Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche

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1 Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche Tone Arnold Universität des Saarlandes 2. Dezember 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

2 Theorie der Unternehmeung Grundlagen Technologiemenge und Produktionsfunktion Technologiemenge und Produktionsfunktion Bisher: Keine Betrachtung der zweiten Marktseite, der Produzenten bzw. Unternehmen oder Firmen. Um die Funktionsweise einer Volkswirtschaft richtig verstehen zu können, muss auch diese Marktseite analysiert werden. Wer stellt die Güter her, die die Konsumenten nachfragen? Wer fragt die Arbeitsleistungen nach, die von den Haushalten angeboten werden? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

3 Technologiemenge und Produktionsfunktion Firma: Einrichtung, die Inputs in Outputs transformiert. Die technische Möglichkeiten einer sind Unternehmung durch die realisierbaren Input Output Kombinationen beschrieben, ihre Technologiemenge. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

4 Technologiemenge Beispiel: Ein Input (Arbeit) ein Output (Äpfel) Output (y) Technologiemenge (Y ) Abbildung: Technologiemenge Input (x) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

5 Effiziente Produktion Technisch effizient sind Produktionspläne, die für jeden Input den maximal möglichen Output angeben. Alternativ: Ein vorgegebener Output soll mit der geringst möglichen Menge an Inputs hergestellt werden. Achtung: Diese beiden Definitionen sind nicht äquivalent! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

6 Effiziente Produktion Output (y) y = 5 a x = 9 Input (x) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

7 Effiziente Produktion Output (y) y = 8 b y = 5 a x = 9 Input (x) Produktionsplan a ist nicht effizient, da beim Produktionsplan b mit dem selben Input von x = 9 ein grösserer Output erreicht wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

8 Effiziente Produktion Output (y) y = 8 b y = 5 a x = 9 Input (x) Produktionsplan a ist nicht effizient, da beim Produktionsplan b mit dem selben Input von x = 9 ein grösserer Output erreicht wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

9 Effiziente Produktion Output (y) y = 5 b a x = 3 x = 9 Input (x) Produktionsplan a ist nicht effizient, da beim Produktionsplan b der selbe Output y = 5 mit weniger Input erreicht wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

10 Effiziente Produktion Output (y) y = 5 b a x = 3 x = 9 Input (x) Produktionsplan a ist nicht effizient, da beim Produktionsplan b der selbe Output y = 5 mit weniger Input erreicht wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

11 Effiziente Produktion Die effizienten Produktionsplläne liegen auf dem Rand der Technologiemenge. Dieser Rand wird durch die Produktionsfunktion beschreiben. Eine Produktionsfunktion gibt für jede Menge an Inputs die maximal mögliche Outputmenge an. y = f(x) Für n Inputs: y = f(x 1,...,x n ) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

12 Produktionsfunktion mit einem Input Beispiel: f(x) = 3 x. Output (y) Input (x) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

13 Produktionsfunktion mit 2 Inputs y y x 2 x 2 x 1 x 1 Abbildung: Produktionsfunktion mit zwei Inputs Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

14 Effiziente Produktion Mit den beiden Inputmengen x1 und x 2 kann mit der vorhandenen Technologie maximal der Output y hergestellt werden. Die Oberfläche des Produktionsgebirges stellt alle technisch effizienten Produktionspläne dar. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

15 Verschiedene Typen von Produktionsfunktionen Analog zu den verschiedenen Typen von Nutzenfunktionen unterscheiden wir die lineare Produktionsfunktion y = f(x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2 mit a, b > 0. Leontief-Produktionsfunktion y = f(x 1, x 2 ) = min{ax 1, bx 2 } Cobb Douglas Produktionsfunktion y = f(x 1, x 2 ) = x α 1 xβ 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

16 Eigenschaften von Produktionsfunktionen Wie ändert sich der Output, wenn man nur einen Input verändert, den oder die anderen Inputs aber unverändert lässt? Antwortgibt die partielle Produktionsfunktion. Sie gibt die Outputmenge an, die bei einer gegebenen Menge des einen Inputs und bei Änderung nur des anderen Inputs erzeugt wird. Grafisch: Schnitt durch das Produktionsgebirge parallel zu einer der beiden Achsen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

17 Partielle Produktionsfunktionen y y x 2 x 2 x 1 (a) Schnitt in x 2-Richtung x 1 (b) Schnitt in x 1-Richtung Abbildung: Schnittlinien Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

