Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat. allgemein: ein Vektorraum mit, heisst 'Unterraum' von. ist ein Unterraum von V.

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1 L2.3 Basis und Dimension Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat Formaler: was ist die 'Dimension' von Sei Definition: 'Span' 'lineare Hülle' = alle möglichen Linearkombination der Vektoren span(s) ist selbst ein Vektorraum (warum?!) allgemein: ein Vektorraum mit, heisst 'Unterraum' von ist ein Unterraum von V. 'ist eine Teilmenge von, oder ist gleich' 'ist eine Teilmenge von, und nicht gleich' : 'echter Unterraum' von Beispiele v. Unterräumen: Allgemeine Frage: unter welchen Umständen ist

2 Definition: lineare Unabhängigkeit (dient der Verallgemeinerung des Begriffs einer Basis) Die Menge der Vektoren heißt 'linear unabhängig', falls es nicht möglich ist, eine nicht-triviale Linearkombination zu finden die Null liefert. M.a.W: falls aus folgt dass Umgekehrt: S ist 'linear abhängig', falls sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben lässt: In Skizze: linear unabhängig linear abhängig geometrische Anschauung Beispiel: linear abhängig Aber: Nur möglich falls linear unabhängig Analog gilt auch:

3 Falls S linear abhängig ist, enthält S 'redundante' Vektoren. Span ändert sich nicht, wenn linear abhängige Vektoren weggelassen werden: Falls (Intuitiv: der Vektor die nicht schon in bringt keine Richtung ein, enthalten ist) gilt: (z.b. auf Seite L2.3b) Empfehlung: Redundanzen vermeiden, immer mit linear unabhängigen Vektoren arbeiten! Definition: Vollständigkeit heisst 'vollständig', falls d.h. jeder Vektor in V lässt sich als Linearkombination v. Vektoren in S schreiben. vollständig linear unabhängig

4 Definition: Basis Falls bildet S eine 'Basis' für V. (i) vollständig und (ii) linear unabhängig ist, Die Anzahl Elemente der Basis heisst die 'Dimension' v. V Konsequenzen: (i): jeder Vektor lässt sich schreiben als linearkombination der Form: (ii): diese Linearkombination ist eindeutig ('unique') wäre sie nicht eindeutig, d.h., gäbe es auch eine andere Linearkombination für würde gelten: im Widerspruch zur Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit v. S Einsteinsche Summenkonvention (ES) Summenzeichen verkürzt Formeln! Summationsgrenzen sind ohnehin immer dieselben, lasse sie weg! ES: wenn ein 'Paar von Wiederholten Indizes' auf derselben Seite der Gleichung vorkommt, ist implizit auch eine Summe über diesen Index gemeint! Über i wird summiert (wiederholtes Indexpaar auf derselben Seite der Gleichung) Über j wird nicht summiert: j kommt auf jeder Seite der Gleichung nur einmal vor!

5 Man kann zeigen: - alle Basen bestehen aus gleich vielen Vektoren - alle Basen lassen sich durch einander ausdrücken ("Basistransformation") Seien und zwei Basen für V Dann lässt sich jeder Vektor als linearkombination von Vektoren schreiben: Sei Gesucht: Relation zwischen Beispiel: n = 2 umstellen Allgemein Herleitung mittels ES: umstellen Endergebnis: 'Koordinatentransformation'

6 Beispiel einer Basistransformation in n=2 Aufgabe: finde explizite Formeln für die Koeffizienten und überprüfe die Gl. (L2.3h.6) Annahme: Standardbasis in position i Standardbasis: mit Basisvektoren Kompakte Notation für j-komponente v. wobei: falls falls 'Kronecker-delta' Entwicklung eines allgemeinen Vektors nach Standardbasis:

7 Bezug zwischen n-dimensionalem Vektorraum V und sei eine Basis für V Entwicklung eines allgemeinen Vektors in dieser Basis: Die Basis definiert eine bijektive Abbildung, die jeden Vektor auf seinen Koordinatenvektor in abbildet: deutet an, dass die Abbildung sich auf die -Basis position i Basisvektoren in V werden auf Einheitsvektoren in abgebildet: Die Abbildung Skalarmultiplikation: 'respektiert' die Regeln der Vektoraddition und Erst addieren, dann abbilden = erst abbilden, dann addieren! Beispiel für n=2: Linearkombination in V Linearkombination in Erst multiplizieren, dann abbilden = erst abbilden, dann multiplizieren!

8 Homomorphismus, Isomorphismus A und B seien zwei Mengen, die beide mit Verknüpfnungsregeln ausgestattet sind (hier: und ) Eine Abbildung die diese Regeln 'respektiert', hier: heisst "Homomorphismus". Falls sie außerdem bijektiv ist: "Isomorphismus" 'homo' = 'gleich', 'morph' = 'Form' (4b.1) & (4b.2) bedeuten: ist ein Isomorphismus zwischen und und sind 'isomorph': (sehr starke Identifizierung!) [aber nicht eindeutig, da Basis-abhängig] Beispiel einer Abbildung, die bijektiv ist, aber kein Isomorphismus: denn