1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen

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1 1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine Stelle, an der die Funktion Null ist. Im Graphen erkennt man die Nullstellen als Schnittpunkte der Kurve mit der -Achse Monotonie Eine Funktion f : f( ; Df heisst - monoton wachsend (monoton steigend, wenn der Funktionswert mit grösser werdendem nicht kleiner wird, d.h. wenn aus 1 2 folgt, dass f( 1 f( 2 ist. - streng monoton wachsend (streng monoton steigend, wenn der Funktionswert mit grösser werdendem grösser wird, d.h. wenn aus 1 < 2 folgt, dass f( 1 < f( 2 ist. - monoton fallend, wenn der Funktionswert mit grösser werdendem nicht grösser wird, d.h. wenn aus 1 2 folgt, dass f( 1 f( 2 ist. - streng monoton fallend, wenn der Funktionswert mit grösser werdendem kleiner wird, d.h. wenn aus 1 < 2 folgt, dass f( 1 > f( 2 ist. streng monoton fallend streng monoton steigend Eine Funktion kann natürlich in verschiedenen Intervallen verschiedene Monotonie-Eigenschaften besitzen. Diese nennt man dann Monotonie-Bereiche. Seite 1

2 1.2.3 Symmetrie Eine Funktion f f( D heisst : ; f gerade, wenn ungerade ( = ( ( = ( f f für alle f f D gilt. f y-achsen-symmetrie Punktsymmetrie zu (0/0 Bei einer geraden Funktion ist also der Funktionswert an der Stelle derselbe wie an der Stelle, das Schaubild ist damit symmetrisch zur y-achse. Bei einer ungeraden Funktion ist dagegen der Funktionswert an der Stelle ein Funktionswert, der sich nur im Vorzeichen von dem Funktionswert an der Stelle unterscheidet. Das Schaubild ist damit (punkt-symmetrisch zum Ursprung (0/ Verhalten von Funktionen für ± Nähern sich die Funktionswerte einer Funktion f für beliebig grosse Werte von einem bestimmten Wert a beliebig nahe an, so heisst die Gerade y = a waagrechte Asymptote der Funktion (für. Analog lässt sich das Verhalten für definieren. Wir schreiben dafür: lim f( = a bzw. lim f( = a Verhalten an Definitionslücken Prinzipiell gibt es für das Verhalten einer Funktion an einer Definitionslücke 4 verschiedene Möglichkeiten: a Die Funktion macht einen Sprung oder hat ein einfaches Loch. 2 1 Beispiel: f( = 1 Für 0 = 1 ist die Funktion nicht definiert. Man spricht von einer Definitionslücke. Dementsprechend hat auch der Graph von f an der Stelle eine Lücke. 0 b Die Funktion macht einen Sprung 0 für < 0 Beispiel: f( = 1 für 0 (Auch bekannt als Heaviside-Funktion Seite 2

3 c Die Funktion besitzt eine Polstelle 1 Beispiel: f( = ( 2 2 Bei Annäherung an die Definitionslücke wachsen die Funktionswert über alle Schranken. Eine solche Definitionslücke heisst Unendlichkeitsstelle oder Polstelle der Funktion. d Die Funktion besitzt eine Oszillationsstelle Beispiel: 1 f( = sin Nähert man sich der Definitionslücke 0 = 0, so oszilliert (schwingt die Funktion beliebig oft zwischen -1 und 1. Man spricht von einer Oszillationsstelle Stetigkeit Um die Stetigkeit einer Funktion nachzuweisen, müsste man eigentlich eine Grenzwertbetrachtung durchführen: Stimmt der Grenzwert einer Funktion f (linksseitig und rechtsseitig mit dem Funktionswert an einer Stelle 0 überein. so ist die Funktion an dieser Stelle stetig. Gilt das an jeder beliebigen Stelle des Definitionsbereichs, so ist die Funktion f stetig auf dem Definitionsbereich. Oft genügt die anschaulichere Definition: Kann der Graph der Funktion ohne abzusetzen gezeichnet werden, so ist die Funktion stetig. 2 Beispiel: f( = Seite 3

