Lösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg)

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Tristan Bösch
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1 Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Analysis I.1. a) D f = IR / { 1 } f x= = K besiz keine Nullsellen 1x f ' x= 8 1x = 8 K besiz keine Exremsellen senkreche Asymoe : x= 1 waagereche Asymoe : y= b) x= f ' a x a f a= 8 1a x a 1a = 8 1a a 1a = a a= ; a 1 = 1 is keine Lsg. a = X B = ; f =Y B = 1 B / 1 Normale i n B : n 1 x= x 1 ; Normale i n P : n x= x n 1 1 = 1 ; n 1 = 5 für die Punke A 1 / 1 y ; y 5 erschein die Srecke BP uner einem rechen Winkel c) x=x Q / z z 1x 4 4 dx = = [ [ 1x ] 1z 4 ] A z= z

2 d) Definiionsgemäß gil : cosh x= 1 ex e x Keenlinie und deshalb cosh[ g x ] = 1 e g x e g x = 1 hx hx= cosh[ gx] h' x= g' x sinh [ g x ] h ' ' x = g ' x cosh[ g x ] g ' ' x sinh[ g x ] Da g ' x für x g sreng monoon seigend für x und g =1; muss gx für x sein Wegen sinh x für x is auch sinh [g x] für g x für x Weil g ' x für x is ; muss dann auch h' x = sinh[ g x] g ' x für x sein Somi is h sreng monoon seigend Eine Funkion is i n einem Inervall umkehrbar, wenn sie i n diesem Inervall sreng monoonis. h is für x umkehrbar Für Wendepunk gil : g' ' x 1 = und g' x 1 =1 und somi : h ' ' x 1 = 1 cosh [g x 1 ] sinh [ g x 1 ] = cosh[ g x 1 ] Wenn h ' ' x 1 = cosh [g x 1 ] = is, lieg ein Wendepunk vor. Da cosh x 1 für alle x is ; kann h ' ' x 1 aber nie werden ; somi is h ' ' x h besiz ander Selle x 1 =1 keinenwendepunk

3 Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Analysis I.. a) f x = e x 4 e x = ; e x e x = 4 x= ln 4 Schnipunk x Achse : N ln 4 / f ' x = e x e x ; f ' ' x= 4 e x 1 e x ; f ' ' ' x= 4 e x 1 e x f ' x = ; e x ; e x = x= ln ; f ' ' ln =8 1 = 8 Hochpunk f ln = 4 =4 ; Hochpunk H ln / 4 f ' ' x= ; 4 e x ; 1 e x = x= ; f ' ' ' = 4 Wendepunk f = 4 1= ; Wendepunk W / lim [ f x] = x lim [ f x] = x waagereche Asympoe y= b) S/ ; f ' = ; x= x ; n x= 1 Schnipunk mi x Achse x= x 1 = A / Schnipunk mi x Achse n x= x =6 B 6 / a = x 1 x = 1 6 = L E h a = L E A D ' = = 4 6= = 6 4 = 1 4 = 1 A D = 1 a h a = 1 FE Das Dreieck bezieh mi = 1 den geringsen Flächeninhal mi A D 1 = 9 FE A,5 / ; B,5 / ; S / A,5 S = =18 L E ; B,5 S = =18 L E A,5 S = B,5 S = 18 L E ; A D 1 is gleichschenklig

4 c) k ; ln 4 A 1 = k f xdx = [ 4ex ex ]k ln 4 = 8 4ek ek FE lim A 1 = 8 4 ek k ek = 8 FE Schnipunke f x= e x 4e x = ; Subsiuion u=e x u 1, = u 1 =1 ; u = Rücksub. x 1 = ; x = ln ln A = f x dx = [ 4ex ex x ]k ln 4 = 4 ln FE = 4 ln 7 u 4u= FE A : lim A 1 = k 4 ln 7 : 8 4 ln 7 = 8 = 4 ln 7 : 8 Somi schneide y= K i m Verhälniss 1:11,61 und unabhängig von d) 1 g x= e x 4 e x = e x D g= IR / x = ln 4 4 e x f x=g x f x=1 e x 4 e x =1 / ; subs : e x =r r 4 r= 1 Gleichung I : r 4r1= ; r 1, = ; r 1= ; r = Gleichung II : r 4r 1= ; r, 4 = ; r = 5 ; r 4 =5 resubs : e x 1 =r 1 = ; e x =r = ; e x r = 5 ; e x 4 =r 4 =5 K und C besizen gemeinsame Punke: ln x 1 = ; x = ln ; x 4 = ln5 uxis keinegerade! ux=x n a ; a ; n R ; n gerade ; n v x= 1 x n a = xn a 1 u' x v' x= n xn 1 ; u ' x= n x n 1 ; v' x= 1 x n a n x n 1 = n xn 1 x n a x n a ; x n a ; n x n 1 Somi is u' x v ' x = n xn 1 x n a

5 Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Analysis I. a) Zähler 1 x x 1 Nenner x x D : 1 x f =ln 1 = ln1 ln = ln Schnipunk mi y Achse : S y / ln f x==e ln 1 x e ln x =e x= 1 ; Nullselle: N 1 / f x=ln1 x ln x ; f ' x= 1 1x 1 x ; f ' ' x= 1 x 1 1x f ' x== 1 1x 1 x x1x=1,da f besiz keine Exrema f ' ' x== 1 x 1 1x = x x= 1 1x Nullselle is auchwendepunk : W 1 / Wegen der Definiionsmenge D exisierendie senkrechen Asympoen: x 1 = 1, x = b) Wenn die Seigung ander Selle x= 1 genau 1 wird, haben die Achsenschnipunke der Tangene muss nich besimm werden,den gleichen Berag der Länge und das Dreieck wird gleichschenklig. f ' 1 1 = 4 1 = 1 = ; Für = wird das Dreieck gleichschenklig. f 6 x=ln 1x ln6 x Wenn N 5 / Symmeriepunk is gil f 6 5 x = f 6 5 x f 6 5 x = f 6 5 x ln 1 5 x ln 6 5 x = [ ln 1 5 x ln 6 5 ] x ln 7 x ln 7 x = [ ln 7 x ln 7 ] x ln 7 x ln 7 x = ln 7 x ln 7 x = f 6 xis punkymmerisch zum Punk N 5 /

