Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1
|
|
- Fritz Hartmann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1
2 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen, also ein Element aus R n Wir schreiben die Komponenten eines Vektors in eine Spalte: v = v 1 v 2 v n (Manchmal benutzen wir die platzsparende Schreibweise v = (v 1, v 2,, v n ) T, wobei das T andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektor meinen) 132 Denition: Rechnen mit Vektoren v 1 w 1 v 1 + w 1 Mit v =, w = und α R ist v + w = und v n αv 1 α v = αv n w n v n + w n Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 115 / 1
3 Vektoren Wir beschränken uns in den kommenden Betrachtungen auf R 2 und R 3, obwohl alles auch im Höherdimensionalen und allgemeineren Situationen richtig bleibt v 2 v 1 2 v 0 w v + w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 116 / 1
4 Vektoren 133 Satz: Rechenregeln für Vektoren Es seien u, v und w Vektoren und α und β seien reelle Zahlen, dann gilt: 1 v + w = w + v 2 u + ( v + w) = ( u + v) + w 3 Es gibt einen Nullvektor 0 mit v + 0 = 0 + v = v 4 Zu v gibt es einen Vektor v mit v + ( v) = 0 5 α (β v) = (αβ) v 6 1 v = v 7 (α + β) v = α v + β v 8 α ( v + w) = α v + α w Bemerkung zu 3: nämlich 0 := (0, 0,, 0) T Bemerkung zu 4: nämlich v := ( 1) v = ( v 1,, v n ) T Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 117 / 1
5 Vektoren 134 Denition: Linearkombination Es seien v 1,, v n Elemente des Vektorraums V Eine Summe der Form α 1 v 1 + α 2 v α n v n heiÿt Linearkombination und die Zahlen α j R heiÿen Koezienten der Linearkombination ) ( 6 Beispiele: Der Vektor 4 R 3 ist eine Linearkombination der Vektoren 2 ( ) ( ) ( ) , 1 und 0 mit Koezienten 6, 4 und 2, ) ) ) ( 1 und eine Linearkombination der Vektoren 1 0 Koezienten 4, 0 und 2, ( und ( mit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 118 / 1
6 Vektoren 135 Denition: Linear abhängig Die Vektoren v 1,, v n des Vektorraums V heiÿen linear abhängig, wenn es Zahlen α 1,, α n R gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber die Linearkombination α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 ist Sie heiÿen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind 136 Bemerkung Die Vektoren v 1, v n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 (als Gleichung für die Zahlen α 1,, α n ) nur die Lösung α 1 = = α n = 0 hat Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 119 / 1
7 Vektoren 137 Beispiele Die Vektoren u = 2, v = 6, w = 1 R 3 sind linear abhängig, denn es gilt 4 u + ( 1) v + ( 2) w = 0 ( ) ( ) Die Vektoren v =, w = R sind linear unabhängig, denn { } α+ 2β = 0 α v + β w = 0 ist gleichbedeutend mit dem LGS und 2α+ β = 0 dies hat die eindeutige Lösung α = β = 0 (vgl das Kapitel über LGS) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 120 / 1
8 Vektoren 138 Bemerkung 1 v V ist genau dann linear abhängig, wenn v = 0 2 Die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren v, w R 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) v und w liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, und b) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen 3 Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren u, v, w R 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) u, v und w liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, und b) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination der anderen beiden Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 121 / 1
9 Vektoren 139 Weitere wichtige Begrie und Bemerkungen 1 Das Erzeugnis (oder Spann) der Vektoren v 1,, v k V ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren (Das ist auch für eine beliebige Menge von Vektoren erklärt) 2 Lässt sich jedes Element von V eindeutig(!) als Linearkombination der Vektoren v 1,, v k V darstellen, dann nennt man { v 1,, v k } eine Basis von V 3 Die Elemente einer Basis sind linear unabhängig Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 122 / 1
10 Vektoren 139 [cont] Speziell für das Rechnen im R n heiÿt das 4 n Vektoren des R n sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine Basis bilden 5 Die Standardbasis des R n besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren e 1 = , e 2 = ,, e n = Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 123 / 1
11 Skalar- und Vektorprodukt Kapitel 14 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 124 / 1
