Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck

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1 Lösung: - - Flächensätze am rechtwinkligen reieck 1. Es gibt reiecke mit einem Flächeninhalt von 24cm 2. Zeichne zwei solche reiecke, die diesen Flächeninhalt aufweisen, die aber nicht kongruent zueinander sind. 2. ie eine eite eines Rechtecks ist halb so lang wie die andere Rechtecksseite. er Umfang des Rechtecks ist 54cm lang. (a) erechne die beiden eitenlängen des Rechtecks. (b) erechne die Länge einer iagonalen. Lösung: (a) 9cm, 18cm (b) d = 405cm 20,12cm 3. In einem Rechteck EFGH sind die beiden iagonalen zusammen 22cm lang. Eine eite dieses Rechtecks ist 5,5cm lang. (a) Zeichne dieses Rechteck. (b) estimme sämtliche Winkelmaße am iagonalenschnittpunkt. (c) erechne jeweils den Flächeninhalt sämtlicher Teildreiecke in diesem Rechteck. Es gibt mehrere Möglichkeiten. (d) erechne den bstand eines Eckpunktes zur entsprechenden iagonalen. Lösung: (b) 60, 120 (c) 1 = 2,75 90,75cm 2 26,20cm 2 2 = 1,375 90,75cm 2 13,10cm 2 3 = 2 (d) d = 2,75 3cm 4,76cm 4. Untersuche, ob die Punkte P(0 0), Q(6 2,5) und R(11 4,5) auf einer Geraden liegen. Lösung: Es gibt mehrere Möglichkeiten: z.. über teigungsdreiecke, Vektoren, Geradengleichungen. ntwort: Nein, aber ziemlich knapp. 5. Gegeben sind die Punkte (3 2) und (1 2). Um wie viel Prozent muss man die trecke [] mindestens verlängern, bis man auf die y-chse trifft? Löse die ufgabe auf verschiedene Weise. Lösung: Z.. über teigungsdreiecke oder die Länge von trecken. ntwort: Um 50%. 1

2 6. Verlängere die trecke [E] mit ( 4 2) und E(2 3) um 10% ihrer Länge über den Punkt E hinaus bis zum Punkt E. erechne die Koordinaten des Punktes E. Lösung: E (2,6 3,1). 7. Ein Quadrat besitzt einen Flächeninhalt von 39,69cm 2. erechne die Länge einer iagonalen. Lösung: d = 6,3 2cm 8,91cm 8. ie iagonale eines Quadrates ist 7 cm. lang. (a) Zeichne dieses Quadrat. (b) erechne den Umfang dieses Quadrates. Lösung: (b) u = 14 2cm 19,80cm 9. erechne auf Grund der kizze die Länge der trecke x in bhängigkeit vom Radius r. r r r x Lösung: x = 1,24r 10. Während der Übertragung der U-Tennismeisterschaften 2003 in New York war im Fernsehen ein Firmenlogo zu sehen, das so ähnlich aussah wie die bbildung unten. as weiße Viereck ist ein Quadrat. Es gilt = F = acm. Zusätzlich ist hier das reieck EF eigezeichnet. 2

3 F E G K (a) Zeichne die Figur für FG = 3,2cm so, dass die trecke [K] waagrecht liegt. (b) erechne in deiner Zeichnung den Flächeninhalt Quadrates. (c) Untersuche ohne Verwendung des Taschenrechners, ob das reieck EF gleichschenklig ist. Gilt dein Ergebnis auch dann noch, wenn die Figur verkleinert oder vergrößert wird? egründe deine nsicht. erechne den Flächeninhalt dieses reiecks auf drei verschiedene rten in bhängigkeit von a. Lösung: (a) [FG] ist genauso lang wie die iagonale [] des Quadrates. lso gilt: a 2 = 3,2 a = 3,2 2 2,26. Für die Zeichnung: F = K = 2acm 5,52cm. F H M E G N K (b) () = a 2 cm 2 = ( 3,2 2 ) 2 cm 2 = 5,12cm 2 (c) Wegen E = 0,5 müsste gelten: 2a = 1,5a 2 (a 0) 2 = 2 1,5 = 4 3. Weil aber 2 irrational ist, liegt hier ein Widerspruch vor. ieser Widerspruch lässt sich auch durch Vergößerung oder Verkleinerung der Figur nicht auflösen: Jede Vergrößerung oder Verkleinerung ist eine winkeltreue bbildung. Wenn in der usgangsfigur keine zwei Winkel maßgleich sind, dann wird dies auch bei einer Größenänderung nicht anders. Es wird nur mit Maßzahlen gerechnet. 1. Möglichkeit: (EF) = 0,5E F = 0,5 1,5a 2 a 2 = 1,5a 2. 3

4 2. Möglichkeit: (EF) = 0,5 F EM = 0,5 2a 1,5a = 1,5a Möglichkeit: as Lot [F ] zelegt das reieck EF in die beiden rechtwinkligen Teildreiecke F und EF. as reieck F ist so groß wie das Quadrat : (F) = a 2. Weil [F] [HN] ist, folgt (EF) = (FH) = 0,5a 2. (EF) = a 2 +0,5a 2 = 1,5a ,0 m 8,0 m 4,0 m 4,0 m erechne den Umfang des Fünfecks. Lösung: er Umfang beträgt 32 m

