Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2009/2010

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 009/00 Mathematik (B) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 4. Juni 00 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Formelsammlung, nichtprogrammierbarer und nichtgrafikfähiger Taschenrechner Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Spezielle Arbeitshinweise Der Aufgabensatz besteht aus 4 Aufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchgestrichene Lösung zählt. Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Blätter Aufgabe Nr.: Bewertungseinheiten, und Gesamtpunkte und Gesamtnote : Soll Punkte Summe: 00 Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Notenpunkte: Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Punkte Note: Punkte Note: Datum, Unterschrift: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 00, (Mathematik) /4 4 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x x + x 6x+ 4; x 4. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie Ihre Aussage. /. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen.. /. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-achse an. /.4 Begründen Sie, dass die Funktion f im Intervall [ 0; ] eine Nullstelle haben muss. /9 Berechnen Sie diese Nullstelle durch ein geeignetes Näherungsverfahren auf vier Nachkommastellen genau. Brechen Sie Ihre Berechnung bei einem Fehlerquotienten von f ( x) 0,0 oder nach höchstens drei Iterationsschritten ab.. Weisen Sie nach, dass eine zweite Nullstelle bei x = existiert. /.6 Nennen Sie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f und berechnen Sie diese Punkte. /.7 Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ 0; ] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte..8 4 Gegeben sei nun die Funktionsgleichung fa ( x) = x x + ax 6x+ 4 mit 4 x und a. Ermitteln Sie, für welches a der Graph der Funktion f keine Wendepunkte besitzt. Begründen Sie Ihre Antwort. /6 / 00, (Mathematik) Aufgaben Seite von 4

3 00, (Mathematik) /4 Der Funktionsgraph f einer Funktion dritten Grades besitzt den Extrempunkt P( ). An der Stelle x = hat die zugehörige Normale n die Funktionsgleichung nx ( ) = 0,x+,.. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion f. / Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. a + 6b + c +,d = a + b + c + d = 4 a b c = 0 6a 4b c = 0 Falls Sie die Funktionsgleichung der Funktion f nicht bestimmen konnten, arbeiten Sie im Weiteren mit der Funktionsgleichung f ( x) = x 4x + x und der Normalengleichung nx ( ) = 0,x+,.. Skizzieren Sie die Graphen der Funktion f sowie der Normale n. Verwenden Sie hierbei das Extremum von f im Punkt P( ), den Schnittpunkt der Graphen der Funktion f und der Normale n, das absolute Glied der Funktion f sowie das Verhalten von f im Unendlichen. /. Die Graphen der Funktion f und der Normale n sowie die y-achse schliessen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. Berücksichtigen Sie bei Ihrer Lösung die folgenden Hinweise: Die Graphen der Funktion f und der Normale n schneiden sich an der Stelle x =. Der Graph der Funktion f schneidet die x-achse bei ca. x =, 7. /7 00, (Mathematik) Aufgaben Seite von 4

4 00, (Mathematik) / Aus Sperrholz soll eine quaderförmige Kiste gebaut werden; alle Kanten sind mit Aluminiumschiene zu verstärken. Beim Bau sind folgende Maßgaben zu beachten:. Die Länge l soll genau das Doppelte der Breite b betragen.. Es stehen insgesamt 40 cm Aluminiumschiene zur Verfügung.. Weisen Sie nach, dass man das Volumen der Kiste mit der folgenden Zielfunktionsgleichung berechnen kann (Längeneinheit: cm): Vb ( ) = 70b 6b. Welche Länge l, Breite b und Höhe h muss die Kiste haben, damit ihr Volumen maximal ist? Wie groß ist das maximale Volumen? /6 /9 00, (Mathematik) Aufgaben Seite von 4