18 Partielle Produktionsfunktionen Unterschiedliche Niveaus des fixen Faktors ergeben unterschiedliche Schnittlinien. Projektion der Schnittlinien ergibt y y f (x 1, x 2 ) f ( x 1, x 2 ) (a) x2 konstant x 1 (b) x1 konstant x 2 Abbildung: Partielle Produktionsfunktionen Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

19 Grenzprodukt Das Grenzprodukt des Faktors i gibt an, um wieviel der Output y steigt, wenn der Faktoreinsatz geringfügig erhöht wird. Bei differenzierbarer Produktionsfunktion ist dies die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach Faktor i: f(x 1, x 2 ) x i 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

20 Abnehmendes Grenzprodukt Die Outputzunahme bei einer Erhöhung des Inputs i nimmt in x i ab. Grund: Die anderen Inputs stellen eine immer grössere Beschränkung dar. Es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor: 2 f(x 1, x 2 ) x 2 i 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

21 Produktionselastizität Frage: Um wieviel steigt der Output, wenn wir einen Produktionsfaktor um 1 % erhöhen? f(x 1,x 2 ) f(x 1,x 2 ) = f(x 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ) x i x x i x i i Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

22 Produktionselastizität Wir betrachten eine infinitesimale Erhöhung des Inputs, d.h. den Grenzübergang f(x lim 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ) = σ i. 0 x i x i x i x i Die ist die Produktionselastizität des Faktors i. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

23 Isoquanten Analog zu Indifferenzkurven (i.e. Linien gleichen Nutzens) sind Isoquanten Linien gleichen Outputs. Beispiel: Isoquanten einer Cobb Douglas Produktionsfunktion y x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

24 Isohöhenlinien und Isoquanten y x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

25 Isoquanten x 2 Abbildung: Isoquanten einer Cobb Douglas Funktion x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

26 Isoquante für ein Outputniveau Einzelne Isoquante für den Output ȳ: x 2 f(x 1, x 2 ) = ȳ x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

27 Eigenschaften von Isoquanten Isoquante ist zum Ursprung hin gekrümmten, dh. hat einen konvexen Verlauf, wenn die Produktionsfunktion konkav ist. Dies bedeutet, dass gemischte Produktionspläne, die positive Mengen beider Produktionsfaktoren enthalten, einen grösseren Output erzeugen als Produktionspläne, die nur einen Faktor enthalten. Konkavität der Produktionsfunktion: Jede Verbindunglinie zwischen zwei Punkten auf dem Grafen der Funktion verläuft immer unterhalb des Grafen, d.h. für 0 λ 1 gilt f(λx + (1 λ)x ) λf(x) + (1 λ)f(x ) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

28 Eigenschaften von Isoquanten Isoquanten haben i.d.r. eine negative Steigung. Die Steigung gibt an, in welchem Verhältnis ein Input durch den anderen ersetzt (substituiert) werden kann. Dies ist die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

29 Eigenschaften von Isoquanten Die Steigung einer Isoquante kann mit Hilfe des totalen Differentials ermittelt werden: dy = f(x 1, x 2 ) x 1 dx 1 + f(x 1, x 2 ) x 2 dx 2 Auf einer Isoquante ist die Outputänderung dy gleich 0 f(x 1, x 2 ) x 1 dx 1 + f(x 1, x 2 ) x 2 dx 2 = 0 Daraus folgt dx 2 = dx 1 f(x 1,x 2 ) x 1 f(x 1,x 2 ) x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

30 GRTS Die GRTS kann aus der Produktionsfunktion abgeleitet werden. Dies ist das (negative) Verhältnis der partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion nach beiden Faktoren. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

31 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

32 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

33 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

34 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

35 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

36 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

37 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

38 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

39 Abnehmende GRTS Die Steigung einer Isoquante bei unvollständigen Substituten wird umso flacher, je weniger von Input x 2 und je mehr von Input x 1 eingesetzt wird: x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

40 Skalenerträge Eine Veränderung aller Inputs im gleichen Verhältnis ist gleichbedeutend mit einer Veränderung des Niveaus bzw. der Stufe (engl. scale) der Produktion. Man spricht daher in diesem Zusammenhang von Skalenerträgen (returns to scale). Angenommen, wir verdoppeln beide Inputs von (x 1, x 2 ) auf 2(x 1, x 2 ) = (2x 1, 2x 2 ). Der resultierende Output ist f(2x 1, 2x 2 ). Der Output bei den ursprünglichen Inputmengen war: f(x 1, x 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

41 Skalenerträge Würde man z.b. neben eine existierende Fabrik eine identische Kopie dieser Fabrik stellen, dann ergäbe sich f(2x 1, 2x 2 ) = 2 f(x 1, x 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

