IIR-Filter. Prof. Dr. C. Clemen. y(n) x(n) IIR-Filter. t Xd(f) Yd(f) Hd(f) f f A. f A /2
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- Carin Keller
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1 Fachhochschule ugsburg Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme.8.3 IIR-Filer achricheüberragugsechik.8.3 IIR-Filer ei Verweug vo rekursive Mehoe ur erechug es geilere usgagssigals aus em Eigagssigal läß sich ie Recheei weselich reuiere. Durch ie abei eigeühre Rückkoluge ka es eoch bei ugeeigeer Dimesioierug u eiem ubegree uschaukel es usgagssigals komme: as Filer wir isabil. Durch ie Eiührug vo Rückkoluge ergib sich eie Überragugsukio, ie ga ählich wie ie aaloger Syseme augebau is, allerigs mi olgeem weseliche Uerschie: Da as Sysem iskre is, reich as asisba-sekrum es Eigags- u usgagssigal ur bis ur halbe basreque u wieerhol sich a erioisch mi er basreque. Die Überragugsukio, als Quoie aus em Sekrum es usgagssigals um Sekrum es Eigassigals is somi auch eie erioische Fukio i er basreque. Es gib verschieee Mehoe ur Filerewicklug uer iese Umsäe. Dabei muß er Perioiiä er Überragugsukio Rechug gerage were. Eie Mehoe ur Eerug ieser Perioiiä is.. ie Verweug er -rasormaio. Wir behael hier ie Mehoe er iliear-rasormaio. Dabei wir urch eie Frequerasormaio as asisbarequeiervall es abgeasee Sigals vo bis / au as Frequeiervall vo bis abgebile. Daurch verschwie bei er rasormiere Überragugsukio ie Perioiiä. u ie rasormiere Überragugsukio lasse sich somi ie besrochee, ür aaloge Filer übliche Ewicklugsverahre awee koveioelle Filerheorie u urch Rückrasormaio au as iskree Filer überrage. IIR-Filer y X Y / / iliearrasormaio Frequerasormaio aaloge Filerheorie awebar g WS 99/ -8-3 Seie 43
2 achricheüberragugsechik Fachhochschule ugsburg.8.3 IIR-Filer Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme Die Mehoe wir a eiem Filer weier Orug erläuer. Filer höherer als weier Orug lasse sich urch Kaskaierug vo Filer weier u erser Orug aubaue. Filer weier Orug - - Geakee Seicher Schieberegiser Mulilikaore FIR-Filer. Orug y Summierer Σ Rückkoluge rekursiver eil y- y- Durch Umeiche erhäl ma ie olgee Form: Σ Σ y WS 99/ -8-3
3 Fachhochschule ugsburg achricheüberragugsechik Fachbereich Elekroechik.8.3 IIR-Filer Pro. Dr. C. Cleme WS 99/ -8-3 Seie 45 Durch Eiühre eier Zwischevariable köe wir ie Sysemgleichuge auselle Summaio er Sigale a e beie Summierer: y Übergag i e Frequebereich urch iskree Fourierrasormaio F..D. s s S s θ θ rible Frequeva ormiere basreq ue ie mi er au a u uer weug es Verschiebugssaes S s s s θ θ θ θ a X Y Daraus ergib sich ie Überragugsukio X Y e Da - eie mi / erioische Fukio is, is - ebealls eie mi / erioische Fukio. Übergags ur Lalace-rasormaio: Vorausseug : Für alle Sigale wir georer, aß: s ür < X Y e σ a.8-8 em.: I er Regelechik wir ur eseiigug er Perioiiä er komlee Eoeialukio ie - rasormaio eigeühr -θ
4 achricheüberragugsechik Fachhochschule ugsburg.8.3 IIR-Filer Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme WS 99/ : Überragu gsukio - ie sich Dami ergib X Y e a
5 Fachhochschule ugsburg achricheüberragugsechik Fachbereich Elekroechik.8.3 IIR-Filer Pro. Dr. C. Cleme WS 99/ -8-3 Seie 47 Frequerasormaio u iliearrasormaio: Die Fukio y a bile umkehrbar, eieieuig as Iervall { / } i as Iervall { } ab. Durch geeigee Skalierug er chse ie ma somi eie Fukio, ie as Frequeiervall { / } i as Iervall { } abbile: y u y mi, a a.8-9 us er Frequerasormaio läß sich ie ami verbuee rasormaio er ilvariable ableie: : gele, ür alle es aber auch muß a,, somi ür gil cos si a a σ σ Umkehrug:.8- /
6 achricheüberragugsechik Fachhochschule ugsburg.8.3 IIR-Filer Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme WS 99/ sog. iliearrasormaio Durch Eisee er iliearrasormaio i ie Überragugsukio es iskree Filers ergib sich eie Überragugsukio i er Variable, ie eie raioale Fukio i is Quoie aus wei Polyome weie Graes i. Für e erag ieser rasormiere Überragugsukio köe ie übliche Filer-roimaiosukioe essel, Poe, schebysche,.. vorgegebe were. Zur esimmug er Filerkoeiiee is er umgekehre Weg eiacher: Ma gib ie rasormiere Ziel-Überragugsukio vor u rasormier iese i ie Überragugsukio es abgeasee Sysems. Für ieaß mi besimme Koeiiee a u b olg: g g g g b a b a bp ap P ach Umormug au aueer brige olg ie Überragugsukio es igiale Filers : mi e Koeiiee:, :,, : bw aw bw bw aw W g.8- Das Verahre soll a eiige eisiele erläuer were. Zur Durchührug vo erechuge u ur grahische Darsellug er Ergebisse, beiee wir us wieer MahCa.
