Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium

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1 Algebr-Trining Theorie & Aufgben Serie Bruchrechnen Theorie: Kthrin Lpdul Aufgben: Bernhrd Mrugg VSGYM / Volksschule Gymnsium

2 Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung mcht den Meister» gilt weiterhin! Insbesondere bei den in dieser Serie vorkommenden Aufgben rund ums Berechnen von Brüchen und Umformen von Bruchtermen. Die Erfhrung zeigt, dss viele Schülerinnen und Schüler hier besonders intensives Trining nötig hben. Deshlb ist diese Serie uch länger usgefllen ls die ersten beiden Serien und zum Schluss findest du zwei Schlusstests. Wir freuen uns, dich bld m Gymnsium begrüssen zu dürfen. Technische Hinweise Diese Aufgbenserie verteilen wir ls PDF n unsere Benutzer. Sie ist so gestltet, dss sie sinnvollerweise ls Broschüre uf A-Ppier gedruckt wird. Wir bitten lle Benutzer dieser Serien, uns uf Fehler ufmerksm zu mchen und uch llfällige Änderungs- und Verbesserungswünsche uns mitzuteilen, m einfchsten per E-Mil n: Auflge,. Mi 0 Kntonsschule Zürich Nord, Fchschft Mthemtik Autoren: Ronld Blestr, Kthrin Lpdul, Bernhrd Mrugg, Meinrd Schuwecker Koordintion: Kthrin Steiner Stz: Frnz Piehler Begutchtung: Christoph Brndun SEKZH), Mrkus Huber Kntonsschule Stdelhofen, LKM) Quellenngbe: Einige Aufgben stmmen us Wlter Hohl: Arithmetik und Algebr + Lehrmittelverlg des Kntons Zürich,

3 Theorie Grundbegriffe Ein Bruch knn geschrieben werden ls wobei und b gnze Zhlen sind, ber b nicht Null sein b dr. heisst «Zähler» und b «Nenner». Flls der Wert eines Bruchs negtiv ist, schreibt mn ds Vorzeichen üblicherweise vor den Bruch, ber ds Vorzeichen knn uch beim Zähler oder beim Nenner stehen. = =. Flls der Wert des Bruches zwischen und liegt, nennt mn ihn einen «echten Bruch». Echte Brüche erkennt mn drn, dss der Zähler ohne Vorzeichen kleiner ist ls der Nenner ohne Vorzeichen.,,. Flls der Zähler ohne Vorzeichen grösser ist ls der Nenner ohne Vorzeichen, dnn spricht mn von einem «unechten Bruch».,,, Flls irgendwo gemischte Zhlen vorkommen, sollten diese sofort in unechte Brüche verwndelt werden. = + = + = Ein Bruchterm ist ein Bruch, der Vriblen enthält. = + ) = b, x x x Kürzen Ein Bruch/Bruchterm knn gekürzt werden, indem der Zähler und der Nenner durch den gleichen Fktor geteilt werden. Beim Kürzen verändert sich der Wert des Bruches nicht. Ergebnisse sollen in der Regel vollständig gekürzt ngegeben werden. Achtung: Bei Produkten im Zähler oder Nenner wird nur ein Fktor gekürzt: = oder = Serie Bruchrechnen Seite

4 Wenn im Zähler und Nenner ein Produkt steht, ist es einfcher, zuerst zu kürzen und erst m Schluss die verbleibenden Fktoren im Zähler und Nenner zu multiplizieren: = = ist einfcher ls = = «Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen»: Um eine Differenz oder Summe kürzen zu können, muss diese in ein Produkt verwndelt werden, indem mit Hilfe des Distributivgesetzes ein Fktor usgeklmmert wird. x = x ) = x = ) ) = = Erweitern Ein Bruch knn erweitert werden, indem der Zähler und der Nenner mit dem gleichen Fktor multipliziert werden. Beim Erweitern verändert sich der Wert des Bruches nicht. Brüche gleichnmig mchen Brüche werden gleichnmig gemcht, indem mn sie so erweitert, dss sie den gleichen Nenner hben. Dieser Nenner ist mit Vorteil ds kgv der ursprünglichen Nenner. Rechenregeln Die Rechenregeln für die Opertionen. bis. Stufe gelten uch für Brüche und Bruchterme. Hier wird nur noch ds zusätzlich zu den ersten beiden Theorieteilen benötigte Wissen erwähnt. Opertionen. Stufe Um Brüche ddieren oder subtrhieren zu können, müssen diese gleichnmig sein. Die Zähler werden ddiert oder subtrhiert, während der Nenner gleich bleibt. b + c d = d bd + bc d + bc = bd bd b c d = d bd bc d bc = bd bd Opertionen. Stufe Um Brüche zu multiplizieren oder zu dividieren, sollen diese NICHT gleichnmig gemcht werden. Es ist zwr nicht flsch, mcht ber die Rechnungen komplizierter ls nötig.) Multipliktion «Zähler ml Zähler durch Nenner ml Nenner». b c d = c b d Seite Bruchrechnen Serie