42 Skalenerträge Der Output der vergrösserten Unternehmung mit zwei gleichen Fabriken wäre in diesem Fall gleich 2 mal der Output der ursprünglichen Unternehmung mit nur einer Fabrik. In diesem Fall führt eine Verdoppelung der Inputs zu einer Verdoppelung des Outputs. Es handelt sich um konstante Skalenerträge: t > 0 : f(tx 1, tx 2 ) = t f(x 1, x 2 ). Achtung: Konstante Skalenerträge sind mit abnehmenden Grenzprodukten vereinbar! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

43 Skalenerträge Betrachten wir die Cobb-Douglas Produktionsfunktion f(x 1, x 2 ) = x α 1 x 1 α 2. Es gilt f(tx 1, tx 2 ) = (tx 1 ) α (tx 2 ) 1 α = t α x α 1 t1 α x 1 α 2 = t α t 1 α x α 1 x 1 α 2 = tx α 1 x 1 α 2 = t f(x 1, x 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

44 Skalenerträge Weiterhin gilt und f(x 1, x 2 ) x 1 2 f(x 1, x 2 ) x 2 1 = αx α 1 1 x 1 α 2 > 0 = (α 1)αx α 2 1 x 1 α 2 < 0. Hier liegen gleichzeitig abnehmende Grenzprodukte und konstante Skalenerträge vor. Grund: Beim Grenzprodukt wird nur ein Faktor variiert, der andere wird konstant gehalten. Die Änderung ist marginal. Bei Skalenerträgen werden simultan alle Inputs verändert, und es handelt sich um grosse (nicht marginale) Änderungen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

45 Skalenerträge Könnte auch der Fall eintreten, dass bei einer Verdoppelung (bzw. Ver t fachung) aller Inputs der Output sich mehr als verdoppelt, d.h. verdrei oder vervierfacht? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

46 Skalenerträge Beispiel: Ein Unternehmens vermietet ein Lagerhaus. Der Output dieses Unternehmens ist die Lagerkapazität, gemessen in Kubikmetern. Der Input ist das Lagerhaus, bestehend aus Wänden, Decke und Boden. Verdoppelt man nun die Inputs, d.h. die Fläche der Wände, des Bodens und der Decke, wächst die Lagerhauskapazität (das Volumen) in der dritten Potenz, während die Flächen nur in der zweiten Potenz zunehmen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

47 Skalenerträge Also wächst der Output überproportional. Anders ausgedrückt, es handelt sich um Zunehmende Skalenerträge. t > 1 : f(tx 1, tx 2 ) > t f(x 1, x 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

48 Skalenerträge t > 1 : f(tx 1, tx 2 ) > t f(x 1, x 2 ). Achtung: Der Faktor t muss grösser als 1 sein man kann sich leicht überlegen, dass bei einer Verringerung aller Inputs (d.h. t kleiner als 1) sich die Ungleichung umdrehen muss! In diesem Fall würde man den Produktionsprozess herunterfahren (z.b. auf 0.5 des urprünglichen Wertes) und bei zunehmenden Skalenerträgen müsste der Output um mehr als die Hälfte fallen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

49 Skalenerträge Zunehmende Skalenerträge sind mit abnehmenden Grenzprodukten vereinbar. Beispiel: Cobb-Douglas Produktionsfunktion x x weist abnehmende Grenzprodukte und zunehmende Skalenerträge auf. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

50 Skalenerträge Letzter Fall: Die Verdoppelung (bzw. Ver t fachung) aller Inputs führt zu einer unterproportionalen Erhöhung des Outputs. Es handelt sich um abnehmende Skalenerträge. t > 0 : f(tx 1, tx 2 ) < t f(x 1, x 2 ). Auch hier muss der Faktor t grösser als 1 sein, andernfalls dreht sich die Ungleichung um. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

51 Skalenerträge Wir werden später sehen: In einer Industrie mit zunehmenden Skalenerträgen sind nur sehr wenige Unternehmen, möglicherweise sogar nur eines, am Markt tätig. Beispiel: Softwarehersteller Microsoft. Bei abnehmenden Skalenerträgen ist die Industrie durch eine grosse Anzahl kleiner Firmen gekennzeichnet. Beispiel: Landwirtschaft. Bei konstanten Skalenerträgen ist sowohl die Anzahl als auch die Grösse der Firmen im Markt unterschiedlich. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

52 Homogene Produktionsfunktionen Die obige Definition von Skalenerträgen erinnert an das Konzept einer homogenen Funktion. Definition 1 Eine Funktion f heisst homogen vom Grade k, wenn für jedes t > 0 gilt: f(tx 1, tx 2 ) = t k f(x 1, x 2 ) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