5 Turm 51 m Treffpunkt aum 68 m runnen er runnen ist 68m und der Turm 51m vom aum entfernt. eim Turm laufen abrina und aniel gleichzeitig mit derselben Geschwindigkeit los. aniel läuft zuerst zum aum und dann Richtung runnen. abrina geht zuerst zum runnen und dann Richtung aum. erechne den bstand vom Treffpunkt zum runnen. Lösung: er Treffpunkt ist 17 m vom runnen entfernt

6 R Q P Gegeben ist das rechtwinklige reieck und das einbeschriebene Quadrat P QR. Es gilt: P = 2,0cm und = 5,0cm. erechne Länge der Hypotenuse []. Lösung: = 21cm 14. Eine kleine Pizza hat einen urchmesser von 23, 0 cm. erechne den urchmesser einer großen Pizza, die den doppelten Flächeninhalt hat. Lösung: ie große Pizza hat einen urchmesser von 32,5cm. 15. ε δ ψ Q R xcm xcm P 6

7 ie eitenlänge des Quadrates ist a cm lang. (a) Zeichne die Figur für a = 6 und x = 2. (b) egründe: ψ = 90. Lösung: (a) δ ε δ acm Q ψ (a x)cm R xcm δ xcm xcm P (a x)cm (b) m Punkt gilt: ε+δ = 90. (*) ie rechtwinkligen reiecke P und R sind kongruent, denn es gilt: P = R = (a x)cm und = R = acm. lso folgt R = δ = (Z-Winkel). Wegen (*) gilt im reieck Q : ψ = E F Herr Theo Lith ist als Platzwart für das pielfeld verantwortlich, das die Form eines gleichseitigen reiecks mit einer eitenlänge von 56 m besitzt. uf einem Kontrollgang startet er vom Eingang auf dem kürzesten Weg zur eite []. Von dort aus läuft er wieder auf dem kürzesten Weg zur eite []. ann begibt er sich erneut auf dem kürzesten Weg zur Grundstücksseite [] und trifft dort auf den Fahnenmasten F. (a) er gestrichelt eingezeichnete Kontrollweg von Herrn Lith in der obigen Zeichnung ist falsch eingetragen. Was ist daran verkehrt? 7

8 (b) Zeichne die Figur mit dem richtigen Weg im Maßstab 1 : Trage dann den Weg von Herrn Lith und die Punkte, E und F korrekt ein. (c) Zeige: F : F = 3 : 5. (d) estätige mit Hilfe der ngabe (c) die Position des Fahnenmastes durch eine weitere Konstruktion in deiner Zeichnung. Lösung: (a) ie kürzeste Entfernung eines Punktes zu einer trecke (Geraden) ist das Lot von diesem Punkt auf die trecke (Gerade). ber hier steht z.. die trecke [] offensichtlich nicht auf der reiecksseite [] senkrecht. (b) E F (c) er Punkt halbiert die eite []. = 28m. as reieck E ist ein halbes gleichseitiges reieck mit E = 0,5 = 14m. E = 56m 14m = 42m. as reieck FE ist wieder ein halbes gleichseitiges reieck: F = 21m. F = 56m 21m = 35m. 56m 21m 35m = 3 5 F : F = 3 : 5. (d) Wähle z.. eine 8cm lange trecke [K] und teile sie in 8 gleiche Teile. Zeichne die zugehörigen Hilfslinien parallel zu [K] ein. er Winkel, den die trecken [K] und [] einschließen, spielt zwar keine Rolle; du solltest ihn aber wegen der Zeichengenauigkeit nicht zu spitz wählen. Es folgt dann: er Punkt F teilt die trecke [] im Verhältnis 3 : 8. amit gilt: F : F = 3 : 5. 8

9 E 1 F K a) b) c) 110,5 m 91,8 m ie Längen der zwei Wege a) und b) sind angegeben. Wie lang ist der Weg c)? Lösung: Weg a) Er besteht aus 5 gleich langen trecken, denn jede trecke stellt die iagonale eines rechteckigen Gitterkästchens dar: 110,5m : 5 = 22,1m. o lang ist die iagonale eines Gitterkästchens. 9

10 Weg b) Er enthält 3 gleich lange Rechtecksdiagonalen eines Gitterkästchens. er Rest dieses Weges ist dreimal so lang wie reite eines Gitterkästchens. Für die reite eines Gitterkästchens gilt dann: (91,8m 3 22,1m) : 3 = 8,5m. Weg c) Von einem Gitterkästchen kennst du nun dessen iagonalenlänge (22, 1 m) und dessen reite (8,5m). ann lässt sich mit dem atz des PYTHGOR die Höhe eines Gitterkästchens ausrechnen. (as Gitterkästchen ist hier aus Platzgründen waagrecht gelegt): 22,1 m x m 8,5 m Hier gilt: x 2 + 8,5 2 = 22,1 2 x = 20,4. Für die Länge des Weges c) ergibt sich dann: 3 8,5m+2 22,1m+2 20,4m = 110,5m; d.h. die Wege a) und c) sind gleich lang. 18. Lösung: (a) as ursprüngliche Format des Fernsehbildes von 4 : 3 wird mehr und mehr auf das Format 16 : 9 umgestellt. (a) erechne die eitenlängen des sichtbaren ildes im alten und neuen Format bei einer 77 cm langen ildschirmdiagonalen. (b) Vergleiche die zugehörigen Flächeninhalte der beiden Fernsehbilder in den verschiedenen Formaten bei der 77 cm langen ildschirmdiagonalen. b cm d = 77 cm a cm 10