6 c) Bei der Berechnung ohne GTR hilf die Beziehung : u' x ln [ ux ] dx = ux ln[ u x ] ux ln 1x dx =1x ln 1x 1x=1x ln1 x x 1 ln 6 x dx=6 x ln 6 x 6 x=6 x ln6 xx 6 f 6 x dx = ln 1x dx ln 6 x = 1 x ln1 x 6 x ln6 x x5 5 f 6 x dx = [1 x ln 1x 6 x ln 6 x x] 5 = 7ln 7 6ln 6 FE A = 7ln 7 6 ln6 FE FE d) seze: yx=ln x ; y m x=m x ; f m x = ln x m x Tangene durch/ an y x: y ' x= 1 x =m y mx= m x = 1 x x=1 yx und y m x haben soviele gemeinsame Punke, wie f m x = lnx m x Nullsellenbesiz. f m x = ln x 1= x=e Berührpuk is B e/1 m= 1 e für m 1 e ergeben sich genau gemeinsame Punke für m = 1 e ergib sich genau1 gemeinsamer Punk B e/1 für m 1 e ergib sich kein gemeinsamer Punk für m ergib sich genau 1 gemeinsamer Punk,da sich keine Tangene mi negaiver Seigung an y xlegen läss m= 1 1 e,da e ergeben sich demnach genau gemeinsame Punke. Beweis mi Nullsellensaz : f 1= ln1 1 1 = 1 VZ : f e= lne 1 e = 1 e ; da e VZ : f e = lne 1 e = e ;da e 6 VZ : Da f x=lnx 1 x einvzw von und einenvzw von aufweis besiz f x=ln x 1 x genau Nullsellen und somi : besizen y x= ln x und y 1 x = 1 x genau gemeinsame Punke

7 Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Geomerie II.1. a) PQ= ; PQ= = 8 L E QR= ; QR= = 8 L E RS= ; RS = = 8 L E PQ = QR = RS = 8 L E E : x= 4 u n E = ; E : x y z 6= Punkprobe P i n E : = 6 6= Somi liegen P, Q, R und S i n einer Ebene = n 1 1 = E 1 ; v 1 ; = 1 1 α = cos 1 1 = 54,76º b) OT = OP RS = 4 = 4 T 4 / / OU = OT QR = 4 = 4 U / / 4 = g : x w g E : x= mi r= i n O / / MS = = 1 L E ; Dreieck : A D = 1 a a = 4 a Sechseck : A S =6 A D = 6 4 a = = 1 Pyramide: V P = 1 G h = 1 1 1= 4 6 V P = 4 VE c) M k w / w / w ; Absand M K zu E : r 1 = Absand M K zu einer Seienfläche : r = w 1 =w w w w 6 = w

8 es folg : r 1 =r ; w = w ; negaivesvz da Koordinaen von M k kleiner sein müssen w 1= w= 1 = = 1 = 1 1 Radius: r = w = 1 = = = r =1 6 K : x y z 6 1= Ein Punk auf der x Achse isq c // M k Q=1 c 1 1 M k Q=c c 51 Minimum bei c=1 Der Punk Q 1 / / auf der x Achse besiz den kürzesen Absand zur Kugel Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Geomerie II.. a) E : x= u 9 1 r 4 n 8 = E 4 ; E : 4x y 1= = n 4 E ; = n E 1 1 cos= = =cos 1 11 = 4,8º 15 Spurpunke E 1 : S 1 // ; S /6/ ; S / / E 1 : U 1 // ; U /4/ 4x y 1 = ; seze x=u y=1 4u ; y=4 4 u x y z 6 = z=6 u 4 4 u= u ; z=1 1 u Schnigerade : s : x = 4 1 u 4 1

9 b) Kugelmielpunk : M 1//6 ; Radius: r= L E Absand M zu E 1 : l 1 = = 6 9 = L E =r K berühr E 1 Absand M zu E : l = = = L E =r K berühr E Logerade zu E durch Mielpunk : k : x= k E mi = 5 Berührpunk is T 5 / 16 5 / 6 W : x= 4 1 u 4 1 r 1 5 n W = 11 7 ; W : 11x 7y 5z = 5 W enhäl die Schnigerade sund M, E 1 ; E und W sind zu s. Da E 1 und E von M den gleichen Absand besizen mussw Symmerieebene von E 1 und E sein c) Kugelschar besiz M und is zu s: j : x = v Da W Symmerieebene is, muss M auch auf W liegen. Die Gerade i seh auf E = und geh durch Punk B. i : x 6 4 p 4 ; 1 i W mi p= 1 i n M / 7 / 1 BM = =4 =5 r =5 L E l= M M v = 1v 4v7 6 v 1 = 6v 78v16 Minimumberechen: für v=1,5 ergib sich der geringse Absand mi l=67,5 8, wenn gil : l rr kollidier die Kugel K nich mi Kugel K. 67,5 L E L E 5 L E 8, L E 7 L E ander engsen Selle der Kugeln wäre noch1, Freiraum Somi kollidier die rollende Kugel K nich mi der befesigen Kugel K

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