53 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

54 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

55 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

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59 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

60 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

61 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

62 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

63 Faktorexpansionspfade bei homogenen Produktionsfunktionen x 2 x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

64 Homogene Produktionsfunktionen Die Linien aus dem Ursprung, die Punkte auf den Isoquanten mit gleicher Steigung verbinden, heissen Faktorexpansionspfade. Bei homogenen Funktionen sind diese Faktorexpansionspfade Geraden. Das bedeutet: Wenn das Outputniveau vervielfacht, z.b. verdoppelt wird, ändert sich das Faktoreinsatz Verhältnis nicht. Bei inhomogenen Funktionen sind die Faktorexpansionspfade im allgemeinen nicht linear. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

65 Zusammenhang zwischen Skalenerträgen und homogenen Produktionsfunktionen Eine linear homogene Produktionsfunktion ist gegeben durch f(tx 1, tx 2 ) = t f(x 1, x 2 ) In diesem Fall ist der Homogenitätsgrad gleich 1. Die Definition einer linear homogenen Produktionsfunktion ist also identisch mit der Definition konstanter Skalenerträge. Daraus folgt: lineare Homogenität konstante Skalenerträge. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

66 Zusammenhang zwischen Skalenerträgen und homogenen Produktionsfunktionen Ist eine Produktionsfunktion überlinear homogen, d.h. gilt f(tx 1, tx 2 ) = t k f(x 1, x 2 ), k > 1, dann liegen zunehmende Skalenerträge vor. Da sowohl t als auch k grösser als 1 sind, ist auch der Ausdruck t k grösser als t. Dies impliziert, dass ein Homogenitätsgrad von mehr als 1 zunehmende Skalenerträge impliziert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

67 Zusammenhang zwischen Skalenerträgen und homogenen Produktionsfunktionen Ist die Produktionsfunktion unterlinear homogen, d.h. gilt f(tx 1, tx 2 ) = t k f(x 1, x 2 ), k < 1, dann liegen abnehmende Skalenerträge vor, da für k < 1 der Ausdruck t k kleiner als t ist. Der Homogenitätsgrad lässt also eine Aussage über die Skalenerträge zu. Dies gilt aber nicht umgekehrt, da eine Produktionsfunktion nicht homogen sein muss. Da Homogenität eine globale Eigenschaft ist, sagt der Homogenitätsgrad etwas über die Skalenerträge für alle Produktionsniveaus aus. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

68 Skalenelastizität Bei inhomogenen Produktionsfunktion können für unterschiedliche Produktionsniveaus unterschiedliche Skalenerträge (SE) auftreten, z.b. bei niedrigen Produktionsniveaus zunehmende SE und bei hohen Produktionsniveaus abnehmende SE. Daher benötigen wir ein lokales Mass für die Skalenerträge. Dies ist die Skalenelastizität. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

69 Skalenelastizität Frage: Wie verändert sich (prozentual) der Output, wenn sich das Niveau der Produktion (ausgedrückt durch den Skalenparameter t) marginal erhöht? Formal: y = f(tx 1, tx 2 ) σ(x) = dy(t) dt t y an der Stelle t = 1. Man kann zeigen: Skalenelastizität Die Skalenelastizität ist gleich der Summe der partiellen Produktionselastizitäten, d.h. σ = σ 1 + σ 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

70 Skalenelastizität Mit Hilfe der Skalenelastizität kann man nun ein lokales Mass für die Skalenerträge definieren: Eine Produktionsfunktion hat lokal zunehmende SE, wenn σ(x) > 1 ist, sie hat lokal konstante SE, wenn σ(x) = 1 ist, und sie hat lokal abnehmende SE, wenn σ(x) < 1 ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

71 Skalenelastizität Eine 1% ige Erhöhung aller Inputs an einer bestimmten Stelle führt zu einer Erhöhung des Outputs um mehr, gleich oder weniger als 1%. Bei homogenen Funktionen ist die Skalenelastizität gleich dem Homogenitätsgrad, der wiederum gleich der Summe der partiellen Produktionselastizitäten ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

72 Gewinnmaximierung und Angebotsverhalten Zentrale Verhaltensannahme: Unternehmen maximieren ihren Gewinn. Alernativen: Maximierung ihrer Überlebenswahrscheinlichkeit, Shareholder Value, Marktanteil, Umsatzes etc. Gründe für Gewinnmaximierung: Arbeitshypothese Evolutionäre Gründe Märkte für Unternehmenskontrolle Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