11 ltes Format: a : b = 4 : 3 a b = 4 3 b = 3 4 a. Mit dem PYTHGOR folgt: ( ) 3 2 ( 77 2 = a 2 +b 2 = a a = a ) = a = 5 a a = 61,6 und b = 46,2. 4 Neues Format: mit a,b > 0. a : b = 16 : 9 a b = 16 9 b = 9 16 a. Mit dem PYTHGOR folgt: ( ) 9 2 ( 77 2 = a 2 +b 2 = a a = a ) = a a 67 und b 36. mit a,b > 0. (b) ltes Format: a = 61,6cm 46,2cm 2846cm 2 Neues Format: b 67cm 36cm 2412cm 2. as alte Format weist also bei gleicher iagonalenlänge einen größeren Flächeninhalt auf. 19. r a M G as ist das Logo einer japanischen Firma, die peichermedien herstellt. Im Zentrum befindet sich das gleichseitige reieck G. er Umkreis mit dem Mittelpunkt M 11

12 wurde zusammen mit dem Umkreisradius r zusätzlich eingezeichnet. ie Länge der Quadratseite ist a. (a) erechne den Umkreisradius r für a = 4. (b) Wie viel Prozent der Umkreisfläche wird von dem sechseckigen Logo bedeckt? Lösung: (a) K L r a T E M G as Logo ist mit seinem Umkreis verkleinert dargestellt. Im gleichseitigen reieck G stellt die trecke[gt] die reieckshöhe dar. ann gilt: MT = a 3 = 1 6 a 3. MK = 1 6 a 3+a = a Im rechtwinkligen reieck M K gilt: ( ) Weiter gilt: K = 1 2 a. [ ( )] 2 ( ) ) r 2 = a a = a ( r 2 = a2 ( 4+ ) r = a a = 4cm: r 5,53cm. 3 (b) Für die Fläche des Umkreises gilt dann mit (*): (*) = π 3 a2 (4+ 3). as gleichschenklige reieck E hat die chenkellänge a. Es wird durch die Höhe [L] in die beiden kongruenten rechtwinkligen reiecke EL und L zerlegt. Es gilt: E = = 120. LE = L = ( ) : 2 = 30. omit lassen sich die beiden Hälften des reiecks E zu einem gleichseitigen reieck zusammenfügen, das mit dem gleichseitigen reieck G kongruent ist. UmdenFlächeninhalt deslogos zuberechnen,musstdualsozudemderdreiquadrate den vierfachen des gleichseitigen reiecks G im Zentrum addieren. Für Logo 12

13 ergibt sich dann: Logo = 3 a 2 +4 a2 3 = 3a 2 +a 2 3 = a 2 (3+ 3). 4 Logo = a2 (3+ 3) π 3 a2 (4+ 0,7883 = 78,83% 3) Knapp 79% des Umkreises werden vom TK-Logo bedeckt. 20. Q P as dargestellte Rechteck wird so gefaltet, dass der Eckpunkt auf den Eckpunkt zu liegen kommt. adurch entsteht die Faltkante [P Q]. Lösung: (a) Klar. (a) chneide aus kariertem Papier ein Rechteck mit = 8cm und = 4cm aus. Falte es auf die oben beschriebene Weise. (b) Zeichne die Figur oben rechts für = 8cm und = 4cm. (c) egründe mit Hilfe von Winkelmaßen: as Viereck P Q ist ein Parallelogramm. egründe: as Viereck PQ ist sogar eine Raute. (d) Es sei P = xcm. Zeige rechnerisch: x = 3. (e) erechne den Flächeninhalt der Raute P Q auf zwei verschiedene rten mit Hilfe von Teildreiecken. (f) erechne erneut den Flächeninhalt der Raute P Q mit Hilfe ihrer iagonalenlängen. (b) 13

14 Q ϕ 2 4cm h ϕ 3 ϕ 1 x cm P (8 x)cm (c) Jede Faltachse ist gleichzeitig piegel- bzw. ymmetrieachse. lso gilt: PQ = PQ ϕ 1 = ϕ 2. Wegen [] [] folgt ϕ 2 = ϕ 3 (Z-Winkel). lso gilt: ϕ 1 = ϕ 3 und damit [Q] [P]. Weil gleichzeitig [P ] [Q] gilt, sind die beiden gegenüberliegenden eiten jeweils parallel: as Viereck P Q muss ein Parallelogramm sein. as Parallelogramm P Q besitzt die ymmetrieachse P Q. Jedes Parallelogramm mit einer ymmetrieachse ist eine Raute. (d) Es gilt: P = P = (8 x)cm. PYTHGOR im reieck : (8 x) 2 = 4 2 +x x+x 2 = x x = 3. (e) 1. Möglichkeit: erechne die Fläche des Teildreiecks P Q. QP = 1 2 Q h Weil jede Raute( ein gleichseitiges ) Viereck ist, gilt Q = 8cm 3cm = 5cm. 1 lso: QP = cm 2 = 10cm 2. ie Raute PQ ist doppelt so groß wie dieses Teildreieck: PQ = 20cm Möglichkeit: chneide vom Rechteck die beiden kongruenten reiecke P und Q ab: ( ) 1 PQ = (8 4)cm cm 2 = 20cm 2 (f) Es gilt: FQ = Q F = 5cm 3cm = 2cm. PYTHGOR im reieck PQF: PQ 2 = ( ) cm 2 PQ = 20cm. PYTHGOR im reieck : 2 = ( ) cm 2 = 80cm. ( 1 PQ = ) cm 2 = 20cm

