Museumswächter, Bühnenbeleuchtung, Staubsaugerroboter

Transkript

1 Museumswächter, Bühnenbeleuchtung, Staubsaugerroboter Hat das etwas miteinander zu tun? Aufgabenheft Bjarnheiður Kristinsdóttir (Bea) 2017

2 Wer ich bin? Bea aus Island B.Sc. in Mathematik von der Uni Islands Diplom der angewandten Mathematik in Geowissenschaften (Schwerpunkt: Fernerkundung) von der TU Bergakademie Freiberg in Deutschland

3 Stellt euch ein Museum vor... Das Museum hat einen Grundriss in Form eines einfachen in der Ebene liegenden Polygons. Wie viele Überwachungskameras braucht man, um das Museum komplett zu überwachen? Wo sollte man diese positionieren?

4 Diebstahl oder nicht? Es war nicht unsere Absicht zu stehlen. Nur, auf die beklagenswerte Sicherheitsleistung aufmerksam zu machen. Manchester Whitworth Gallery, Großbritannien

5 Es gibt allerlei geformte Museen Guggenheim Museum, Bilbao, Spanien

6 Manch ein Museum ist recht verwinkelt Weisman Museum, Minneapolis, Minnesota, USA

7 Wächter und Kameras überwachen die Kunst Aber wie sollte man diese positionieren?

8 Fragestellung Wie viele Wächter (bzw. Überwachungskameras) braucht man, um ein Museum vollständig zu überwachen; unter der Voraussetzung, dass die Wächter an ihrer Position bleiben, aber sich um jeden Winkel drehen können? Stellen wir die Frage gleich noch mal auf eine mathematische Weise

9 Problem der Museumswächter Gestellt von Victor Klee ( ) im Jahr 1973: Gegeben sei eine polygonale Fläche mit Rand, interpretiert als Grundriss eines Museums. Wähle nun möglichst wenige Punkte 1, 2, n (Wächter) im Inneren des Polygons, sodass jeder Punkt im Inneren des Polygons durch eine Gerade, die ganz in einschließlich Rand liegt, mit einem Wächter verbunden werden kann.

10 Polygonale Fläche? Eine polygonale Kurve Eine überschlagene polygonale Fläche Eine einfache Polygonale Fläche

11 Wir arbeiten mit einfachen Polygonen in der Ebene

12 Zur Definition eines Polygons Ein Polygon ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet und/oder begrenzt wird. Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach. Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180 ) oder konkav (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180 ) sein. Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare, ebene) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

13 Zur Definition eines Polygons Ein Polygon ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet und/oder begrenzt wird. Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach. Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180 ) oder konkav (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180 ) sein. Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

14 Zur Definition eines Polygons Ein Polygon ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet und/oder begrenzt wird. Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach. Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180 ) oder konkav (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180 ) sein. Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

15 Konvex vs. konkav Konvex Konkav Jeder Innenwinkel <180 Einer oder mehrere der Innenwinkel >180

16 Konvex vs. konkav Genügt ein Wächter immer für konvexe Polygone?...für konkave Polygone? Konvex Konkav Jeder Innenwinkel <180 Einer oder mehrere der Innenwinkel >180

17 Konvex vs. konkav Konvex Konkav Ein Wächter genügt immer Ein Wächter genügt nicht immer...aber wann?

18 1. Aufgabe Bestimme für welche Eckenanzahl ein konkaves Polygon immer von einem Wächter komplett überwacht werden kann.

19 1. Aufgabe umformuliert Bestimme für welche Eckenanzahl ein konkaves Polygon immer von einem Wächter komplett überwacht werden kann. Es hilft, einfache Beispiele zur Aufgabe sich anzuschauen und die Aufgabe in kleinere, einfacher machbare Aufgaben aufzuteilen. Zeichne den Grundriss eines konkaven Museums mit n = 4 Ecken. Wie viele Wächter brauchst du im schlimmsten Fall? Was wenn n = 5, n = 6 oder n = 7?

20 Wann gilt ein Ort als überwacht? Ein Wächter an Stelle x überwacht den Ort y wenn das Segment xy nirgendwo die Fläche außerhalb des Polygons durchläuft. Wir möchten die kleinstmögliche Anzahl an Kameras entscheiden, damit das ganze Polygon überwacht ist.