73 Gewinnmaximierung Definition 2 (Gewinn) Der Gewinn eines Unternehmens ist definiert als Erlös minus Kosten. Definition 3 (Erlös) Der Erlös eines Unternehmens ist das Produkt aus der verkauften bzw. produzierten Menge und dem Preis pro ME. Bei 2 Inputfaktoren ist die produzierte Menge y = f(x 1, x 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

74 Gewinnmaximierung Beispiel: x 1 ist die Menge an Arbeit (Man hours) und x 2 die Menge an Kapital, die im Produktionsprozess eingesetzt wird. Der Erlös (Revenue) ist dann R(x) = p f(x 1, x 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

75 Gewinnmaximierung Die Kosten ergeben sich aus den mit den Faktorpreisen multiplizierten Input Mengen: w 1 x 1 + w 2 x 2. Beispiel: w 1 ist der Stundenlohn und w 2 die Kapitalkosten (Zinsen). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

76 Gewinnmaximierung Der Gewinn (Profit) ist π = pf(x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2. Gewinnmaximierung: max x 1,x 2 pf(x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2. Achtung: Hier wird das Lagrange Verfahren nicht angewendet, da keine Nebenbedinungen vorliegen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

77 Gewinnmaximierung Beispiel: f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2. Das Gewinnmaximierungsproblem lautet max x 1,x 2 π(x 1, x 2 ) = p ( x 1 + x 2 ) w1 x 1 w 2 x 2. B.1.O. π x 1 = p 2 x 1 w 1 = 0, π x 2 = p 2 x 2 w 2 = 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

78 Gewinnmaximierung B.1.O. π x 1 = π x 2 = p 2 x 1 w 1 = 0, p 2 x 2 w 2 = 0. Wir bringen die Faktorpreise auf die rechte Seite: p 2 x 1 = w 1, p 2 x 2 = w 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

79 Gewinnmaximierung Das bedeutet: p 2 x 1 = w 1, p 2 x 2 = w 2. p π x i = w i, d.h. Wertgrenzprodukt gleich Faktorpreis. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

80 Gewinnmaximierung p 2 x 1 = w 1, p 2 x 2 = w 2. Auflösen der oberen Gleichung nach x 1 ergibt x1 = p ( ) p 2 x1 2w =. 1 2w 1 Analog für x 2 : ( ) p 2 x2 =. 2w 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

81 Gewinnmaximierung x1 = p2 und x 4w1 2 2 = p2 sind die Faktornachfragefunktionen. Sie 4w2 2 hängen vom Outputpreis und von den Faktorpreisen ab. Schreibweise: x 1 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 1 ) 2, x 2 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 2 ) 2. Die Faktornachfragefunktion nach Inputfaktor i gibt an, wieviel von diesem Input eingesetzt werden sollte, damit der Gewinn maximiert wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

82 Gewinnmaximierung Grafische Darstellung: Produktion mit nur einem Input (Arbeit). Beispiel: f(x) = K x mit K > 0. Gewinn: π = pf(x) wx = pk x wx. Dividieren durch p ergibt: f(x) = π p + w p x. Dies ist die Gleichung für eine Isogewinngerade. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

83 Isogewinngeraden f(x) π 2 p Steigung: w p π 1 p x Abbildung: Isogewinnlinien Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

84 Isogewinngerade Eine Isogewinngerade stellt alle Input Output Kombinationen dar, die zu dem gleichen Gewinn führen. Unterschiedliche Gewinne, z.b. π 1 und π 2 werden durch unterschiedliche Isogewinngeraden dargestellt. Die Steigung der Isogewinngeraden ist das Verhältnis von Inputpreis zu Outputpreis w/p. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

85 Gewinnmaximum Wir suchen den höchstmöglichen Wert von π, der technisch erreichbar ist. f(x) f(x ) π 2 p π p π 1 p x x Abbildung: Gewinnmaximum Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

86 Gewinnmaximum Gewinnmaximum Im Gewinnmaximum ist die Steigung der Produktionsfunktion f (x) gleich der Steigung der Isogewinngeraden w/p. Es gilt also f (x) = w p bzw. pf (x) = w. Diese Bedingung besagt: Gewinnmaximum Im Gewinnmaximum ist das Wertgrenzprodukt gleich dem Faktorpreis. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

87 Gewinnmaximum Bei Produktion mit 2 Inputs gilt p f(x 1, x 2 ) x 1 w 1 = 0 p f(x 1, x 2 ) x 2 w 2 = 0. In Worten: Wertgrenzprodukt = Inputpreis. Dividieren der ersten Gleichung durch die zweite ergibt: f(x 1,x 2 ) x 1 = w 1. f(x 1,x 2 ) w 2 x 1 Im Optimum gilt: Die Steigung einer Isoquanten, i.e. die GRTS, entspricht dem Verhältnis der Preise der Inputfaktoren. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