15 Q M = M P as dargestellte Quadrat wird so gefaltet, dass der Eckpunkt auf den Mittelpunktpunkt M der eite [] zu liegen kommt. adurch entsteht die Faltkante [PQ]. Lösung: (a) Klar. (a) chneide aus kariertem Papier ein Quadrat mit = 6cm aus. Falte es auf die oben beschriebene Weise. (b) Zeichne die Figur oben rechts für = 6cm. (c) Es sei Q = xcm. Zeige rechnerisch: x = 2,25. (d) Zeige: Q : = 3 : 4. (e) egründe: ie reiecke Q, und P sind zueinander ähnlich. (f) erechne. (g) erechne den Flächeninhalt des reiecks. (h) erechne. [Ergebnis: = 5cm] (i) Wie viel Prozent des Flächeninhaltes des Quadrates liegt nach dem Falten unter der Kante []? (b) x cm Q (6 x)cm ψ 1 ϕ 1 6cm ψ 2 ϕ 2 P 15

16 (c) ie Faltachse P Q ist gleichzeitig die piegelachse. Jede chsenspiegelung ist längenund winkeltreu. Es gilt also Q = Q = (6 x)cm. PYTHGOR im reieck Q: Q 2 = 2 +Q 2 : (6 x) 2 = x x+x 2 = x 2 +9 x = 2,25 (d) Q : = 2,25 : 3 = 0,75 = 3 4 = 3 : 4. (e) Im reieck Q gilt: ϕ 1 +ψ 1 = 90 (*). m cheitel gilt: ϕ ψ 2 = 180 ϕ 1 +ψ 2 = 90. Mit (*) folgt ψ 2 = ψ 1. omit stimmen die beiden rechtwinkligen reiecke Q und in zwei Innenwinkelmaßen überein. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 in jedem reieck müssen die beiden reiecke auch im Maß des dritten Innenwinkels übereinstimmen: ϕ 1 = ϕ 2. lso gilt: Q. Im reieck P gilt: P = ϕ 2 (cheitelwinkel) = ϕ 1. ie beiden reiecke und P sind rechtwinklig. lso sind sie zueinander ähnlich. lso sind alle drei reiecke zueinander ähnlich. (f) In der Lösung (d) wurde gezeigt, dass Q : = 3 : 4 gilt. Wegen derähnlichkeit derbeidenreiecke Q und mussebenso : = 3 : 4 gelten. 3 lso: = 3 = 4cm. 4 (g) = 1 2 = 1 2 (4 3)cm2 = 6cm 2. (h) PYTHGOR im reieck : 2 = : 2 = 3 2 cm cm 2 = 5cm (i) = Wegen = = 6cm folgt: = 6cm 5cm = 1cm. Wie vorher in (e) dargelegt, gilt P. Weiter gilt: = 1 4. er treckungsfaktor k beträgt hier also 1 4. P = ( ) P = cm2 = 0,375cm 2 P = 0,375cm2 36cm 2 0,0104 = 1,04%

17 ie zwei Halbkreise haben die beiden Katheten [] bzw. [] des rechtwinkligen reiecks als urchmesser. ie Halbkreise schneiden sich im Punkt. Weiter gilt: = 8cm und = 6cm (a) Zeichne die Figur. (b) egründe: as reieck ist rechtwinklig. er chnittpunkt liegt auf der Hypotenuse []. Lösung: (a) (b) er Punkt liegt auf dem THLE-Kreis mit dem urchmesser []. lso gilt: = 90. er Punkt liegt aber auch auf demthle-kreis mitdem urchmesser []. = 90. lso hat der Winkel das Maß 180. aher liegt der Punkt auf der Hypotenuse []

18 M b M c ie zwei Mittelpunkte M b und M c der beiden Katheten [] bzw. [] des rechtwinkligen reiecks sind auch die Mittelpunkte der beiden Kreisbögen. ie Halbkreise schneiden sich im Punkt, der gleichzeitig auf der Hypotenuse [] liegt. Weiter gilt: = 8cm und = 6cm (a) Zeichne die Figur. (b) egründe: as Viereck M c M b ist ein achsensymmetrischer rachen. as Viereck M c M b besitzt einen Umkreis. Tipp: Zeichne die trecke M c M b ein. (c) Zeichne das reieck mit dem rachenviereck M c M b erneut. erechne den Flächenanteil des Vierecks M c M b am reieck in Prozent. Tipp: etrachte den Flächenanteil des reiecks M c M b am reieck. Zeichne auch den Hypotenusenmittelpunkt M h ein. Lösung: (a) M b M T M c (b) Esgilt: M b = M b =RadiusdeskleinenHalbkreises undm c = M c =Radius des großen Halbkreises. Wenn in einem Viereck zwei Paare benachbarter eiten jeweils gleich lang sind, dann ist dieses Viereck ein achsensymmetrischer rachen. 18