12 Skalar- und Vektorprodukt 141 Denition: Skalarprodukt, Norm und Winkel Das Skalarprodukt zweier Vektoren v, w R n ist deniert durch v w := v 1 w 1 + v 2 w v n w n Die Norm (oder der Betrag) eines Vektors ist deniert durch v := v v = v v v2 n Der Winkel ψ [0, π] zwischen zwei Vektoren v, w R n, beide nicht der Nullvektor, ist deniert durch cos ψ = v w v w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 1
13 Skalar- und Vektorprodukt Das Winkel wird über das Skalarprodukt so deniert, dass er mit dem ebenen Winkel im R 2 übereinstimmt Hilfsmittel ist der Kosinussatz: c a α b a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 126 / 1
14 Skalar- und Vektorprodukt 142 Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm 1 v w = w v 2 v (α w + β u ) = α( v w) + β( v u ) 3 Für v 0 ist 1 v v = 1 4 v w = 0 genau dann, wenn v und w senkrecht aufeinander stehen ( ) ( ) b a 5 Der Vektor steht senkrecht auf dem Vektor a b 6 v 0 7 v = 0 genau dann, wenn v = 0 8 α v = α v Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 127 / 1
15 Skalar- und Vektorprodukt 143 Satz: Dreiecksungleichung Für Vektoren v und w gilt v + w v + w und v w v w, sowie damit dann v w v u + u w 144 Satz: Parallelogrammgleichung Für Vektoren v und w gilt v + w 2 + v w 2 = 2 v w 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 128 / 1
16 Skalar- und Vektorprodukt Im Fall des R 3 gibt es noch ein Produkt zwischen Vektoren, dass als Ergebnis wieder einen Vektor liefert 145 Denition: Kreuzprodukt Es seien v = v 1 v 2 v 3, w = w 1 w 2 w 3 Vektorprodukt) v w deniert durch R 3 Dann ist das Kreuzprodukt (oder v 2 w 3 v 3 w 2 v w := v 3 w 1 v 1 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 129 / 1
17 Skalar- und Vektorprodukt 146 Satz: Eigenschaften des Kreuzproduktes 1 v w = w v 2 v ( α w + β u ) = α( v w) + β( v u ) 3 Ist α der Winkel zwischen v und w so ist v w = v w sin α 4 v w = 0 genau dann, wenn v und w linear abhängig sind 5 ( v w) v = ( v w) w = 0 Dh v w steht sowohl senkrecht auf v als auch auf w 6 v w entspricht dem Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms 7 v, w und v w bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 130 / 1
18 Skalar- und Vektorprodukt v w Mittelnger Rechte-Hand- Regel v Daumen w Zeigenger Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 131 / 1
19 Skalar- und Vektorprodukt Eine Kombination des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes im R 3 liefert ein weiteres geometrisch relevantes Produkt: 147 Denition: Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren u, v, w R 3 ist deniert durch s( u, v, w) = u ( v w) ie folgenden Eigenschaften des Spatproduktes sind direkte Konsequenzen aus denen der beiden beteiligten Produkte: 148 Folgerung: Eigenschaften des Spatproduktes 1 Das Spatprodukt ist total schiefsymmetrisch, dh s( u, v, w) = s( w, u, v) = s( v, w, u) = s( v, u, w) = s( u, w, v) = s( w, v, u) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 132 / 1
20 Skalar- und Vektorprodukt 148 Denition: Spatprodukt[cont] 2 Der Betrag des Spatproduktes s( u, v, w), entspricht dem Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds u v w v u Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 133 / 1
21 Skalar- und Vektorprodukt Bemerkung: Man kann das Spatprodukt der Vektoren u = u 2, u 3 v 1 w 1 v = v 2 und w = w 2 mit Hilfe der Sarrus-Regel berechnen v 3 w 3 u 1 u 1 v 1 w 1 u 1 v 1 u 2 v 2 w 2 u 2 v 2 u 3 v 3 w 3 + u 3 + v 3 + Es ist nämlich s ( u, v, w) = u 1 v 2 w 3 + v 1 w 2 u 3 + w 1 u 2 v 3 u 3 v 2 w 1 v 3 w 2 u 1 w 3 u 2 v 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 134 / 1
22 Geraden und Ebenen Kapitel 15 Geraden und Ebenen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 135 / 1
23 Geraden und Ebenen 151 Denition: Gerade und Ebene Es seien v, w R 3 linear unabhängige Vektoren und a ein weiterer Vektor Eine Gerade g ist eine Menge der Form g = { x = a + t v t R} Eine Ebene E ist eine Menge der Form E = { x = a + t v + s w t, s R} Dabei heiÿen a Aufpunktvektor und v bzw v, w Richtungsvektoren der Geraden bzw Ebene Diese Darstellungen nennt man Parameterdarstellungen der Geraden bzw Ebene Bemerkung: Geraden kann man analog im R n für n 1 und Ebenen für n 2 denieren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 136 / 1