7 Fachhochschule ugsburg Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme.8.3 IIR-Filer achricheüberragugsechik eisiele:. Ma ewickle ür ei abgeasees Sysem mi 36,9 k eie IIR-ieaß mi er iliear-rasormaio uer Zugruelegug er uerworh Charakerisik. Es sei verlag, aß a D 3 ür < g k u a > a s 5 ür > s 5 k. Lösug mi MahCa. Die mi er Frequerasormaio rasormiere Variable were mi eiem Ie gekeeiche g 3.. s 5 3. g. s a. g a. s g. 3 s s s Ω s s g a s. log. Ω s Ω s a b a s 9.8 Ω,....3 Ω a.. Ω. b. Ω a Ω. log Ω Dämug / a Ω 4 6. W. g Ω rasormiere Freque/ W.77 a. W b. W b. W. a. W b. W Ω g Ω.,... α.. g WS 99/ -8-3 Seie 49
8 achricheüberragugsechik Fachhochschule ugsburg.8.3 IIR-Filer Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme Ω.. α. Ω... α. Ω... α. Ω... α. Ω a Ω. log Ω a Ω. log Ω.. α. Ω... α. Ω φ Ω arg... α. Ω... α. Ω τ Ω Ω φ Ω Dämug / a Ω 4 Gruelauei /sec τ Ω Ω Freque/ Ω Freque / Phase φ Ω 4. Ω Freque/. Ma ewickle ür ei abgeasees Sysem mi 48 k eie IIR-ieaß mi er iliear- rasormaio uer Zugruelegug er schebysche Charakerisik. Es sei verlag, aß a < a D.5 ür < g k u a > a s 5 ür > s 4 k. Zur Ermilug er Pole er Überragugsukio es aaloge Reereilers verwee ma ie Formel aus Ka Lösug: g 3.. s 4 3 a D.5 a s 5. g a. g g.7 4 s. s a. s s.99 4 s 5 WS 99/ -8-3
9 Fachhochschule ugsburg Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme.8.3 IIR-Filer achricheüberragugsechik s Ω s Ω s.698 g uwaabschäug mi Diagramm aus Saal [3], hag. Reeliosakor im D ρma 5 % ----> aρ 4.8 as aρ 3 bei / Ωs / > 4. Orug Ergebis läß sich mi e Formel aus 9.3. veriiiere: a D ε ε.578 a. s log ε Ω. s 8 Ω s a s 8.3 Ω.,.... a Ω. log ε Ω. 8 Ω a Ω 4. Ω esimmug er Pole er Überragugsukio mi e Formel aus 9.3. : P ν Σ ν Ω ν v. 4 4 arsih ε v 4.39 Σ. si 8 sih v 4 Σ.8 Ω. cos 8 cosh v 4 Ω.974 Σ si sih v 4 Σ.3 Ω cos 8 8. Σ 3 si sih v 4 Σ 3.3 Ω 3 cos 8 8. Σ 4 si sih v 4 Σ 4.8 Ω 4 cos 8 8. γ Σ Ω γ Σ Ω P γ. γ P... Σ P γ P.. Σ P γ Ω γ. γ. Ω... Σ. Ω γ. Ω.. Σ. Ω γ a Ω. log Ω cosh v 4 Ω.44 cosh v 4 Ω 3.44 cosh v 4 Ω WS 99/ -8-3 Seie 5
10 achricheüberragugsechik Fachhochschule ugsburg.8.3 IIR-Filer Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme a Ω 4. Ω Koeiiee es Reereilers:. Σ a b γ γ. Σ a b γ γ erechug er Koeiiee es igiale Filers: W W. g. g W.33 W.33 a. W b. W 3.4 a. W b. W b. W b W.4. a. W b. W.777. a. W b. W.46, e.... e e.... e e.... e e.... e. 4.. a. log. 5 WS 99/ -8-3
11 Fachhochschule ugsburg Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme.8.3 IIR-Filer achricheüberragugsechik 5 Dämug / a 5 Freque/ k φ arg. 5 Phase φ 5 τ.. φ Freque/ k Gruelauei /sec τ.. 3 Freque / k WS 99/ -8-3 Seie 53
12 achricheüberragugsechik Fachhochschule ugsburg.8.3 IIR-Filer Fachbereich Elekroechik Pro. Dr. C. Cleme Lieraurvereichis Meike,.; Gulach, F. ; Lage, K.: aschebuch er ochrequeechik. : Komoee Sriger, 99 Ulbrich, G : ewerkaalyse, ewerksyhese u Leiugsheorie euber Suieskrie, Saal, R. : abuch um Filerewur ühig, orowi, P; ill, W. : he r o Elecroics, Cambrige Uiv. Pr., Va e Ee,. / Verhoecks,.: Digiale Sigalverarbeiug Vieweg, 99 6 iee, U.; Schek, C. : albleier-schalugsechik, Sriger, Wageheim, Lu vo: kive Filer i RC- u SC-echik, Grulage erechugsverahre u Schalugsechik, ühig, WS 99/ -8-3
= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
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