19 (c) iebeidenkongruentenrechtwinkligen reiecke M c M b undm b M c besitzendie gemeinsame Hypotenuse []. iese Hypotenuse muss daher der urchmesser des THLE-Kreises sein, der auch durch die Punkte und verläuft. amit ist dieser THLE-Kreis der Umkreis des rachenvierecks M c M b. ein Mittelpunkt M T ist der Mittelpunkt der iagonalen [M c M b ]. M b M h Mit Hilfe der drei Mittelpunkte M c, M h und M b der eiten des reiecks lässt sich dieses reieck in vier kongruente Teildreiecke zerlegen. as halbe rachenviereck M c M b ist eines dieser Teildreiecke, die jeweils 25% der Fläche des reiecks einnehmen. lso nimmt das rachenviereck M c M b 50% der Fläche des reiecks ein. M c 24. x as Rechteck wurde an seiner iagonalen [] gespiegelt. adurch ist das Viereck entstanden. Es gilt: x =. (a) Zeichne die Figur für a = = 8cm und b = = 6cm. (b) erechne die eitelänge in bhängigkeit von x auf verschiedene Weise. Zeige dann: 19

20 Lösung: (a) x = a2 b 2. 2a (c) Zeige: Für den Flächeninhalt des reiecks gilt: = b 4a (a2 +b 2 ). (d) Zeichne die trecke [ ] ein. egründe: as Viereck ist ein Trapez. (e) Zeige: Für den Flächeninhalt des reiecks gilt: = b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2. (f) Zeige: Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt: = ab a 2 a 2 +b 2. Tipps: as Trapez wird durch seine beiden iagonalen in vier Teildreiecke zerlegt. Zwei reiecke davon sind kongruent, die beiden anderen sind zueinander ähnlich. en Flächeninhalt des Trapezes erhältst du aus der umme der Flächeninhalte der vier Teildreiecke. (g) In welchem Verhältnis müssen die eitenlängen a und b des Rechtecks stehen, damit der Flächeninhalt des Trapezes um 10% kleiner als der des Rechtecks wird? (h) Untersuche, ob der Flächeninhalt des Trapezes genau so groß wie der des Rechtecks werden kann. (i) Untersuche rein elementargeometrisch anhand des Winkels mit dem Maß ε, ob das Trapez auch zum Rechteck werden kann. 20

21 x b x ψ ψ ϕ ε b F b ϕ F a ε ε a b (b) as piegelbild des Rechtecks ist das kongruente Rechteck. lso gilt: = = = b. ie beiden rechtwinkligen reiecke und stimmen also in der eitenlänge b überein. Weiter gilt: ψ = ψ (cheitelwinkel) ϕ = ϕ. amit sind die beiden reiecke und kongruent. Insbesondere gilt dann = und = = x. Einerseits gilt dann im reieck : = b 2 +x 2 ndererseits gilt: = a x b 2 +x 2 = a x 2 b 2 +x 2 = a 2 2ax+x 2 x = a2 b 2 (c) = = 1 2 ab 1 2 bx = b (a 2 a2 b 2 ) = b2 2a 2a2 a 2 +b 2 2a (d) iehe Zeichnung. 2a = b 4a (a2 +b 2 ) ufgrunddereigenschaftenderchsenspiegelungsinddiebeidenreiecke und kongruent. ie besitzen die gemeinsame Hypotenuse []. lso sind die beiden Höhen [F] und [ F ] gleich lang. as bedeutet, dass die beiden Punkte und den gleichen bstand zur trecke [] besitzen. lso folgt: [ ] []. lso ist das Viereck ein (gleichschenkliges) Trapez. (e) ie beiden reiecke und sind zueinander ähnlich; d.h.: = k 2 mit k = k = x a x = a2 b 2 : (a a2 b 2 ) = a2 b 2 2a 2a a 2 +b 2 21

22 ( a 2 b 2 ) 2 b = a 2 +b 2 4a (a2 +b 2 ) = b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2. (f) Trapez = x b+ b 4a (a2 +b 2 )+ b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2 = 2b 4a (a2 b 2 )+ b 4a (a2 +b 2 )+ b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2 = b 4a 2(a2 b 2 ) (a 2 +b 2 )+(a 2 +b 2 ) 2 +(a 2 b 2 ) 2 a 2 +b 2 = = b 4a 4a 4 a 2 +b 2 = ab a 2 a 2 +b 2 (g) Es muss gelten: Trapez = 0,9. lso: ab a 2 a 2 +b 2 = 0,9 ab a 2 a 2 +b 2 = 0,9 0,1a2 = 0,9b 2 Wegen a,b > 0 folgt dann a = 3 b. a 2 (h) Es muss gelten: ab a 2 +b 2 = ab a 2 a 2 +b 2 = 1. Ein ruch hat aber genau dann den Wert 1, wenn Zähler und Nenner gleich sind: a 2 = a 2 + b 2 b = 0( ). ann würde das Rechteck zur trecke entarten; ein solches Trapez gibt es nicht. (i) Es gilt: = ε (Z-Winkel). Weiter gilt: = ψ = 2 ε (F-Winkel). Ebenso folgt: ϕ = 90 2ε (Innenwinkelsumme im reieck ). amit das Trapez zum Rechteck wird, muss ϕ+ε = 90 gelten. as bedeutet: 90 2ε + ε = 90 ε = 0. Wieder würde das Rechteck zur trecke entarten; d.h.ein solches Trapez gibt es nicht. 25. M β 22