24 Geraden und Ebenen 152 Bemerkung Die Richtungsvektoren sind nicht eindeutig 1 Im Fall der Gerade ist mit v auch jeder Vektor α v für α 0 ein Richtungsvektor der gleichen Geraden 2 Im Fall der Ebene lässt sich jeder der Richtungsvektoren v und w durch eine Linearkombinaton α v + β w ersetzen, ohne die Ebene zu ändern (man muss nur die lineare Unabhängigkeit erhalten) 153 Denition: Parallelität 1 Zwei Geraden im R 3 heiÿen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind 2 Zwei Ebenen im R 3 heiÿen parallel, wenn die Richtungsvektoren der einen Ebene jeweils als Linearkombination der Richtungsvektoren der anderen Ebene dargestellt werden können Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 137 / 1
25 Geraden und Ebenen 154 Denition: Normalenvektor einer Ebene Ein Vektor n heiÿt Normalenvektor der Ebene E, wenn n auf allen Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht Gilt zusätzlich noch n = 1, so nennt man n einen Einheitsnormalenvektor 155 Satz 1 Sind v und w Richtungsvektoren einer Ebene, so ist 1 n := ( v w) ein Einheitsnormalenvektor der Ebene v w 2 Der Einheitsnormalenvektor einer Ebene ist bis auf das Vorzeichen eindeutig 3 Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn die Einheitsnormalenvektoren (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 138 / 1
26 Geraden und Ebenen Geraden sind bereits durch die Angabe zweier unterschiedlicher Punkte eindeutig festgelegt, eine Ebene durch die Angabe dreier Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen 156 Satz Es seien zwei verschiedene Punkte im Raum und p und q gegeben Dann gibt es genau eine Gerade, die p und q enthält Diese ist gegeben durch g = { p + t( q p) t R} Es sei r ein weiterer Punkt, der nicht auf der Geraden g durch p und q liegt Dann gibt es genau eine Ebene, die die Punkte p, q und r enthält Diese ist gegeben durch E = { p + t( q p) + s( r p) t, s R} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 139 / 1
27 Geraden und Ebenen 157 Satz: Hessesche Normalenform 1 Eine Ebene E im R 3 und a ein beliebiger Aufpunktvektor Dann lässt sich E in der Form E = { x n ( x a) = 0} = { x n x = n a}, darstellen, wobei n ein Normalenvektor der Ebene ist 2 Ist n ein Einheitsnormalvektor der Ebene, so ist d 0 := n a unabhängig von der Wahl des Aufpunktes 3 Wählt man den Einheitsnormalenvektor n so, dass d 0 0, so nennt man die Darstellung E = { x n x = d 0 } Hessesche Normalenform (HNF) der Ebene 4 Ist d 0 > 0, so ist die HNF eindeutig Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 140 / 1
28 Geraden und Ebenen Mit Hilfe der HNF kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen 158 Satz: Abstand Punkt Ebene Es sei { x n x = d 0 } die HNF der Ebene E und a ein beliebiger Aufpunktvektor Ferner sei P ein Punkt im Raum und p sein Ortsvektor Dann misst d(p ) := n ( a p) den Abstand des Punktes P von der Ebene E Insbesondere gilt für den Nullpunkt d(o) = d 0 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 141 / 1
entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrSkalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)
Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +
MehrAnalytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung
Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?
Mehrd 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
MehrGrundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
Mehr13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01
. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
Mehr2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt
.3. Vektorprodukt und Spatprodukt Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
Mehr4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..
MehrAnalytische Geometrie Aufgaben und Lösungen
Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................
MehrAnalytische Geometrie
Kapitel 2 Analytische Geometrie 21 Vektoren Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d h die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,, a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen
MehrÜbungsaufgaben Vektoren
Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos
MehrVektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:
Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]
MehrAlgebra 3.
Algebra 3 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3), B( ) sowie für jedes a (a R) ein Punkt P a (a a a) gegeben. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte
MehrVektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
Mehr5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.
1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
Mehr2.3. Das Vektorprodukt
2.3. Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht stehende Vektoren zu bestimmen.
