Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1

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1 Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1

2 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen, also ein Element aus R n Wir schreiben die Komponenten eines Vektors in eine Spalte: v = v 1 v 2 v n (Manchmal benutzen wir die platzsparende Schreibweise v = (v 1, v 2,, v n ) T, wobei das T andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektor meinen) 132 Denition: Rechnen mit Vektoren v 1 w 1 v 1 + w 1 Mit v =, w = und α R ist v + w = und v n αv 1 α v = αv n w n v n + w n Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 115 / 1

3 Vektoren Wir beschränken uns in den kommenden Betrachtungen auf R 2 und R 3, obwohl alles auch im Höherdimensionalen und allgemeineren Situationen richtig bleibt v 2 v 1 2 v 0 w v + w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 116 / 1

4 Vektoren 133 Satz: Rechenregeln für Vektoren Es seien u, v und w Vektoren und α und β seien reelle Zahlen, dann gilt: 1 v + w = w + v 2 u + ( v + w) = ( u + v) + w 3 Es gibt einen Nullvektor 0 mit v + 0 = 0 + v = v 4 Zu v gibt es einen Vektor v mit v + ( v) = 0 5 α (β v) = (αβ) v 6 1 v = v 7 (α + β) v = α v + β v 8 α ( v + w) = α v + α w Bemerkung zu 3: nämlich 0 := (0, 0,, 0) T Bemerkung zu 4: nämlich v := ( 1) v = ( v 1,, v n ) T Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 117 / 1

5 Vektoren 134 Denition: Linearkombination Es seien v 1,, v n Elemente des Vektorraums V Eine Summe der Form α 1 v 1 + α 2 v α n v n heiÿt Linearkombination und die Zahlen α j R heiÿen Koezienten der Linearkombination ) ( 6 Beispiele: Der Vektor 4 R 3 ist eine Linearkombination der Vektoren 2 ( ) ( ) ( ) , 1 und 0 mit Koezienten 6, 4 und 2, ) ) ) ( 1 und eine Linearkombination der Vektoren 1 0 Koezienten 4, 0 und 2, ( und ( mit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 118 / 1

6 Vektoren 135 Denition: Linear abhängig Die Vektoren v 1,, v n des Vektorraums V heiÿen linear abhängig, wenn es Zahlen α 1,, α n R gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber die Linearkombination α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 ist Sie heiÿen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind 136 Bemerkung Die Vektoren v 1, v n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 (als Gleichung für die Zahlen α 1,, α n ) nur die Lösung α 1 = = α n = 0 hat Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 119 / 1

7 Vektoren 137 Beispiele Die Vektoren u = 2, v = 6, w = 1 R 3 sind linear abhängig, denn es gilt 4 u + ( 1) v + ( 2) w = 0 ( ) ( ) Die Vektoren v =, w = R sind linear unabhängig, denn { } α+ 2β = 0 α v + β w = 0 ist gleichbedeutend mit dem LGS und 2α+ β = 0 dies hat die eindeutige Lösung α = β = 0 (vgl das Kapitel über LGS) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 120 / 1

8 Vektoren 138 Bemerkung 1 v V ist genau dann linear abhängig, wenn v = 0 2 Die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren v, w R 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) v und w liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, und b) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen 3 Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren u, v, w R 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) u, v und w liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, und b) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination der anderen beiden Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 121 / 1

9 Vektoren 139 Weitere wichtige Begrie und Bemerkungen 1 Das Erzeugnis (oder Spann) der Vektoren v 1,, v k V ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren (Das ist auch für eine beliebige Menge von Vektoren erklärt) 2 Lässt sich jedes Element von V eindeutig(!) als Linearkombination der Vektoren v 1,, v k V darstellen, dann nennt man { v 1,, v k } eine Basis von V 3 Die Elemente einer Basis sind linear unabhängig Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 122 / 1

10 Vektoren 139 [cont] Speziell für das Rechnen im R n heiÿt das 4 n Vektoren des R n sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine Basis bilden 5 Die Standardbasis des R n besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren e 1 = , e 2 = ,, e n = Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 123 / 1