23 er Hypotenusenmittelpunkt des rechtwinkligen reiecks ist der Punkt M. In der Figur gilt weiter: = 7,2cm und = 5,4cm. (a) egründe: ie beiden reiecke M und sind zueinander ähnlich. (b) Zeige: M = 3,375cm. (c) erechne den nteil der Fläche des Vierecks M am reieck in Prozent. Lösung: (a) M xcm β In beiden reiecken und M kommt der Innenwinkel mit dem Maß β vor. Zudem sind beide reiecke rechtwinklig. lso müssen beide reiecke auch im Maß des dritten Innenwinkels übereinstimmen; also gilt M. (b) Wir rechnen nur mit Maßzahlen. PYTHGOR im reieck : 2 = 7,2 2 +5,4 2 = 9cm M = 4,5cm. Vierstreckensatz: M M = : x 4,5 = 5,4 7,2 x = 3,375. (c) erechne den Ähnlichkeitsfaktor: Z.. k = M = 4,5 7,2 = 0,625. ann gilt M = k 2 = 0,625 2 = 0, as bedeutet: as reieck M nimmt 39, 0625% der Fläche des reiecks ein. ann nimmt das Viereck M 100% 39, 0625% = 60, 9375% der Fläche des reiecks ein. 26. (a) Zeichne ein reieck mit = 6cm, α = 75 und β = 40. (b) piegle den Punkt am Punkt. ein piegelbild ist der Punkt. piegle den Punkt an der Halbgeraden [. ein piegelbild ist der Punkt. (c) egründe: as reieck ist gleichschenklig. 23

24 as reieck ist rechtwinklig. Lösung: (a) k γ iehe Zeichnung. iehe Zeichnung. (b) egründe: α Jede Punktspiegelung ist längentreu. lso gilt: =. Jede chsenspiegelung ist längentreu. lso gilt: =. =. lso ist das reieck gleichschenklig. Es gilt: = =. as bedeutet, dass die drei Punkte, und vom Punkt gleich weit entfernt sind. Folglich müssen die Punkte, und auf einer Kreislinie k mit dem Mittelpunkt liegen. iese Kreislinie ist nun der THLE-Kreis mit dem urchmesser [ ]. lso ist das reieck wegen k rechtwinklig. β 27. F E Für das Rechteck gilt: = 6cm und = 4cm. ie Punkte E und F sind die Mittelpunkte der eite [] bzw. []. 24

25 (a) Zeichne die Figur. (b) Welchen ruchteil der Rechtecksfläche nimmt das reieck E ein? Löse die ufgabe auf zwei verschiedene rten. (c) erechne den bstand des Punktes E von der trecke []. Runde dein Ergebnis auf zwei tellen nach dem Komma. Lösung: (a) F H 4cm h 3cm E (b) 1. Möglichkeit: ie reiecke E und EF haben die gleiche Grundlinie [E] und gleichlange Höhen [] bzw. [EF]. lso besitzen sie den gleichen Flächeninhalt. as reick EF nimmt ein Viertel der Fläche des Rechtecks ein, also trifft dies auch für das reieck E zu. 2. Möglichkeit: E = E. 3cm E = cm2 = 6cm 2 und = 6 4cm 2 : 2 = 12cm 2 E = 24cm 2 6cm 2 12cm 2 = 6cm 2. as ist aber ein Viertel der Fläche des Rechtecks. (c) er bstand eine Punktes zu einer trecke (oder Geraden) ist immer die kürzeste Entfernung dieses Punktes zur trecke. ie wird durch das Lot vom Punkt E auf die trecke [] dargestellt. Wir wissen schon, dass E = 6cm 2 gilt. er gesuchte bstand h ist die Höhe im reieck E mit der Grundlinie []: E = 1 h. 2 = cm = 52cm. 6cm 2 = cm h h = 12cm2 52cm 1,66cm. 28. Gegeben ist ein rechtwinkliges reieck mit den Kathetenlängen = 6 cm und = 4cm. (a) Zeichne dieses reieck, so dass die Kathete [] waagrecht liegt. (b) Punkte P n wandern auf der eite [] und Punkte Q n wandern gleichzeitig auf der eite [], wobei P n = Q n = xcm gilt. adurch entstehen Vierecke 25

26 P n Q n. Zeichne für x = 1,5 das Viereck P 1 Q 1 ein. (c) Gib die Menge aller möglichen elegungen von x an. (d) Unter allen Vierecken P n Q n gibt es das Trapez P 2 Q 2. erechne die zugehörige elegung von x. [ Ergebnis: x = 2,4 ] Zeichne dieses Trapez in anderer Farbe ein. erechne den Flächeninhalt dieses Trapezes. Tipp: erechne zunächst den Flächeninhalt des reiecks P 2 Q 2. erechne die Höhe h dieses Trapezes P 2 Q 2. Runde dein Ergebnis auf zwei tellen nach dem Komma. (e) Zeige: Für den Flächeninhalt der Vierecke P n Q n gilt in bhängigkeit von x: (x) = (0,5x 2 3x+12)cm 2. (f) UnterallenViereckenP n Q n gibtesdasviereckp 2 Q 2,dasdenminimalen Flächeninhalt besitzt. erechne dieses Minimum und die zugehörige elegung von x. (g) Untersuche, ob es unter allen Vierecken P n Q n achsensymmetrische gibt. Lösung: (a) M Q 2 Q 1 xcm 4cm xcm P 1 P 2 6cm (b) iehe Zeichnung. (c) uf der Kathete [] kann x nicht länger als 4cm. werden. Für x = 0 und x = 4 gibt es kein Viereck. lso: x ]0; 4[ R. (d) Ein Viereck, darf sich dann Trapez nennen, wenn es zwei parallele eiten besitzt. In der Zeichnung ist das Trapez P 2 Q 2 vorhanden. u siehst, dass die reiecke P 2 Q 2 und dann zueinander ähnlich sind. Wende den Vierstreckensatz an, wobei die Variable x mit eingebunden sein muss: 6 x x = x = 6x 24 = 10x x = 2,4. iehe Zeichnung. 26