5 Division «Division ist Multipliktion mit dem Kehrwert». b : c d = b d c = d b c Opertionen. Stufe Zähler und Nenner werden einzeln potenziert, bzw. mn drf einzeln die Wurzel ziehen. b ) n = n b n und b = b Bemerkung Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klmmer. b b + c b + = = b c b b b Serie Bruchrechnen Seite

6 Aufgben Du solltest lle Aufgben ohne Tschenrechner lösen. Zur Kontrolle drfst du ihn jedoch benutzen. Am Schluss der Übungsserie findest du einen Schlusstest. Bestimme lle gnzen Zhlen, die folgende Bedingung erfüllen: einer Zhl ist. Eine Zhl ist gleich einer Zhl ist. Eine Zhl ist gleich von. von. Eine Zhl ist gleich von 0. einer Zhl ist 0. x steht für eine gesuchte ntürliche Zhl. Bestimme diese. von ist gleich x. von x ist gleich. von ist gleich x. x von x ist gleich. x von ist gleich. von ist gleich. x von ist gleich. x von ist gleich von. Von den Nüssen eines Hufens nimmt Fritz und Krl des Restes weg. Es verbleiben für Ernst noch Stück. Wie viele Nüsse wren nfänglich vorhnden? Über die für eine Vierpässefhrt benötigte Zeit weiss mn ds Folgende: Für die Fhrt über den. Pss brucht mn der Zeit für die Fhrt über den. Pss. Für die Fhrt über den. Pss brucht mn Std. Min. Für die Fhrt über den. Pss brucht mn der Zeit für die Fhrt über den. Pss. Für die Fhrt über den. Pss brucht mn der Zeit für die Fhrt über den. Pss. Wie lnge duert die gnze Fhrt? Seite Bruchrechnen Serie

7 Diese Brüche können durch Kürzen vereinfcht werden. Dzu musst du im Zähler und Nenner usklmmern siehe Bsp. uf Seite ). b z z x y x y + b + b b b xyz + y z x + y r r + k h h k Schreibe ls Ergebnis einen einzigen Bruch. p + p z + z z x x + x m + m m d d x x + m 0 x y x p p + z ) m 0 x + m 0 x x + z + ) ) ) ) y y z + 0 m z + m x x + y ) + y x ) ) ) 0 ) ) ) ) 0 ) ) + ) ) + ) + ) 0 ) ) ) ) + Serie Bruchrechnen Seite

8 x y p p x y s s c s s + b + b c x b b m + mn x z xy mn n y + x x y + e + e + ef b b b b bc + 0 x x x b + b : : : : : : ) : ) : ) : ) ) : ) : 0 0 : 0 : 0 0 : 0 : + ) ) ) : + : ) : ) : + ) ) : Schreibe ls Ergebnis einen einzigen Bruch. p : x + y m + rx : + r + + : x) x) x y x x y : xy + b x y) : b x + y) : x y x + y xy + : xz + 0 m + s) s + m) : [m + s)] Seite Bruchrechnen Serie

9 Ergebnisse 0. Pss: h Min.. Pss:. Pss:. Pss: 0 von Min. = Min. von Min. = 0 Min. von 0 Min. = Min. Zeit für gnze Fhrt: Min. + Min. + 0 Min. + Min. = h Min b z z b yz p z x 0 m d x m x y m x y z x p 0z x + z 0 m 0z y x Serie Bruchrechnen Seite

10 0 p s s c c x b ym m + n) xzn m n) 0 e b c 0 bx m px + y) r x + x) y + b x y x + y y z Seite 0 Bruchrechnen Serie

11 Schlusstests Zeit: je Minuten) Test ) einer Zhl ist 0. j) b ) b x y m) x x x y x x ) : x + ) x x ) k) Eine Zhl ist gleich l) von 0. n) + + o) ) x + ) ) p) : q) b r) von x ist gleich von. s) x y) y x y x) x y) t) x x + x u) y Test ) x y ) y) x x ) : x) j) m) x y xy + xy x + ) e f ) : x x + ) e f ef von ist gleich x k) n) b : x y + x 0y l) o) 0 x ) z z + b + + b b + von. p) f : e f q) ) r) b bc 0 bc b s) b c b : b c t) e f e + f Serie Bruchrechnen Seite

12 Ergebnisse Schlusstests Test j) m) b x + y x x x k) l) 0 n) p) b q) 0 r) s) y x) x y t) x o) u) x y Test x x xy + y) x y e x = x b j) f k) l) 0x + 0 m) x n) o) + b + f p) q) e r) b 0 s) bc t) e f Seite Bruchrechnen Serie

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