Simplex-Verfahren. Kapitel 4. Simplex-Verfahren. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

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1 Kapitel 4 Simplex-Verfahren Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

2 Inhalt Inhalt 4 Simplex-Verfahren Dualer Simplexalgorithmus Vermeidung von Zyklen Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

3 Grundideen Der Simplexalgorithmus ist das Standardverfahren zur Lösung von linearen Programmen von George Bernard Dantzig in den 4ern des 2 Jahrhunderts entwickelt Vorgehen: versuche ausgehend von einer Startecke mit einer Ausgangsbasis durch Basisaustausch zu einer Ecke mit besserem Zielfunktionswert fortzuschreiten Da es nur endlich viele Ecken gibt, erhälten wir nach endlich vielen Schritten die optimale Lösung Der Basistausch geschieht dabei so sparsam wie möglich: Es wird stets genau eine Basisvariable gegen eine Nichtbasisvariable ausgetauscht Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

4 Fazit zu Grundideen Konstruktion einer Folge (x (r) ) von Basislösungen mit c T x (r+) c T x (r) und Abbruch, wenn keine Verbesserung mehr möglich ist Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

5 Beispiel für ein Simplextableau Beispiel 4 Wir bleiben beim Problem des Eisverkäufers (Beispiel 4) und ordnen die Daten in einem Simplextableau an: x x 2 x x 4 x 5 z b x x x 5 9 z 25 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 9 / 298

6 Fortsetzung Beispiel 4 Die Strukturvariablen x, x 2 sind NBV, dieschlupfvariablen x, x 4, x 5 sind BV Die Werte der BV ergeben sich aus den Nebenbedingungsgleichungen, die durch die Zeilen des Tableaus repräsentiert werden Hierdurch ist eine Ecke gegeben Für den Zielfunktionswert z = c T x wird eine neue Variable z eingeführt und die Gleichung c T x + z =wirdwieeinezusätzliche Nebenbedingung aufgefasst Wir betrachten also eigentlich das Problem: max z udn Ax = b c T x + z = x Letzte Zeile ist Zielfunktionszeile, aufgefasst als Nebenbedingung Der Zielfunktionswert z steht ganz rechts Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 9 / 298

7 Beispiel für einen Basiswechsel Beispiel 42 Im Tableau von Beispiel 4 verspricht x den größeren Zuwachs, x -Spalte ist daher die Pivotspalte x kann höchstens den Wert /5 =6annehmen,x 4 würde dann x 4 -Zeile ist daher die Pivotzeile Wir nehmen x in die Basis auf, dafür wird x 4 aus der Basis herausgenommen Dies ist der Basisaustausch Pivotspalte und Pivotzeile schneiden sich im Pivotelement, hiera 2 = 5 Wir teilen die Pivotzeile durch das Pivotelement Damit entsteht x x x 4 =6 2 Aus dieser Gleichung folgt x =6 übrigen Gleichungen ein 5 x 2 5 x 4Diessetzenwirinalle Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

8 Fortsetzung Beispiel 42 Für die erste Zeile erhalten wir 6 2 ergibt 5 x 2 + x 5 x 4 = 4 5 x 2 5 x 4 + x 2 + x = Dies Die dritte Zeile bleibt unverändert, da x dort nicht auftritt Die Zielfunktionszeile wird zu (6 2 x 2 +6x 4 + z = 8 5 x 2 Jetzt können wir das neue Tableau aufstellen: x x 2 x x 4 x 5 z b x x x 5 9 z x 4) 25x 2 + z =, also Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 9 / 298

9 Fortsetzung Beispiel 42 Durch Vertauschen der Spalten für x und x 4 können wir das Tableau wieder in die übliche Form bringen: Die zugehörige Ecke ist x 4 x 2 x x x 5 z b x x x 5 9 z C A Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

10 Fortsetzung Beispiel 42 Der nächste Austauschschritt liefert das Tableau: Das heißt in der Ecke angenommen x 2 x x 5 z 5 x 4 x x 2 x x 5 b i C A wird das Optimum mit z = 8 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