27 P2 Q 2 = 0.5 3,6 2,4cm 2 = 4,32cm 2. = cm 2 = 12cm 2. P2 Q 2 = P2 Q 2 = 12cm 2 4,32cm 2 = 7,68cm 2. = cm = 52cm( 7,21cm). P 2 Q 2 = 3,6 2 +2,4 2 = 18,72cm( 4,33cm). P2 Q 2 = 52cm+ 18,72 h = 7,68cm 2 h 1,33cm. 2 (e) (x) = PnQ n = P n Q n (x) = 12cm (6 x) xcm 2 = (12 3x+0,5x 2 )cm 2. lso gilt: (x) = (0,5x 2 3x+12)cm 2. (f) (x) = (0,5x 2 3x+12)cm 2 = 0.5 (x 2 6x )cm 2 = 0.5 [(x 3) 2 +15]cm 2 = [ 0.5 (x 3) 2 +7,5]cm 2. x = 3 liefert min = 7,5cm 2. (g) ie ymmetrieachse müsste entweder durch zwei Eckpunkte des fraglichen Vierecks oder durch zwei seiner eitemittelpunkte verlaufen. er Verlauf durch zwei Eckpunkte ist offensichtlich ausgeschlossen. Im anderen Fall müsste die ymmetrieachse die gemeinsame Mittelsenkrechte zweier Vierecksseiten sein. iese Vierecksseiten müssten dann aber zueinader parallel sein. lso wäre das gesuchte achsensymmetrische Viereck ein gleichschenkliges Trapez. a es aber nur nur ein Trapez, nämlich P 2 Q 2, gibt und P 2 = 2,4cm Q 2 = 1,6cm gilt, gibt es unter allen Vierecken P n Q n kein achsensymmetrisches. 29. as großequadrat hat einen Umfang von 81,6cmund das kleine Quadrat hat einen Umfang von 34 cm. ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. erechne den Flächeninhalt des mittleren Quadrates auf verschiedene Weise: Mit Hilfe der erechnung der eitenlänge des mittleren Quadrates Mit Hilfe der erechnung des Flächeninhalts rechtwinkliger reiecke. Lösung: 27

28 G H R P Q F E Es gilt: = 81,6cm : 4 = 20,4cm und PQ = 34cm : 4 = 8,5cm. ann folgt: QF = PE = (20,4cm 8,5cm) : 2 = 5,95cm. Weiter folgt: PF = 8,5cm+5,95cm = 14,45cm. EFP: EF 2 = EFGH = PF 2 +PE 2 = (14,45cm) 2 +(5,95cm) 2 EFGH = 244,205cm Möglichkeit: EFGH = 4 EF EFGH = (20,4cm) 2 4 0,5 14,45cm 5,95cm = 244,205cm Möglichkeit: EFGH = PQR +4 EFP EFGH = (8,5cm) ,5 14,45cm 5,95cm = 244,205cm 2. Mit Hilfe der erechnung des Flächeninhalts rechtwinkliger reiecke. 30. R Q 2cm P as Viereck ist ein Quadrat. Jede Quadratseite ist in drei bschnitte eingeteilt, die jeweils 2cm lang sind. ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. (a) Zeichne die Figur. (b) egründe: as Viereck P QR besitzt zwei parallele eiten. (c) erechne den Flächeninhalt des Vierecks P QR auf zwei verschiedene rten: Mit Hilfe der erechnung der zugehörigen Formelgleichung Mit Hilfe der erechnung des Flächeninhalts rechtwinkliger reiecke. 28

29 Lösung: (a) R ψ 1 K ψ 2 N Q 2cm (b) as reieck R ist gleichschenklig-rechtwinklig. ψ 1 = 45. ann gilt auch ψ 2 = 45 (Z-Winkel). as reieck PQ ist gleichschenklig-rechtwinklig. ϕ = 45. lso folgt: [PQ] [R]. as Viereck P QR ist ein (achsensymmetrisches) Trapez.. (c) Für die Trapezfläche gilt: PQR = R+PQ 2 P L ϕ KL. ie trecke [R] ist die iagonale eines Quadrates mit der eitenlänge 4cm. lso folgt: R = 4 2cm. [K], [N ] und [P Q] sind jeweils iagonalen eines Quadrates mit der eitenlänge 2cm. lso folgt: K = N = PQ = 2 2cm und L = 2cm. Im Quadrat gilt: = 6 2cm. amit gilt: KL = 6 2cm 2 2cm 2cm = 3 2cm. Und damit gilt: PQR = 4 2cm+2 2cm 2 3 2cm = 18cm 2. as Trapez P QR ist von vier rechtwinkligen reiecken eingeschlossen. Zwei von ihnen sind kongruent. PQR = 2 P R PQ. PQR = 36cm cm cm cm2 = 18cm