Mehr2.5. Geraden und Ebenen
.5. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen gewinnt man, indem man einen Ortsvektor (mit Spitze auf der Geraden oder Ebene und einen bzw. zwei Richtungsvektoren wählt, welche die
MehrEinführung in das Skalarprodukt
Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Einführung in das Skalarprodukt in Aufgaben Alle Lektionen und Texte der Delphi-Ecke sind in der gepackten Zip-Datei Delphi-Ecke (ohne Urlaubsbilder) (Stand:
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung
Mehr& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
MehrStudiengänge) Beispiele
Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. DETERMINANTEN Determinanten
MehrDefinition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
MehrLänge, Skalarprodukt, Vektorprodukt
Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren
MehrLänge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(
MehrVorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ
Mehrffl Kräfte ~K: der Betrag gibt die Stärke der Kraft die Richtung gibt die Richtung in welcher die Kraft ausgeübt wird. ffl Geschwindigkeiten ~v: der B
Kapitel I (Vektorrechnung) x1. Vektoren Unser Raum ist 3-dimensional. Wir kennen drei Hauptrichtungen: rechts-links, vornehinten, oben-unten. Als Modell wählen wir: ffl Ein Punkt O als Ursprung ffl Drei
MehrBesondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem
MK 5.. LageKoordsys.mcd Besondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem Die Koordinatenachsen: Alle Koordinatenachsen enthalten den Ursprung als Aufpunkt. Beispiel g : = λ Die -Achse Die Einheitsvektoren
MehrEinführung in die Mathematik für Informatiker
Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 21.11.2016 6. Vorlesung aufgespannter Untervektorraum Span(T ), Linearkombinationen von Vektoren Lineare Unabhängigkeit
MehrVon einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden.
2. Vektorrechnung 2.1 Begriffe Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer estimmten Reihenfolge zusammengefasst werden. Schreit man die Zahlen untereinander,
Mehr10 Kapitel I: Anschauliche Vektorrechnung
10 Kapitel I: Anschauliche Vektorrechnung haben. In Mengenschreibweise ist G = {x x = a + tb für ein t R}. Wir werden für diese einführenden Betrachtungen im Interesse einer knappen Redeweise jedoch häufig
MehrVektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................
MehrLineare Algebra I. Eine Vorlesung von Prof. Dr. Klaus Hulek
Lineare Algebra I Eine Vorlesung von Prof. Dr. Klaus Hulek hulek@math.uni-hannover.de c Klaus Hulek Institut für Mathematik Universität Hannover D 30060 Hannover Germany E-Mail : hulek@math.uni-hannover.de
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und
MehrKapitel 2: Mathematische Grundlagen
[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen
MehrInhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra
Inhaltsverzeichnis Band b Analytische Geometrie Auf der beigefügten CD befinden sich zwei Verzeichnisse: Inhalt_Mathcad und Inhalt_pdf In diesen Verzeichnissen sind alle Mathcad-Dateien (***.xmcd) und
MehrBasiswissen Analytische Geometrie
www.matheabitur.de Basiswissen Analytische Geometrie Alle Grundlagen und Rechentechniken der analytischen Geometrie S. und deren beschreibende Verfahren Wissenskatalog der Grundlagen. Lösen einfacher linearer
MehrLösungen der 1. Lektion
Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.
MehrSkalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:
Vektorgeometrie ganz einfach Teil 5 Skalarprodukt Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen
MehrVektorräume und Rang einer Matrix
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung
MehrAnalytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden
Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der
MehrSollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans
Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen
MehrKapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume
Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume a) Vektoren: Definition und Grundlagen Größen, die sich durch Angabe eines Zahlenwertes und einer Einheit vollständig beschreiben lassen, nennt man Skalare
MehrEinführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6
Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Vektoren Evelina Erlacher 9. März 007 1 Pfeile und Vektoren im R und R 3 1 Der Betrag eines Vektors 3 Die Vektoraddition
MehrZusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen
Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................
MehrLineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...
Mehr1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D
Vektoren, Vektorräume, Astände: D Definition: Die Menge aller (geordneten Paare reeller Zahlen (oder allgemeiner: Elemente eines elieigen Körpers, als Spalten geschrieen, ezeichnen wir als Vektoren: R
MehrMathematik I Übungsblatt 5 WS 12/13 Prof. Dr. W. Konen, Dr.A.Schmitter
Bereiten Sie die Aufgaben parallel zu den in der Vorlesung besprochenen Themen für die nächsten Übungsstunden jeweils vor! Aufgabe 5.1 Vektoroperationen Gegeben sind die folgenden Vektoren: u = 3 1 2 v
MehrVektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel?
Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Von Florian Modler Dieser Artikel soll helfen, auseinander zu halten, wann man welche Formel in der analytische Geometrie
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
MehrÜbung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV
Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Dr. Uwe Streit Jan Blechschmidt Aufgabenkomplex 7 - Vektoren Übung Elementarmathematik im WS 202/3 Lösung zum Klausurvorbereitung IV. (5 Punkte -
Mehr5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix
5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix Jörn Loviscach Versionsstand: 20. März 2012, 16:02 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:
MehrDas Skalarprodukt zweier Vektoren
Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar eine Zahl ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften
MehrDas Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer".