88 Faktornachfragefunktionen Lösung des Gleichungssystems ergibt die beiden Faktornachfragefunktionen. Eine Faktornachfragefunktion gibt an, welche Inputmengen ein Unternehmen am Markt nachfragen muss, um seinen Gewinn zu maximieren. Diese Faktormengen hängen von den Faktor bzw. Inputpreisen w i und dem Outputpreis p ab. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

89 Gewinnmaximum f(x) Steigung: w p y π p x Abbildung: Gewinnmaximum bei einem Preis x Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

90 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Faktorpreises f(x) w p ỹ π p x Abbildung: Gewinnmaxima bei unterschiedlichen Faktorpreisen x Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

91 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Faktorpreises f(x) w p ỹ π p x Abbildung: Gewinnmaxima bei unterschiedlichen Faktorpreisen x Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

92 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Faktorpreises f(x) ŵ p w p ỹ ŷ π p ˆπ p ˆx x x Abbildung: Gewinnmaxima bei unterschiedlichen Faktorpreisen Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

93 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Faktorpreises Eine Änderung des Faktorpreises w führt zu einer Änderung in der Steigung der Isogewinngeraden. Durch die Erhöhung des Faktorpreises von w auf ŵ wird die Isogewinngerade steiler. Das neue Optimum liegt links vom alten Tangentialpunkt. Bei steigendem Faktorpreis sinkt die Faktornachfrage nach dem Input von x auf ˆx. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

94 Kein Giffen Fall Kein Giffen Fall Der aus der Haushaltstheorie bekannte Fall des Giffen Gutes kann in der Produktionstheorie nicht auftreten. Der Grund für die Existenz eines Giffen Gutes war ein ein Einkommenseffekt, der den (immer eindeutigen) Substitutionseffekt überkompensiert. In der Produktionstheorie gibt es einen solchen Einkommenseffekt nicht, denn die Unternehmen haben ja keinen Anfangsbestand an Gütern bzw. Einkommen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

95 Kein Giffen Fall Formale Herleitung dieser Eigenschaft einer Faktornachfragefunktion: Einsetzen der Faktornachfragefunktion in die Bedingung erster Ordnung: pf (x(p, w 1, w 2 )) w 0. Die Bedingung erster Ordnung ist als Identität erfüllt. D.h. die Bedingung ist für alle Preise p und w gültig. Die Ableitung einer Identität ist wieder eine Identität. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

96 Kein Giffen Fall Ableitung nach w: pf (x(p, w 1, w 2 )) x(p, w 1, w 2 ) w 1 0. Auflösen nach der Ableitung x(p,w 1,w 2 ) w ergibt: x(p, w 1, w 2 ) w = 1 pf (x(p, w 1, w 2 )) < 0 wegen f < 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

97 Kein Giffen Fall Unser Beispiel: x 1 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 1 ) 2, x 2 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 2 ) 2. Die Faktorpreise w 1 und w 2 stehen im Nenner. Wenn ein Faktorpreis steigt, sinkt demnach die Faktornachfrage. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

98 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Outputpreises f(x) w p ỹ π p x Abbildung: Gewinnmaxima bei unterschiedlichen Outputpreisen x Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

99 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Outputpreises f(x) w p ỹ π p x Abbildung: Gewinnmaxima bei unterschiedlichen Outputpreisen x Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

100 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Outputpreises f(x) wˆp w p ỹ ŷ π p ˆπˆp ˆx x x Abbildung: Gewinnmaxima bei unterschiedlichen Outputpreisen Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

101 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Outputpreises Eine Änderung des Outputpreises führt zu einer Änderung der Steigung der Isogewinngeraden. Steigt der Outputpreis von ˆp auf p, so wird die Isogewinngeraden flacher. Das neue Optimum liegt rechts vom alten Tangentialpunkt. Bei steigendem Outputpreis p steigt die Faktornachfrage von ˆx auf x. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

102 Änderung der Faktornachfrage bei Veränderungen des Outputpreises Unser Beispiel: x 1 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 1 ) 2, x 2 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 2 ) 2. Der Outputpreis p steht im Zähler. Wenn der Outputpreis steigt, steigt demnach auch die Faktornachfrage. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