30 Q P as Viereck ist ein Quadrat mit der eitenlänge a. (a) Zeichne die Figur für a = 6cm und P = 2,5cm. (b) egründe ohne Messung: ie iagonale [P] ist keine ymmetrieachse im Viereck P Q. (c) egründe: ie beiden reiecke P und Q sind zueinander ähnlich. (d) erechne den nteil der Fläche des Vierecks PQ an der Fläche des Quadrates in Prozent. Runde dein Ergebnis auf zwei tellen nach dem Komma. Lösung: (a) ϕ 1 Q 6cm P ϕ 2 2,5cm (b) ie Kathete im rechtwinkligen reieck P besitzt die Länge a. ie Hypotenuse im rechtwinkligen reieck Q hat ebenfalls die Länge a. Weil aber in jedem rechtwinkligen reieck die Hypotenuse die längste eite darstellt, gilt: Q < a =. omit kann die iagonale P im Viereck P Q nicht ymmetrieachse dieses Vierecks sein. (c) In den beiden rechtwinkligen reiecken Q und P gilt: ϕ 1 = ϕ 2 (Z-Winkel). amit stimmen die beiden reiecke paarweise in zwei Innenwinkelmaßen überein. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 in jedem reieck stimmen diese beiden reiecke in allen drei Innenwinkelmaßen überein. lso gilt: P Q. 30

31 (d) trategie: PQ = ( P + Q ). P = 1 2 2,5 6cm2 = 7,5cm 2. Wegen (c) folgt: Q = k 2 P mit dem treckungsfaktor k. Mit k = P folgt: k = 6cm 2, cm = ( ) 12 2 Q = 7,5cm 2 = ,5cm2. ( PQ = 36cm 2 7,5cm ) 169 7,5cm2 = 36cm ,5cm2 PQ = ,5 = 3707, ,6094 = 60,94%. 32. M b M a α F β Lösung: (a) Im reieck mit der Höhe [F] sind die Punkte M a und M b die Mittelpunkte der Umkreise der Teildreiecke F bzw. F. (a) Zeichne die Figur für = 8cm, α = 65 und β = 40. (b) egründe auf verschiedene Weise: as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen. (c) egründe: Zusammen bedecken die beiden reiecke FM b und FM a die Hälfte des reiecks. 31

32 k 1 k 2 M b M a h 1 h 2 F b F F a (b) 1. Möglichkeit: Im Kreis k 1 gilt: M b = M b F = M b. Im Kreis k 2 gilt: M a = M a F = M a. lso sind im Viereck FM a M b zweimal zwei benachbarte eiten gleich lang. lso handelt es sich um ein achsensymmetrisches rachenviereck. 2. Möglichkeit: In jedem rechtwinkligen reieck fällt dessen Umkreismittelpunkt mit dem Hypotenusenmittelpunkt zusammen. lso sind die Kreismittelpunkte M a und M b gleichzeitig die Mittelpunkte der eiten a = [] bzw. b = []. ie reiecke F und F a M a sind zueinander ähnlich. Wegen = 2 M a folgt dann F = 2 F a M a = 2 F b M b. lso gilt: h 1 = h 2 = F = F. aher liegt die Gerade M a M b zur Grundlinie [] des reiecks parallel. iese Parallele steht damit auf der iagonalen des Vierecks FM a M b senkrecht. Gleichzeitig halbiert der Punkt die Höhe [F] des reiecks. lso ist das Viereck FM a M b ein achsensymmetrischer rachen. (c) ie in der 2. Möglichkeit verwendete rgumentation ergibt nun Folgendes: ie vier reiecke F a M a, FF a M a, FM a und M a sind kongruent. as reieck FM a besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM a halb so groß wie das Teildreieck F. ie vier reiecke F b M b, F b FM b, FM b undm b sindkongruent. as reieck FM b besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM b halb so groß wie das Teildreieck F. lso sind die beiden reiecke FM b und FM a zusammen halb so groß wie das reieck. Oder: Weil der chnittpunkt auf halber Höhe im reieck liegt, gilt: Mb M a = 1 4 (zentrische treckung mit k = 1 2 ). as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen mit der iagonalen [M a M b ] als ymmetrieachse. FMaM b = = 1 2. ann muss der Rest, nämlich derjenige, der aus den beiden reiecken FM b und FM a besteht, ebenfalls die Hälfte des reiecks einnehmen. 32

33 33. F ie beiden Freunde Hans und Michael wollen ein undesligaspiel besuchen. uf ihrem Weg dorthin gelangen sie vor dem tadion an einen rechteckigen Parkplatz. ie befinden sich am Punkt und wollen den Platz diagonal zum Punkt überqueren. Michael entdeckt jedoch einen Kameraden, der am Punkt F steht und läuft erst geradewegs zu ihm. ann begeben sich die beiden direkt zum Punkt, an dem schon Hans wartet. (a) Es soll gelten = 92m, = 69m und F = 60m. Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1 : 1000 an. (b) egründe ohne Messung: Michael muss einen längeren Weg von über F nach zurücklegen als Hans. (c) erechne die treckenlänge, die Michael mehr als Hans zurücklegen muss. Runde auf ganze Meter. Lösung: (a) F (b) Im reieck F gilt die reiecksungleichung: Zwei eitenlängen müssen zusammen mehr ergeben als die Länge der dritten reiecksseite; d.h. hier gilt: F +F >. 33

34 (c) F = 32m. Im reieck F gilt: F = m = 5785m. Im reieck gilt: = m = 115m. Wegunterschied: 5785m 115m 21m. 34