Natürliche Zahlen sind interessant

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1 Natürliche Zahlen sind interessant N. N. Technische Universität München 16. September 2008

2 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

3 Übersicht 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

4 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

5 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

6 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

7 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

8 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

9 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

10 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

11 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

12 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

13 Beispiele und Eigenschaften Natürliche Zahlen Beispiele für natürliche Zahlen: 0, 1, 2,... 1, keine natürlichen Zahlen

14 Beispiele und Eigenschaften Wohlordnungen Die Wohlordnung : Für alle n N gilt: n (n + 1) 0 n für alle n N.

15 Übersicht 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

16 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

17 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

18 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

19 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

20 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

21 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

22 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

23 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

24 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

25 Übersicht 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

26 Schülermotivation Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an der Mathematik zu vermitteln:

27 Schülermotivation Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an der Mathematik zu vermitteln:

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