103 Eigenschaften der Faktornachfragefunktion Die Faktornachfrage ist 1 abnehmend (nichtzunehmend) im Faktorpreis w i : x i (p, w 1, w 2 ) w i 0; 2 zunehmend (nichtabnehmend) im Outputpreis p: x i (p, w 1, w 2 ) p 0; 3 homogen vom Grade null in (p, w 1, w 2 ): x i (p, w 1, w 2 ) = x i (λp, λw 1, λw 2 ), λ > 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

104 Homogenität der Faktornachfragefunktionen Unser Beispiel: ( ) p 2 x 1 (p, w 1, w 2 ) =. 2w 1 Wir multiplizieren p, w 1 und w 2 mit einem Faktor λ > 0: x 1 (λp, λw 1, λw 2 ) = ( λp 2λw 1 ) 2. Das λ kürzt sich heraus. Die Funktion inst null homogen in Outputpreis und Faktorpreisen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

105 Angebotsfunktion Die am Markt erworbenen Produktionsfaktoren werden im Produktionsprozess eingesetzt. Daraus ergibt sich die Angebotsfunktion. Das Angebot in Abhängigkeit von den Faktorpreisen (w 1, w 2 ) und dem Outputpreis p erhält man, indem man die Faktornachfragefunktionen in die Produktionssfunktion einsetzt: y(p, w 1, w 2 ) = f(x 1 (p, w 1, w 2 ), x 2 (p, w 1, w 2 )). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

106 Angebotsfunktion Unser Beispiel: x 1 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 1 ) 2, x 2 (p, w 1, w 2 ) = ( p 2w 2 ) 2. Einsetzen in die Produktionsfunktion ergibt y(p, w 1, w 2 ) = f(x 1 (p, w 1, w 2 ), x 2 (p, w 1, w 2 )) = p 2w 1 + p 2w 2. Wir bringen die Brüche auf einen Nenner: y(p, w 1, w 2 ) = pw 2 2w 1 w 2 + pw 1 2w 1 w 2 y(p, w 1, w 2 ) = p(w 1 + w 2 ) 2w 1 w 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

107 Eigenschaften der Angebotsfunktion Aus den Eigenschaften der Faktornachfragefunktionen und der Produktionsfunktion können die Eigenschaften der Angebotsfunktion ermittelt werden. Das Grenzprodukt eines Inputs x i ist positiv (bzw. nichtnegativ); die Faktornachfragefunktion x 1 (p, w 1, w 2 ) ist aber abnehmend in w i. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

108 Eigenschaften der Angebotsfunktion Erste Eigenschaft der Angebotsfunktion: Abnehmend (nichtzunehmend) im Faktorpreis w i Unser Beispiel: y(p, w 1, w 2 ) w i 0. y(p, w 1, w 2 ) = p(w 1 + w 2 ) 2w 1 w 2. Wir leiten nach w 1 ab (Quotientenregel): y = 2pw 1w 2 2w 2 p(w 1 + w 2 ) w 1 4w1 2w 2 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

109 Eigenschaften der Angebotsfunktion y = 2pw 1w 2 2w 2 p(w 1 + w 2 ) w 1 4w1 2w 2 2 = 2pw 2 2 4w 2 1 w 2 2 = p 2w 2 1 < 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

110 Eigenschaften der Angebotsfunktion Zweite Eigenschaft der Angebotsfunktion: Zunehmend (nichtabnehmend) im Outputpreis p y(p, w 1, w 2 ) p 0. Bei unserem Beispiel y(p, w 1, w 2 ) = p(w 1 + w 2 ) 2w 1 w 2 ist dies offensichtlich, da p nur im Zähler vorkommt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

111 Eigenschaften der Angebotsfunktion Dritte Eigenschaft der Angebotsfunktion: Homogen vom Grade 0 in (p, w 1, w 2 ) Unser Beispiel: y(λp, λw 1, λw 2 ) = y(p, w 1, w 2 ). y(p, w 1, w 2 ) = p(w 1 + w 2 ) 2w 1 w 2. Wir multiplizieren alle drei Preise mit λ > 0: y(λp, λw 1, λw 2 ) = λp(λw 1 + λw 2 ) 2λw 1 λw 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

112 Null Homogenität der Angebotsfunktion Wieder kürzt sich das λ heraus. y(λp, λw 1, λw 2 ) = λp(λw 1 + λw 2 ) 2λw 1 λw 2 = λ2 p(w 1 + w 2 ) 2λ 2 w 1 w 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

113 Angebotsfunktion y y (p; w 1, w 2 ) p Abbildung: Angebotsfunktion Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

114 Inverse Angebotsfunktion p p (y; w 1, w 2 ) Abbildung: Inverse Angebotsfunktion y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

