Die Welt der natürlichen Zahlen

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2 Die Welt der natürlichen Zahlen Variablen 1.1 Diese drei Säcke enthalten Kugeln; es ist nicht bekannt, wie viele Kugeln sich im Sack A befinden. A u B 2 u C u 3 a Aus den Termen auf den Etiketten kannst du etwas ablesen über die Anzahl Kugeln in den Säcken B und C; beschreibe: B C b Nimm an, im Sack A habe es 13 Kugeln. Dann kannst du berechnen, wie viele Kugeln sich im Sack B, im Sack C und in allen Säcken zusammen befinden. Trage deine Resultate in der ersten Zeile der Tabelle ein. Jede Zeile beschreibt eine neue Situation: Trage jeweils die fehlenden Kugelanzahlen ein. c Hier sind die Terme für die Anzahl Kugeln in den drei Säcken bildlich dargestellt: A B C total u 2 u u 3 16 Skizziere ein Bild für die Totalzahl aller Kugeln und notiere eine entsprechende Formel. 14 d Fülle die Tabelle rechts mit den richtigen Kugelanzahlen aus. Welches ist die minimale Anzahl Kugeln im Sack A? Beschreibe die Zahlen, die für den Sack B in Frage kommen. Begründe, warum die Totalzahl aller Kugeln in den drei Säcken sicher nicht z. B. 45, 30 oder 104 sein kann. Was für Zahlen kommen in Frage? Beschreibe sie. A B C total

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4 1.2 a Beschreibe die Anzahl Kugeln mit einem passenden Term: A x B? Im Sack B hat es 7 Kugeln mehr als im Sack A. Im Sack B hat es doppelt so viele Kugeln wie im Sack A. Im Sack B hat es 1 Kugel mehr als die dreifache Zahl der Kugeln wie im Sack A. Im Sack B hat es 3 Kugeln weniger als die vierfache Zahl der Kugeln wie im Sack A. Im Sack B hat es halb so viele Kugeln wie im Sack A. b Im Sack A hat es k Kugeln. Beschreibe je mit einem Term, wie viele Kugeln es in den anderen Säcken hat. k??? A B C D k c Finde einen Term für die Gesamtzahl aller Kugeln in den Säcken der Aufgabe b. Wie viele Kugeln sind im Sack A, wenn sich total 68 Kugeln in den Säcken befinden? Formuliere drei weitere solche Fragen und gib sie jemanden aus deiner Klasse zum Lösen. 1.3 Diese vier Säcke enthalten Kugeln. Die Anzahl steht auf den Etiketten. u 3 u 3 u 1 A B C D a Im Sack D hat es 2 Kugeln mehr als im Sack B. Trage die Formel auf der Etikette ein. b Vervollständige folgende Beschreibungen: Im Sack hat es 3-mal so viele Kugeln wie im Sack. Im Sack hat es 3 Kugeln mehr als im Sack. Im Sack hat es 1 Kugel mehr als im Sack C. Im Sack C hat es Kugeln als im Sack D. 61

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6 2.1 a Jemand telefoniert immer mit der gleichen Telefongesellschaft. Berechne die Anrufkosten und trage sie in der Tabelle ein. Grundgebühr pro Anruf (in Rp.) Minutengebühr (in Rp.) Gesprächsdauer in Minuten Anrufkosten (in Rp.) b Ordne die folgenden Rechnungen den richtigen Spalten zu: Ziehe Verbindungslinien von den Nummern zu den Spalten c In der Aufgabe a ist die Gesprächsdauer veränderlich, also variabel; nimm für sie die Variable t und notiere in Aufgabe b unter jeder Rechnung 1, 2 3, 4 und 5 eine Formel. d Setze in t eine bestimmte Zahl ein und rechne damit jeden der fünf Terme aus. Begründe, warum es eigentlich nicht drauf an kommt, welche der fünf Terme man nimmt. 2.2 a Wenn du die Angebote verschiedener Telefongesellschaften vergleichen willst, könnte eine Tabelle z. B. so aussehen: Gesellschaft A B C D Grundgebühr pro Anruf (in Rp.) Minutengebühr (in Rp.) Gesprächsdauer in Minuten Anrufkosten (in Rp.) Berechne die Anrufkosten und trage sie in der Tabelle ein. Welches Angebot ist für ein 5-Minuten-Gespräch das beste? b Grundgebühr und Minutengebühr sind verschieden, also variabel. Nimm für die Grundgebühr die Variable g und für die Minutengebühr die Variable m. Die Anrufkosten für 5 min setzen sich also so zusammen: Grundgebühr + Minutengebühr Stelle einen Term auf, mit dem du die Anrufkosten für verschiedene Angebote berechnen kannst. g + + Minutengebühr Minutengebühr c Setze im Term von Aufgabe b in g die Zahl 22 und in m + Minutengebühr die Zahl 35 ein. Rechne aus. Beschreibe dieses Angebot kurz: + Minutengebühr Die Wörter «Grundgebühr», «Minutengebühr» und m «5-Minuten-Gespräch» solltest du dabei benützen. 63