11 Fazit für Beispiel 42 Wir dividieren also die Pivotzeile durch den Pivotwert Zu den übrigen Zeilen addieren wir ein Vielfaches der Pivotzeile, so dass in der Pivotspalte Nullen entstehen (analog zum Gaußalgorithmus) optionale Spaltenvertauschung, um wieder die reine kanonische Form zu erlangen Aus der Spalte b und den Basisvariablen ergibt sich die Ecke Solange in der Zielfunktionszeile Koe ezienten < auftreten,ist eine Verbesserung möglich Der Algorithmus terminiert, wenn in der Zielfunktionszeile alle Koe zienten sind Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

12 Kanonische Form Dieses Vorgehen funktioniert in der gezeigten Weise nur, wenn zu Beginn ein kanonisches Maximumproblem vorliegt, dh ein Problem der Form max c T x udn Ax apple b, x und zusätzlich b gilt Fur dieses kanonische Maximumproblem erhalten wir mit Hilfe von m Schlupfvariablen ein Problem in kanonischer Normalform Die erste Basislösung ist dann durch die Schlupfvariablen bestimmt (siehe Beispiel 4) Wegen b istdiesebasislösung zulässig und stellt damit eine Ecke (die Startecke) dar Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

13 Starttableau für kanonisches Maximumproblem BV x x n x n+ x n+m z b x n+ a, a,n b x n+m a m, a m,n b m z c c n Definition 4 Für b heißt solch ein Tableau primal zulässig Bemerkung: Da sich die Spalte z nie ändert, können wir auf diese Spalte im Tableau auch verzichten Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

14 Algorithmus 44 Es liege ein kanonisches Maximumproblem (b ) vormitn Variablen und m Nebenbedingungen, alson Struktur- und m Schlupfvariablen in Normalform Start: Ecke des Starttableaus ist: x x n x n+ x n+m = C B b b m mit z = Schlupfvariablen sind BV, Strukturvariablen sind NBV C A Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

15 Fortsetzung Algorithmus 44 Starttableau: x x t x n x n+ x n+s x n+m b i x n+ a n+, a n+,t a n+,n b x s a s, a s,n x n+m a n+m, a n+m,t a n+m,n b m z c c t c n Von hier ab stehen Indices nicht für eine Spalten- oder Zeilennummer, sondern für den Variablenindex in der entsprechenden Spalte- bzw Zeile des Simplextableaus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 2 / 298

16 Fortsetzung Algorithmus 44 Wahl der Pivotspalte: Ist die Zielfunktionszeile von der Gestalt z d d t d n d mit d j, (j =,,n), so liegt eine Optimallösung vor Andernfalls machen wir eine Spalte t mit negativem d t zur Pivotspalte und die NBV x t zur BV Wahl der Pivotzeile: Sind in der Pivotspalte alle a i,t apple, so wächst z unbeschränkt, da x t unbeschränkt wachsen kann Es gibt dann keine Optimallösung Andernfalls bestimmen wir eine Zeile s durch b s = m b i min für a i,t > i= a i,t Die NBV x t wird BV und bekommt den Wert bs Die bisherige BV x s wird NBV und nimmt den Wert an Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 2 / 298

17 Fortsetzung Algorithmus 44 Austauschschritt: Das neue Tableau lautet: Linke Hälfte: x x t x n x a, a,t a s, a,n a,t a s,n a x s, a t s,n x m a m, a m,t a s, a m,n a m,t a s,n z d d t a s, d n d t a s,n Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

18 Fortsetzung Algorithmus 44 Rechte Hälfte: x n+ x s x n+m b i a,t b b s a,t a m,t b s b m b s d t d a m,t b s d t Terminierung: Wenn alle Koe zienten der Zielfunktionszeile nichtnegative Werte haben, beschreibt das Tableau eine optimale Ecke Rechts unten steht dann z Andernfalls vertauschen wir die Spalten, so dass das Tableau wieder kanonische Form annimmt Wir beginnen nun wieder von vorne Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 2 / 298