21 Museumsgrundrisse Einfache planare Polygone Konvexe Polygone Konkave Polygone

22 Museumsgrundrisse Einfache planare Polygone Konvexe Polygone ein Wächter reicht Konkave Polygone

23 Museumsgrundrisse Einfache planare Polygone Konvexe Polygone ein Wächter reicht Konkave Polygone wie viele könnten wir da gebrauchen?

24 Aufgaben 4 und 5 a) Entwerfe ein Grundriss eines Museums als Aufgabe für dein Sitznachbar. b) Bestimme die minimale Anzahl an Wächter (bzw. Kameras), die für das Museum, das dein Sitznachbar für dich entworfen hat, benötigt wird.

25 Also einen Grundriss entwerfen...

26 Also einen Grundriss entwerfen in Am besten GeoGebra benutzen (ein Polygon zeichnen), aber natürlich können die ersten Entwürfe mit Bleistift und Papier gemacht werden!

27 ...und das Museum sicher machen mit In GeoGebra kann man z.b. mit Geraden, Schnittpunkten und weiteren Polygonen, die Aufsichtsbereiche jeden Wächters bestimmen.

28 Arbeitsphase I. Ideen entwickeln Aufgaben 1-5 Falls es mit nicht klappt, dann mit der Hand zeichnen (bitte dann aber Lineal oder ähnliches benutzen, damit die Strecken gerade sind).

29 Museum-Grundrisse Einfache planare Polygone Konvexe Polygone ein Wächter reicht n Konkave Polygone 一 3 Wächter reichen für ein Museum mit n Ecken

30 Obere Grenze, aber... Dieses Museum hat 18 Ecken. Die obere Grenze liegt bei 18/3 = 6 Wächter Aber hier genügen immerhin 3 Wächter.

31 Im schlimmsten Fall... Dieses Museum hat 18 Ecken. Die obere Grenze liegt bei 18/3 = 6 Wächter, Und hier ist die Kondition tatsächlich scharf!

32 Satz von Chvátal: eine obere Abschätzung Václav (Vašek) Chvátal hat bewiesen, dass die obere Grenze der Anzahl an n Wächter für ein Polygon mit n Ecken 一 ist. 3

33 Chvátal s Beweis war kompliziert Václav (Vašek) Chvátal hat bewiesen, dass die obere Grenze der Anzahl an n Wächter für ein Polygon mit n Ecken 一 ist. 3 Steve Fisk hat seinen Beweis vereinfacht

34 Das Buch der Beweise Václav (Vašek) Chvátal hat bewiesen, dass die obere Grenze der Anzahl an n Wächter für ein Polygon mit n Ecken 一 ist. 3 Steve Fisk hat seinen Beweis vereinfacht und zwar so schön, dass er im Buch der Beweise erscheint.

35 Paul Erdős Václav (Vašek) Chvátal hat bewiesen, dass die obere Grenze der Anzahl an n Wächter für ein Polygon mit n Ecken 一 ist. 3 Steve Fisk hat seinen Beweis vereinfacht und zwar so schön, dass er im Buch der Beweise erscheint. Ronald Graham USA Paul Erdős Ungarn Fan Chung Taiwan

36 Zum Beweis von Steve Fisk Erster Schritt: Das einfachst-mögliche Museum hat drei Ecken.

37 Zum Beweis von Steve Fisk Erster Schritt: Das einfachst-mögliche Museum hat drei Ecken......und braucht nur einen Wächter in der Nähe eines der drei Ecken

38 Zum Beweis von Steve Fisk Nächster Schritt: Ein Polygon kann trianguliert werden Hier zum Beispiel: Zwei Museen, je trianguliert auf zwei verschiedene Weise

39 Zum Beweis von Steve Fisk Nächster Schritt: Ist das sicher? Jedes Polygon kann trianguliert werden Zwei Museen, je trianguliert auf zwei verschiedene Weise

40 Zum Beweis von Steve Fisk Nächster Schritt: Ist das sicher? Jedes Polygon kann trianguliert werden Das beweisen wir in Aufgabe 23 Zwei Museen, je trianguliert auf zwei verschiedene Weise

41 Zum Beweis von Steve Fisk Wir haben ein trianguliertes Polygon. Die Ecken des Polygons können gefärbt werden sodass jedes Eck eine von drei Farben nimmt und je zwei benachbarte Ecken stets unterschiedliche Farbe haben.