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8 2.3 Dies ist die Preistabelle der Vereinigten Bergbahnen AG: Tarife einfache Fahrt Retourfahrt Erwachsene Fr. 8. Fr. 15. Kinder bis 12 Jahre Fr. 5. Fr. 9. keine Ermässigung auf Halbtax und GA a Wie viel kostet ein Ausflug (immer einfache Fahrt) einer Familie mit 2 Erwachsenen und 2 Kindern, einer Familie mit 2 Erwachsenen und 3 Kindern, einer Wandergruppe mit 6 erwachsenen Personen, einer 3. Primarschulklasse mit Lehrerin, 2 Begleitpersonen und 25 Kindern? Erstelle eine übersichtliche Tabelle, in der du dann auch deine Resultate eintragen kannst. b In einer Gruppe reisen k Kinder und e Erwachsene. Wie lautet ein Term, mit dem der Preis für eine einfache Fahrt der ganzen Gruppe berechnet werden kann? c Und wie lautet der Term, falls die Gruppe Retour-Billette löst? 3.1 Du kennst diese Aufgabe aus dem Themenbuch. a b Man kann diese Aufgabe ganz verschieden angehen und lösen. In den Aufgaben a bis e kannst du unterschiedliche Wege kennen lernen. a Maja setzt Zahlen in die Variablen a und b ein und versucht so, 100 zu erreichen. Sie startet zuerst mit a = 14 und b = 30 Dann probiert sie es mit a = 14 und b = 10 Danach wählt sie a = 14 und b = 15 und fährt weiter, wie du es in der Tabelle siehst. Berechne für Majas Versuche die Zahl im letzten Feld. a b 3. Feld 4. Feld letztes Feld Beschreibe, wie Maja vorgeht, um eine Lösung zu finden. 65

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10 b Auch Jérôme setzt Zahlen für a und b ein. Er startet mit a = 10, b = 18 Dann probiert er a = 30, b = 18 Danach: a = 20, b = 18 Untersuche das Vorgehen von Jérôme wie bei a) und führe es weiter, bis du zu einer Lösung gelangst. Worin besteht der Unterschied zum Vorgehen von Maja? a b 3. Feld 4. Feld letztes Feld c Céline setzt für a und b folgende Zahlen ein und berechnet die Zahl im letzten Feld: a = 17, b = 16 a = 18, b = 16 a = 19, b = 16 a = 20, b = 16 Wie verändert Céline die Startzahlen und wie wirkt sich das auf die Zahl im letzten Feld aus? Verändere die Startzahlen so, dass du direkt mit einem nächsten Versuch im letzten Feld 100 erreichst. a b 3. Feld 4. Feld letztes Feld

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12 d Jonas setzt Zeile für Zeile Zahlen für a und b ein, wie du es in der Tabelle siehst. Berechne jeweils die Zahl im letzten Feld. Worin besteht der Unterschied zwischen dem Vorgehen von Jonas und jenem von Céline? a b 3. Feld 4. Feld letztes Feld e Der Term 2 a + 3 b beschreibt, wie oft die beiden Variablen a und b im letzten Feld enthalten sind. Anja arbeitet mit dieser Formel. Sie setzt in die Variablen a und b Zahlen ein und rechnet aus. Sie hat bereits die Lösung a = 35 und b = 10 gefunden. Überprüfe ihre Lösung. Anja überlegt sich eine weitere Lösung: «Wenn ich für a nun 38 statt 35 einsetze, so wird im letzten Feld 106 herauskommen, nämlich 2 3 = 6 mehr als vorher. Wenn ich aber für b statt 10 die Zahl» Führe Anjas Überlegung weiter und finde auf diese Art möglichst viele weitere Lösungen. a b 3. Feld 4. Feld letztes Feld