19 Eigenschaften des primalen Simplexalgorithmus Satz 45 Das r-te Tableau beim Simplexalgorithmus sei primal zulässig Wählen wir die Pivotspalte und die Pivotzeile gemäß Algorithmus 44, so ist das (r + )-te Tableau wieder primal zulässig, und es gilt z (r+) z (r) Beweis Wir müssen b (r+) l für apple l apple m zeigen Nach Algorithmus 44 ist dies für die Pivotzeile s erfüllt, denn es gilt b (r+) s = b(r) s und > Wir brauchen uns also nur noch die Zeilen l 6= s anzuschauen Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

20 Fortsetzung Beweis zu Satz 45 Für l 6= s gilt b (r+) l = b (r) l b (r) s a l,t Hierbei bezeichnet t den Index der Pivotspalte Für a l,t apple folgt b (r+) l b (r) l Wir müssen also nur noch den Fall a l,t > betrachten Hier gilt nach der Regel zur Wahl der Pivotzeile b (r) l a l,t b s ) b (r) l b s a l,t ) b (r+) l = b (r) l b (r) s a l,t Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

21 Fortsetzung Beweis zu Satz 45 Wegen d (r) t apple, b (r) s und > folgt außerdem z (r+) = z (r) b (r) s d (r) t z (r) Bemerkung: Der Austauschschritt im primalen Simplexalgorithmus wird als primaler Austauschschritt bezeichnet Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

22 Beispiel zum primalen Simplexalgorithmus Beispiel 46 In einem Betrieb sind drei Maschinen vorhanden, die für die Herstellung zweier Produkte benötigt werden Bei der Produktion müssen die Produkte auf mehreren Maschinen bearbeitet werden, wobei die folgenden Bearbeitungszeiten anfallen: Maschine Maschine 2 Maschine Produkt A 4 24 Produkt B Die tägliche Maschinenlaufzeit beträgt 48 Minuten Der Ertrag pro Einheit beträgt e für Produkt A und 4 e für Produkt B Welche Anzahl der Produkte ist täglich zu fertigen, so dass der Ertrag maximal wird? Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

23 Fortsetzung Beispiel 46 Mathematische Modellierung: x produzierte Menge von Produkt A produzierte Menge von Produkt B x 2 LP: Maximiere z = F (x, x 2 ) = x + 4x 2 unter den Nebenbedingungen 4x + 24x 2 apple 48 24x + 48x 2 apple 48 6x 2 apple 48 x, x 2 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

24 Fortsetzung Beispiel 46 Starttableau: x x 2 x x 4 x 5 z b x x x z 4 2 Tableau: x x 2 x x 4 x 5 z b x 4 2/5 288 x /5 96 x 2 /6 8 z 2/ 2 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

25 Fortsetzung Beispiel 46 Tableau: Also ist eine optimale Lösung x x 2 x x 4 x 5 z b x 5/ 4/5 28 x /24 / 4 x 2 /6 8 z 5/2 / 6 x = C A Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 2 / 298

26 Opportunitätskosten und Schattenpreise Das Endtableau von Beispiel 46 entspricht dem LGS: x 5 x x 5 = 28 x + 24 x 4 x 5 = 4 x x 5 = 8 Aufgelöst nach den Basisvariablen entsteht 5 2 x 4 + x 5 +z = 6 x = x x 5 x = 4 24 x 4 + x 5 x 2 = 8 6 x 5 z = x 4 x 5 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 2 / 298

27 Maschine 2 (x 4 = ) und Maschine (x 5 = ) sind voll ausgelastet, dagegen steht Maschine pro Tag x = 28 Minuten still Der Gewinn würde sich um 5 2 e bzw e pro Maschinenminute bei Maschine 2 bzw verringern, bzw um 5 2 e bzw e erhöhen, wenn eine Maschinenminute mehr zur Verfügung stehen würde Diese Werte nennen wir Opportunitätskosten bzw Schattenpreise Sie entsprechen dem entgangenen Gewinn durch die nicht mehr verfügbare Kapazität bzw den Preisen, die der Hersteller bereit wäre, für eine Maschinenminute von Maschine 2 bzw zu zahlen Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298