5 00, (Mathematik) 4 /0 Auf dem Freigelände eines Jugendclubs ist der Bau einer Halfpipe (siehe Foto - aus urheberrechtlichen Gründen hier nicht verfügbar) zum Skateboard fahren geplant. Der Querschnitt der Halfpipe soll folgende Maße haben:, m 0, m m m Gesamtlänge = 0 m Die Konstrukteure haben festgelegt, dass sich die eigentliche Skaterbahn aus zwei Parabelästen und einer waagerechten Geraden zusammensetzt. Um sanfte Übergänge zwischen dem geraden und den beiden abschüssigen Abschnitten zu erreichen, befinden sich genau in den Übergängen (bei jeweils m) die Scheitelpunkte der Parabeln. 4. Stellen Sie die Funktionsgleichung einer der beiden Parabeln auf. Skizzieren Sie diese in einem geeigneten Koordinatensystem und bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Falls Sie die Funktionsgleichung der Funktion f nicht bestimmen konnten, arbeiten Sie im Weiteren mit der Funktionsgleichung f ( x) = x. 8 /6 4. Berechnen Sie, wie viel m Beton für den Bau der Halfpipe notwendig sind, wenn diese eine Breite von m hat. /6 4. Sponsoren haben für den Bau dieses Objektes 7000 zur Verfügung gestellt. /4 Die Jugendlichen haben recherchiert, dass m Beton 60 zuzüglich % für die Verarbeitung kostet. Berechnen Sie, ob das Geld der Sponsoren reichen wird. 4.4 Um wie viele Meter müsste die Breite der Halfpipe verändert werden, damit das zur Verfügung stehende Geld voll ausgenutzt wird? /4 00, (Mathematik) Aufgaben Seite 4 von 4

6 00 (Mathematik) für Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. f ( x) f( x) und f ( x) f( x) oder die Exponenten von x sind gerade und ungerade, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punksymmetrisch zum Ursprung.. lim f( x) = und lim f( x) x x =. S y (0/4) da f (0) = 4 ist..4 Es gibt eine Nullstelle im Intervall[ 0; ], da ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte im Intervall auftritt, denn f (0) = 4 und f () = 4 Newtonsches Näherungsverfahren: f( xn ) x n x + n f ( xn ) 4 f ( x) = x x + x 6x+ 4 4 f ( x) = x 9x + 4x 6 BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung x n f ( x n ) f ( x n) x n , 0, 0,704-0,469 0,68 0,68 0,04-9,690 0,4 0,4 0,000 4 f(0,4) 0,0 Die Nullstelle liegt bei xn 0,4. Die Bedingung für eine Nullstelle ist erfüllt, denn es gilt f () = 0. 00, (Mathematik) Seite von 7

7 00 (Mathematik) für.6 a)extrempunkte, notw. und hinr. Bedingung: Hochpunkt: f ( x E ) = 0 und f ( x E ) > 0 Tiefpunkt: f ( x E ) = 0 und f ( x E ) < 0 f ( x E ) = 0 x 9x + 4x 6= 0 x = ; Linearfaktor (x-) E ( x 9x + 4x 6) : ( x ) = x 8x+ 6 x 8x+ 6= 0 x = 4± 6 6 = 4 E, f ( x) = x 8x+ 4 f (4) = 0 f () = 9 > 0 Tiefpunkt f () = ; TP(/ ) ; 4 4 an der Stelle liegt vermutlich ein Sattelpunkt. xe, b)wendepunkte, notw. und hinr. Bedingung: f ( x W ) = 0 und f ( xw ) 0 f ( xw) = 0 x 8x+ 4 = 0 x = ± 9 8 = ± W, xw = 4; x W = f ( x) = 6x 8 f (4) = 6 > 0 rechts-links-krümmung f () = 6 < 0 links-rechts-krümmung f () = 0; WP (/ 0) f (4) = 4 ; WP (4/ 4) ist ein Sattelpunkt, da f (4) = f (4) = 0 und f (4) 0 00, (Mathematik) Seite von 7

8 00 (Mathematik) für.7 Intervallgrenzen: f(0) = 4; f() =,.8 f ( x) = x 9x + ax 6 = 0 f ( x) = x 8x+ a f ( x) = 6x 8 0 f ( x) = 0 x 8x+ a= 0 a x, = ± 9.Fall: Aus 9 a 0 < folgt, dass es für 7 < a keine Lösung, somit keine Wendestelle gibt. a 7.Fall: Aus 9 = 0 folgt a = und x, =. f () = 0 somit keine Entscheidung zur Existenz der Wendestelle Es gibt keine Wendestelle. Der Nachweis f7 ( x) 0 für alle x wird nicht gefordert. Summe 0 9 mögliche BE 4 erreichte BE 00, (Mathematik) Seite von 7