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14 f Vergleiche die Lösungsvorgehen in a bis e. Welchen Weg hast du im Themenbuch gewählt? Hast du, haben deine Klassenkameraden oder -kameradinnen einen anderen Weg benützt? g Für Tüftlerinnen und Tüftler: Wie viele verschiedene Paare von Zahlen für a und b kannst du finden, um im letzten Feld 100 zu erhalten? Welches ist die kleinste Zahl a, mit der du 100 erreichen kannst? Welche Zahl b musst du dann ins Feld b eintragen? Welches ist die grösste, mögliche Zahl a und wie lautet dann die Zahl b? Hast du dir noch andere Fragen gestellt in diesem Zusammenhang? Welche? 4.1 a Welcher Text passt zu diesem Term: 28 : 7? Kreuze an! Eine Firma verpackt 28 Pakete mit je sieben Fussbällen. Wie viele Bälle wurden insgesamt verpackt? Die Grossmutter verteilt 28 Äpfel gerecht an ihre 7 Enkelkinder. Wie viele Äpfel bekommt jedes Enkelkind? Ein Musikstück dauert genau 7 Minuten und wird von 28 Musikern gleichzeitig gespielt. Wie lange spielt jeder Musiker? Der Monat Februar hat in Nicht-Schaltjahren 28 Tage. Wie viele Wochen sind das? Eine Rechnung muss innert 4 Wochen bezahlt werden. Diese Frist ist aber bereits seit 7 Tagen abgelaufen. Nach wie vielen Tagen wird die Rechnung also endlich bezahlt? b Wenn du kein Kreuz gemacht hast, so schreibe den passenden, richtigen Term dazu. 71

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16 4.2 Welcher Term rechts passt zu welchem Text links? Ziehe Verbindungslinien. Beachte: Ein Term passt zu zwei Texten. a Eine Schulklasse mit 25 Kindern macht einen Ausflug. Von jedem Kind werden 9 Franken eingesammelt. b Peter denkt sich eine Zahl, dividiert diese durch 25 und erhält 9. An welche Zahl hat er gedacht? c Die Fahrt in den Zoo kostet für 25 Kinder 225 Franken. Wie viel muss jedes Kind bezahlen? d Die Wendeltreppe eines Aussichtsturms hat 225 Stufen. Von der Plattform geht es nochmals 25 Stufe höher zur TV-Antenne.Wie viele Stufen hat der Turm insgesamt? e 25 Kartons mit je 9 Eiern fielen auf den Boden. Insgesamt 25 Eier zerbrachen. Wie viele blieben ganz? : Je ein Term von rechts passt zu einem Problem links. Zeichne Verbindungslinien ein. Problem a Der Eintrittspreis für Kinder beträgt b Franken, für Erwachsene a Franken; 3 Erwachsene und 2 Kinder kaufen Tickets für die Vorstellung des Zirkus. b Im Einkaufskorb liegen a Schokoladen zu Fr. 3. und b Brötchen zu Fr. 2. Du bezahlst mit einer 50-Franken-Note. Wie viel Herausgeld erhältst du? c An einer Ausstellung kaufst du 3 CDs, die normalerweise je a Franken kosten würden. Für die Ausstellungsbesucherinnen und -besucher wurde der Preis aber um b Franken gesenkt. d Zieht man von der Hälfte von 100 zweimal die Zahl b ab und zählt dreimal die Zahl a hinzu, so erhält man die gesuchte Zahl. Term 50 (3a + 2b) 3a + 3b 50 2b + 3a 3a 3b 73

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18 4.4 Notiere entsprechende Terme. Die Variablen a und b stehen für beliebige Zahlen. Wie lautet dann der Term für a die Summe der beiden Zahlen? b die Differenz «a minus dritte Potenz von b»? c das Produkt aus a und der Zahl, die um 1 grösser ist als b? d den Quotienten «Zahl a durch fünfte Potenz von b»? 4.5 Welcher Term passt zu welchem Satz? Zeichne Verbindungslinien ein: 3 b + 1 a a + 2 b 2 a (a + b) + 2 das Doppelte der Summe von a und b plus 2 1 mehr als das Doppelte von a die Summe gebildet aus «drei mal b», aus a und aus 3 «drei mal a» addiert zum Doppelten von b 75