42 Zum Beweis von Steve Fisk Ein Polygon mit n Ecken... Schritt 1...ist triangulierbar......und 3-färbbar Schritt 2

43 Zum Beweis von Steve Fisk Ein Polygon mit n Ecken......ist triangulierbar... Schritt 1...und 3-färbbar Schritt 2 Beweis in Aufgabe 23 Beweis in Aufgabe 24

44 Zum Beweis von Steve Fisk Ein Polygon mit n Ecken... Schritt 1...ist triangulierbar......und 3-färbbar Schritt 2 Setze die Wächter nah zu den Ecken in der Farbe, die am seltensten vorkommt. n Die Anzahl dieser Ecken wird kleiner oder gleich 一 3 sein.

45 Zum Beweis von Steve Fisk Ein Polygon mit n Ecken... Schritt 1...ist triangulierbar......und 3-färbbar Schritt 2 Setze die Wächter bei den Ecken in der Farbe, die am seltensten vorkommt. n Die Anzahl dieser Ecken wird kleiner oder gleich 一 3 sein. Beweis in Aufgabe 18

46 Funktioniert das in konvexen Polygonen? Gut, besser, am Besten

47 Aufwärmung und Gruppenarbeit Teil II. um Ideen zu stabilisieren Teil III. um neue Ideen zu entwickeln Hier bitte unbedingt, die Aufgabe 18. machen Teil IV. erhält weitere Herausforderungen, die teilweise in Gruppenarbeit gemacht werden sollten.

48 Definitionen und ein Satz zum Teil IV. Definition. Sei P ein einfaches Polygon. Eine Diagonale ist ein offenes Liniensegment, das zwei Eckpunkte von P verbindet und vollständig in P liegt. Definition. Sei P ein einfaches Polygon. Eine Zerlegung von P in Dreiecke durch Diagonalen heißt Triangulierung von P. Da wir Triangulierungen bestimmen wollen, ist es günstig ihre Existenz zu zeigen und zu berechnen aus wievielen Dreiecken sie besteht. Satz. Jedes einfache Polygon gestattet eine Triangulierung und jede Triangulierung eines einfachen Polygons mit n Ecken besteht aus genau n 2 Dreiecken.

49 Allgemeine (starke) Induktion Es sei eine Aussage A zu beweisen, die von der natürlichen Zahl n abhängt, also A(n). 1. Induktionsverankerung/Induktionsanfang: Zu zeigen ist, dass A(n0) gilt. 2. Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Aussage A(k) für alle k {n0,..., n} gilt. Zu zeigen ist, dass auch A(n + 1) richtig ist.

50 Hier gibt es viel mehr zu beachten als nur die ganze Fläche mit Licht zu fluten. Illustrationen: Herbert Bernstädt Bühnenbeleuchtung

51 Staubsaugerroboter Bedeckungsproblem Ameisenalgorithmus (bug algorithm) In der einfachsten Form wurde das Problem schon von Bauern gelöst: Bedeckende Spannbaum-Algorithmen (spanning tree covering) Evolutionäre Algorithmen (stochastische metaheuristische Optimierungsverfahren) Künstliche Intelligenz

52 Überwachungstechniken in Museen Vibrationssensoren Inventarnummer Haken zum Aufhängen Glaskasten Umwelt-Sensoren Riegelzäune Bewegungssensoren mit Alarm Bewegungssensoren ohne Alarm Überwachungskameras Brandmeldeanlage und Temperaturmessgeräte Alarmfenster Museumswächter

53 Neue Ideen Was wenn das Polygon Löcher hat? Was wenn es sich um ein Gefängnis handelt und wir es von außen beobachten müssen? Was wenn jeder Wächter sich stets entlang einer Wand bewegt und dabei von jedem Punkt der Wand aus sich umschauen kann? Was passiert in drei Dimensionen?

54 Vielen Dank für die Zusammenarbeit! TAKK!

55 Literatur Aigner & Ziegler (2010). Das Buch der Beweise. Springer Verlag. Burger & Starbird (2010). The Heart of Mathematics: An invitation to effective thinking. Wiley & Sons. Seminarmanuskripte (im Internet abrufbar) zum Thema Art Gallery Problem bzw. Museumswächter von Washington University, Universität Münster, TU München und HU Berlin.