9 00 (Mathematik) für Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. Ansatz: f ( x) = ax + bx + cx+ d f ( x) = ax + bx+ c f ( x) = 6ax+ b Bedingungsgefüge:. f () = Punkt P( ). f '() = 0 Extremum bei x =. f () = f() = n() = 4. f '() = 0 mm n t = f'() = mt = 0 Gleichungssystem: I: a + b + c + d = - II: a + b + c = 0 III: 8a + 4b + c + d = IV: a + 4b + c = 0 BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Lösen des Gleichungssystems (auch Ersatz-LGS) Lösungen des Gleichungssystems (auch Ersatz-LGS) a= ; b= 4; c= ; d = Funktionsgleichung:. Graphen von f und n: f x x x x ( ) = 4 + Die genaue Lage des lokalen Maximum 46 H ( ) bleibt unberücksichtigt, seine Existenz 7 ergibt sich aus den bekannten Eigenschaften von f. 00, (Mathematik) Seite 4 von 7

10 00 (Mathematik) für.,7 A= f( xdx ) + nxdx ( ) f( xdx ) 0 0,7,7 4 4 A= x x + x x + 0,0x +,x x x x x 0,7 A =, , 0, 67 +,89 A = 6,87 Summe 7 4 mögliche BE 4 erreichte BE Teilauf- Erwartete Teilleistung BE in AB Erbrachte Teilleistung gaben I II III BE Begutachtung. Hauptbedingung: Vbhl (,, ) = bhl soll maximal sein Nebenbedingungen: (NB) l = b (NB) 4l+ 4b+ 4h= 40 (NB) in (NB) einsetzen: 8b+ 4b+ 4h= 40 h= b Nebenbedingungen in Hauptbedingung einsetzen: Zielfunktion: Vb ( ) = b ( b) b= 70b 6b. Ableitungen: V '( b) = 40b 8 b ; V"( b) = 40 6b Notw. Bed.: V '( b) = 0 40b 8b = 0 b(40 8 b) = 0 Lösungen: b = 0 ist nicht sinnvoll b = 0 ist sinnvoll Hinreichende Bedingung V"( b ) < 0 prüfen: V "(0) = 40 < 0 Maximum Optimale Höhe und Länge berechnen: h max = 0 = 4 l max = 0 = 60 Maximales Volumen berechnen: V max = = 8000 Antwortsatz mit Maßeinheiten Summe mögliche BE erreichte BE 0 00, (Mathematik) Seite von 7

11 00 (Mathematik) für Teilaufgaben 4. Erwartete Teilleistung Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Parabel in ein Koordinatensystem zu zeichnen, exemplarisch sei hier nur die effektivste Variante aufgezeigt. Beide Parabeläste werden zu einer Parabel verbunden, so dass der Scheitelpunkt bei S (0 0) liegt und ein weiterer relevanter Punkt bei P ( ). BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Funktionsgleichung: f ( x) = ax = 9a a = 8 f ( x) = x 8 P (/ ) 00, (Mathematik) Seite 6 von 7

12 00 (Mathematik) für 4. Ansatz für Flächeninhalt: A= f( x) dx= ( x) dx 0 0 Stammfunktion : F( x) = x 4 8 A = i = m Volumen: V = ( A + 0,i0) i Breite = 0m 0m Beton werden für den Bau der Halfpipe benötigt. 4. m 60Euro+ % m 60Euro + 4Euro m 84Euro 0m 0Euro Das Geld der Sponsoren ist ausreichend m x = x = 8,04m Bei 8,04m Beton wäre das Geld voll ausgenutzt. 8,04 ( 0, 0) m = A+ i ibreite 8,04 = 0 m m Breite,804m= Breite i Die Halfpipe müsste um ca. 0,804 m verbreitert werden, damit dass Geld voll ausgenutzt wird. Summe 6 mögliche BE 0 erreichte BE 00, (Mathematik) Seite 7 von 7