Was ist ein Vektor? Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer". Vektoren sind Listen von Zahlen. Man kann einen Vektor darstellen, indem man seine Komponenten
MehrVektor-Multiplikation Vektor- Multiplikation
Vektor- Multiplikation a d c b Thema: Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer: Vektor-Multiplikation: Vektorprodukt Mittelschule, Berufsschule, Fachhochschule Elementare Programmierkenntnisse, Geometrie,
MehrLehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie
Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium
MehrAnalytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
Mehrr a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter
8 3. Darstellung der Geraden im Raum 3.. Parametergleichung der Geraden Die naheliegende Vermutung, dass eine Gerade des Raumes durch eine Gleichung der Form ax + by + cz +d = 0 beschrieben werden kann
MehrDamit haben wir schon die Koeffizienten der Gleichung gefunden, in dem wir n noch durch 6 teilen. 5x 2y + 13z = C. (2) = 36 = C.
Aufgabenblatt 6 0 Punkte Aufgabe 1 (Pyramide) Gegeben ist eine Pyramide P mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und Spitze D. Es sei A(2 0 2), B(10 7 0), C(0 8 ) und D(8 1 10). a) Gib eine (möglichst einfache)
MehrAufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel
Aufgaben mit Ebenen Parameterform Normalenform Koordinatenform Spurpunkte Zur grafischen Darstellung der Ebene die Spurpunkt berechnen. Zwei Koordinaten gleich 0 setzen und jeweils die dritte ausrechnen.
Mehr2.5A. Lote und Abstände
.5A. Lote und Abstände Besonders häufig muß man in der Praxis Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (in allen möglichen Kombinationen) berechnen. Wir stellen dafür im Folgenden allgemeine Formeln
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
MehrVektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42
Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand:. April 29, 23:42 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen mit Pfeilen schon kennen gelernt. Addition und Subtraktion klappen in drei wie
MehrVektorgeometrie Layout: Tibor Stolz
Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P
MehrVektorrechnung Raumgeometrie
Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen
MehrWiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis
Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wenn wir z.b. ein Objekt in unserer Umgebung (Raum eigentlich Raumzeit) beschreiben wollen, können wir mehrere Informationen zusammenfassen. Ein Freund
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrMathematik. Lernbaustein 6
BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung www.p-merkelbach.de/bos/mathe/matheskript-bos- Lernbaustein
Mehr11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION
11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie
TI voyage 200 Kompaktwissen Lineare Algebra und analytische Geometrie Eine kleine Hilfe für Schüler der DSB Seite 2 TI voyage 200 Kompaktwissen Algebra/Geometrie Diese Anleitung soll helfen, Aufgaben aus
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
MehrLineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x
MehrWiederholung Winkel. Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
Wiederholung Winkel Das entscheidende Mittel zur Bestimmung von Winkeln ist das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt lässt sich nämlich sehr komfortabel koordinatenweise berechnen, zugleich hängt es aber mit
MehrBayern Aufgabe a. Abitur Mathematik: Musterlösung. Die Koordinaten von C sind die Komponenten des Vektors PC (denn P ist
Abitur Mathematik Bayern 201 Abitur Mathematik: Bayern 201 Aufgabe a 1. SCHRITT: VORÜBERLEGUNG Die Koordinaten von C sind die Komponenten des Vektors PC (denn P ist der Ursprung). Dabei ist PC = PB + BC
MehrVektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren
Vektorgeometrie Version: 28. Dezemer 2007 Bitte nur für den Eigengerauch verwenden) mathenachhilfe.ch. Mathematische Operationen für Vektoren Addition + a + 3 = a + + + 3 + Sutraktion a 3 = a 3 Skalare
MehrLineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch
MehrVektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.
Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel
Mehr2.5. Lote und Abstände
.5. Lote und Abstände Besonders häufig muß man in der Praxis Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (in allen möglichen Kombinationen) berechnen. Wir stellen dafür im Folgenden allgemeine Formeln
MehrMathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen
Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen von Richard Mohr. Auflage Hanser München 0 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 446 455 4 Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei
Mehr2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt
2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 19. März 2011, 15:33 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:
MehrEine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
MehrVektorrechnung. Kapitel Vektoren geometrisch
Kapitel 2 Vektorrechnung 2.1 Vektoren geometrisch Sowohl in der Mathematik als auch in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und vielen anderen Anwendungsbereichen spielen Vektoren eine zentrale Rolle.
Mehr