ξ z ξ = { exp(ξ u) exp(ξ πi n) n Z} einpunktig ξ Z, endlich ξ QI, unendlich, beschränkt ξ IR \ QI, unbeschränkt ξ CI \ IR. Insbesondere stimmt z n für n Z mit der bisherigen (rekursiven) Denition überein. Z. B. ist für ξ CI \Z e ξ = exp(ξ) {exp(ξ πi n) Speziell bezeichnet man für ξ CI und θ IR n Z} = {exp(ξ)}. CI θ z exp(ξ ln θ (z)) CI = CI \ {0} als 'Zweig von z ξ auf CI θ ' und insbesondere als 'Hauptzweig' von z ξ. CI 0 z exp(ξ ln(z)) CI = CI \ {0} 6