11 Skalar- und Vektorprodukt Kapitel 14 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 124 / 1

12 Skalar- und Vektorprodukt 141 Denition: Skalarprodukt, Norm und Winkel Das Skalarprodukt zweier Vektoren v, w R n ist deniert durch v w := v 1 w 1 + v 2 w v n w n Die Norm (oder der Betrag) eines Vektors ist deniert durch v := v v = v v v2 n Der Winkel ψ [0, π] zwischen zwei Vektoren v, w R n, beide nicht der Nullvektor, ist deniert durch cos ψ = v w v w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 1

13 Skalar- und Vektorprodukt Das Winkel wird über das Skalarprodukt so deniert, dass er mit dem ebenen Winkel im R 2 übereinstimmt Hilfsmittel ist der Kosinussatz: c a α b a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 126 / 1

14 Skalar- und Vektorprodukt 142 Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm 1 v w = w v 2 v (α w + β u ) = α( v w) + β( v u ) 3 Für v 0 ist 1 v v = 1 4 v w = 0 genau dann, wenn v und w senkrecht aufeinander stehen ( ) ( ) b a 5 Der Vektor steht senkrecht auf dem Vektor a b 6 v 0 7 v = 0 genau dann, wenn v = 0 8 α v = α v Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 127 / 1

15 Skalar- und Vektorprodukt 143 Satz: Dreiecksungleichung Für Vektoren v und w gilt v + w v + w und v w v w, sowie damit dann v w v u + u w 144 Satz: Parallelogrammgleichung Für Vektoren v und w gilt v + w 2 + v w 2 = 2 v w 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 128 / 1

16 Skalar- und Vektorprodukt Im Fall des R 3 gibt es noch ein Produkt zwischen Vektoren, dass als Ergebnis wieder einen Vektor liefert 145 Denition: Kreuzprodukt Es seien v = v 1 v 2 v 3, w = w 1 w 2 w 3 Vektorprodukt) v w deniert durch R 3 Dann ist das Kreuzprodukt (oder v 2 w 3 v 3 w 2 v w := v 3 w 1 v 1 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 129 / 1

17 Skalar- und Vektorprodukt 146 Satz: Eigenschaften des Kreuzproduktes 1 v w = w v 2 v ( α w + β u ) = α( v w) + β( v u ) 3 Ist α der Winkel zwischen v und w so ist v w = v w sin α 4 v w = 0 genau dann, wenn v und w linear abhängig sind 5 ( v w) v = ( v w) w = 0 Dh v w steht sowohl senkrecht auf v als auch auf w 6 v w entspricht dem Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms 7 v, w und v w bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 130 / 1

18 Skalar- und Vektorprodukt v w Mittelnger Rechte-Hand- Regel v Daumen w Zeigenger Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 131 / 1

19 Skalar- und Vektorprodukt Eine Kombination des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes im R 3 liefert ein weiteres geometrisch relevantes Produkt: 147 Denition: Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren u, v, w R 3 ist deniert durch s( u, v, w) = u ( v w) ie folgenden Eigenschaften des Spatproduktes sind direkte Konsequenzen aus denen der beiden beteiligten Produkte: 148 Folgerung: Eigenschaften des Spatproduktes 1 Das Spatprodukt ist total schiefsymmetrisch, dh s( u, v, w) = s( w, u, v) = s( v, w, u) = s( v, u, w) = s( u, w, v) = s( w, v, u) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 132 / 1

20 Skalar- und Vektorprodukt 148 Denition: Spatprodukt[cont] 2 Der Betrag des Spatproduktes s( u, v, w), entspricht dem Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds u v w v u Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 133 / 1

21 Skalar- und Vektorprodukt Bemerkung: Man kann das Spatprodukt der Vektoren u = u 2, u 3 v 1 w 1 v = v 2 und w = w 2 mit Hilfe der Sarrus-Regel berechnen v 3 w 3 u 1 u 1 v 1 w 1 u 1 v 1 u 2 v 2 w 2 u 2 v 2 u 3 v 3 w 3 + u 3 + v 3 + Es ist nämlich s ( u, v, w) = u 1 v 2 w 3 + v 1 w 2 u 3 + w 1 u 2 v 3 u 3 v 2 w 1 v 3 w 2 u 1 w 3 u 2 v 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 134 / 1