4 1.2.7 Einige Wichtige Funktionen Lineare Funktionen Definition Eine Funktion f : m + q 2 R, heisst lineare Funktion. Ihr Schaubild ist eine Gerade. y = m + q ist die Gleichung der Geraden. m heisst Steigung oder Steigungsfaktor der Geraden, q ist der y-achsenabschnitt. Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt Q ( 0 ;q Δy Sie hat die Steigung m = Δ Potenzfunktionen Definition Für jedes r 2 R \ {0} heisst die Funktion r f( = y = c, c 2 R \ {0} Potenzfunktion r-ten Grades. Das Schaubild ist für r>1, r 2 N eine Parabel, für r 2 Z, r < 0 eine Hyperbel r-ter Ordnung. + Für r 2 R \ Z, r > 0 gilt: D f = R 0, für r 2 R \ Z, r < 0 gilt: für r 2 Z gilt: D f = R Df + = R. Einfluss von c (r = 2: Einfluss von c (r = 3: Seite 4

5 Einfluss von r (c = 1: Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen r R Z r Z, gerade r Z, ungerade Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f mit n n f( = y = an + an a2 + a1 + a0 wobei n n und ai, an 0, heisst Polynomfunktion n-ten Grades oder ganzrationale Funktion vom Grad n. Eine Polynomfunktion verhält sich - für 0 näherungsweise wie die Glieder mit den niedrigsten -Potenzen. - für ± näherungsweise wie das Glied mit der höchsten -Potenz. Eine Polynomfunktion ist gerade, wenn alle vorkommenden Eponenten gerade sind (0 ist gerade. Eine Polynomfunktion ist ungerade, wenn alle vorkommenden Eponenten ungerade sind. Beispiel: 5 3 f( = y = Funktion f ± : Näherungsfunktion f( = 5 0 : Näherungsfunktion f ( = 3 Seite 5

6 Trigonometrische Funktionen (nur Grundfunktionen Für können die trigonometrischen (Grund- Funktionen definiert werden durch: ( = = sin( ( = = cos( ( = = tan( f y Sinusfunktion f y Cosinusfunktion f y Tangensfunktion Als Beispiel die Graphen der 3 Funktionen ( wird dabei im Bogenmass angegeben Eigenschaften der Sinusfunktion ( y sin( - periodisch (Periode p = 2π - Wertebereich W = [ 1;1] - Nullstellen bei k = k π ( k - Symmetrie zum Ursprung O ( 0/0 = : Eigenschaften der Cosinusfunktion ( y cos( - periodisch (Periode p = 2π - Wertebereich W = [ 1;1] = : - π Nullstellen bei k = + k 2 π 2 ( k - Symmetrie zur y-achse Eigenschaften der Tangensfunktion ( y tan( = : periodisch (Periode p = π - Wertebereich W = - Nullstellen bei k = k π ( k sin (gleich wie bei der Sinusfunktion, da ( tan ( = cos ( - Symmetrie zum Ursprung O ( 0/0 Seite 6

7 Eponentialfunktionen Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen + Eine Funktion mit f( = a ( a und a 1 heisst Eponentialfunktion. - Die Graphen zur Funktion f( = y = a und f( = y = a liegen symmetrisch zur y- Achse. - Die -Achse ist Asymptote des Graphen von f( = y = a. - Die Funktion ist für a > 1 streng monoton steigend und für 0 < a < 1 streng monoton fallend. - Der Graph liegt oberhalb der -Achse (alle Funktionswerte sind positiv. - Alle Graphen haben nur den Punkt P ( 0/1 gemeinsam - Die wichtigste Eponentialfunktion ist diejenige mit der Basis e (e ist die Euler sche Zahl f( = e, die sogenannte e-funktion Beispiele: f( = y = a 1 Seite 7

8 Logarithmusfunktionen Die Umkehrfunktion der streng monotonen Eponentialfunktion y a ( a 0 und a 1 Logarithmusfunktion zur Basis a. ( = = ( f y log a = > heisst - Der Graph zur Funktion f( = y = log a ( liegt rechts von der y-achse. - Die y-achse ist Asymptote des Graphen von f( = y = log a (. - Die Funktion ist für a > 1 streng monoton steigend und für 0 < a < 1 streng monoton fallend. - Alle Graphen haben nur den Punkt P ( 1/0 gemeinsam - Die Graphen zur Funktion f( = y = ( und f( = y = ( liegen symmetrisch log log 1 zur -Achse. - Die Umkehrfunktion zur e-funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion f( = y = log ( = ln( oder kurz: y = ln( e a a Seite 8

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