115 Die Gewinnfunktion Gewinn: π = pf(x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2. Ermittlung der Gewinnfunktion: Wir setzten die Faktornachfragefunktionen in die Gewinngleichung ein: π(p, w 1, w 2 ) = py(p, w 1, w 2 ) w 1 x 1 (p, w 1, w 2 ) w 2 x 2 (p, w 1, w 2 ). Die Gewinnfunktion gibt für alle Outputpreise p und alle Faktorpreise w i den maximalen Gewinn an. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

116 Die Gewinnfunktion In unserem Beispiel sind die Faktornachfragefunktionen ( ) p 2 x 1 (p, w 1, w 2 ) =, x 2 (p, w 1, w 2 ) = 2w 1 und die Angebotsfunktion lautet ( p 2w 2 ) 2, Die Gewinnfunktion ist y(p, w 1, w 2 ) = p(w 1 + w 2 ) 2w 1 w 2. π(p, w 1, w 2 ) = p p(w 1 + w 2 ) 2w 1 w 2 w 1 ( p 2w 1 ) 2 w 2 ( p 2w 2 ) 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

117 Gewinnfunktion π(p, w 1, w 2 ) = p p(w ( ) 1 + w 2 ) p 2 ( ) p 2 w 1 w 2. 2w 1 w 2 2w 1 2w 2 Umformung ergibt p 2 ( ) (w 1 + w 2 ) p 2 ( p w 1 w 2 2w 1 w 2 2w 1 2w 2 = 2p2 w 1 + 2p 2 + w 2 ) 4w 1 w 2 = p2 (w 1 + w 2 ). 4w 1 w 2 ( p 2 w 2 4w 1 w 2 ) 2 ) ( p 2 w 1 4w 1 w 2 ) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

118 Eigenschaften der Gewinnfunktion Aus den Eigenschaften der Faktornachfrasgefunktion bzw. der Angebotsfunktion können nun die Eigenschaften der Gewinnfunktion ermittelt werden. Erste Eigenschaft der Gewinnfunktion Abnehmend (nichtzunehmend) im Faktorpreis w i : π(p, w 1, w 2 ) w i 0. Zweite Eigenschaft der Gewinnfunktion Zunehmend (nichtabnehmend) im Outputpreis p π(p, w 1, w 2 ) p 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

119 Eigenschaften der Gewinnfunktion Dritte Eigenschaft der Gewinnfunktion: Homogen vom Grade eins in (p, w 1, w 2 ). 1 Homogenität Da bei einer Erhöhung von p, w 1, w 2 um den gleichen Faktor λ die Faktornachfragefunktion x i (p, w 1, w 2 ) aufgrund der null Homogenität unverändert bleiben, ändert sich auch das Angebot nicht. Da sowohl der Erlös als auch die Kosten um den Faktor λ steigen, ändert sich der reale Gewinn nicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

120 Zusammenhänge zwischen den Funktionen Der Zusammenhang zwischen Gewinn, Angebots und Faktornachfragefunktionen Die Gewinnfunktion aus unserem Beispiel war π(p, w 1, w 2 ) = p2 (w 1 + w 2 ) 4w 1 w 2. Leitet man die Gewinnfunktion nach dem Outputpreis p ab, dann ergibt sich π(p, w 1, w 2 ) p = 2p(w 1 + w 2 ) 4w 1 w 2 = p(w 1 + w 2 ) 2w 1 w 2 = y(p, w 1, w 2 ). Dies ist die Angebotsfunktion. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

121 Hotelling s Lemma Hotelling s Lemma Leitet man die Gewinnfunktion nach dem Outputpreis p ab, dann erhält man die Angebotsfunktion. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

122 Zusammenhänge zwischen den Funktionen π(p, w 1, w 2 ) = p2 (w 1 + w 2 ) 4w 1 w 2. Ableitung der Gewinnfunktion nach dem Inputpreis w 1 ergibt: π w 1 = p2 4w 1 w 2 4w 2 p 2 (w 1 + w 2 ) 16w 2 1 w 2 2 = p2 4w 2 1 ( ) p 2 = = x 1 (p, w 1, w 2 ). 2w 1 Die Ableitung nach dem Inputpreis w i ergibt die negative Faktornachfragefunktion. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121

123 Zusammenhang zwischen Gewinnfunktion und Faktornachfragefunktionen Die Ableitung der Gewinnfunktion nach dem Faktorpreis w i ergibt die (negative) Faktornachfragefunktion. Negativ ist sie deshalb, da bei einer Erhöhung des Faktorpreises der Gewinn abnimmt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 7. Vorlesungswoche 2. Dezember / 121