22 Geraden und Ebenen Kapitel 15 Geraden und Ebenen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 135 / 1

23 Geraden und Ebenen 151 Denition: Gerade und Ebene Es seien v, w R 3 linear unabhängige Vektoren und a ein weiterer Vektor Eine Gerade g ist eine Menge der Form g = { x = a + t v t R} Eine Ebene E ist eine Menge der Form E = { x = a + t v + s w t, s R} Dabei heiÿen a Aufpunktvektor und v bzw v, w Richtungsvektoren der Geraden bzw Ebene Diese Darstellungen nennt man Parameterdarstellungen der Geraden bzw Ebene Bemerkung: Geraden kann man analog im R n für n 1 und Ebenen für n 2 denieren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 136 / 1

24 Geraden und Ebenen 152 Bemerkung Die Richtungsvektoren sind nicht eindeutig 1 Im Fall der Gerade ist mit v auch jeder Vektor α v für α 0 ein Richtungsvektor der gleichen Geraden 2 Im Fall der Ebene lässt sich jeder der Richtungsvektoren v und w durch eine Linearkombinaton α v + β w ersetzen, ohne die Ebene zu ändern (man muss nur die lineare Unabhängigkeit erhalten) 153 Denition: Parallelität 1 Zwei Geraden im R 3 heiÿen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind 2 Zwei Ebenen im R 3 heiÿen parallel, wenn die Richtungsvektoren der einen Ebene jeweils als Linearkombination der Richtungsvektoren der anderen Ebene dargestellt werden können Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 137 / 1

25 Geraden und Ebenen 154 Denition: Normalenvektor einer Ebene Ein Vektor n heiÿt Normalenvektor der Ebene E, wenn n auf allen Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht Gilt zusätzlich noch n = 1, so nennt man n einen Einheitsnormalenvektor 155 Satz 1 Sind v und w Richtungsvektoren einer Ebene, so ist 1 n := ( v w) ein Einheitsnormalenvektor der Ebene v w 2 Der Einheitsnormalenvektor einer Ebene ist bis auf das Vorzeichen eindeutig 3 Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn die Einheitsnormalenvektoren (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 138 / 1

26 Geraden und Ebenen Geraden sind bereits durch die Angabe zweier unterschiedlicher Punkte eindeutig festgelegt, eine Ebene durch die Angabe dreier Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen 156 Satz Es seien zwei verschiedene Punkte im Raum und p und q gegeben Dann gibt es genau eine Gerade, die p und q enthält Diese ist gegeben durch g = { p + t( q p) t R} Es sei r ein weiterer Punkt, der nicht auf der Geraden g durch p und q liegt Dann gibt es genau eine Ebene, die die Punkte p, q und r enthält Diese ist gegeben durch E = { p + t( q p) + s( r p) t, s R} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 139 / 1

27 Geraden und Ebenen 157 Satz: Hessesche Normalenform 1 Eine Ebene E im R 3 und a ein beliebiger Aufpunktvektor Dann lässt sich E in der Form E = { x n ( x a) = 0} = { x n x = n a}, darstellen, wobei n ein Normalenvektor der Ebene ist 2 Ist n ein Einheitsnormalvektor der Ebene, so ist d 0 := n a unabhängig von der Wahl des Aufpunktes 3 Wählt man den Einheitsnormalenvektor n so, dass d 0 0, so nennt man die Darstellung E = { x n x = d 0 } Hessesche Normalenform (HNF) der Ebene 4 Ist d 0 > 0, so ist die HNF eindeutig Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 140 / 1

28 Geraden und Ebenen Mit Hilfe der HNF kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen 158 Satz: Abstand Punkt Ebene Es sei { x n x = d 0 } die HNF der Ebene E und a ein beliebiger Aufpunktvektor Ferner sei P ein Punkt im Raum und p sein Ortsvektor Dann misst d(p ) := n ( a p) den Abstand des Punktes P von der Ebene E Insbesondere gilt für den Nullpunkt d(o) = d 0 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 141 / 1

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