Lineare Algebra I (WS 13/14)

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1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 14

2 Linearkombinationen Definition Es sei V ein reeller Vektorraum. Es sei (v i ) i I eine Familie von Vektoren aus V (dabei ist I eine beliebige Indexmenge). Eine Linearkombination dieser Vektoren ist eine Summe der Gestalt λ i v i V i I wobei alle λ i R und nur endlich viele λ i ungleich 0 sind. Sei nun S V eine beliebige Teilmenge. Falls S, so setzen wir span(s) := {v V v ist Linearkombination aus Vektoren in S} V. Ist S =, so setzen wir span(s) := {0} V. Alexander Lytchak 2 / 14

3 Lemma Es sei V ein Vektorraum und (W i ) i I sei eine Familie von Untervektorräumen von V. Dann ist W i V i I ebenfalls ein Untervektorraum von V. Proposition a) Für alle S V ist span(s) V ein Untervektorraum. b) Ist W V ein Untervektorraum und gilt S W, so ist span(s) W. c) Es gilt span(s) = W V Untervektorraum, S W span(s) ist der kleinste Untervektorraum von V, der die Menge S enthält. Er heißt der von S erzeugte oder aufgespannte Untervektorraum von V. Alexander Lytchak 3 / 14 W.

4 Definition Es sei V ein Vektorraum und (v i ) i I eine Familie aus Vektoren in V. Wir nennen (v i ) i I linear unabhängig, falls folgendes gilt: Ist eine Linearkombination i I λ iv i = 0, so gilt λ i = 0 für alle i I. Ist (v i ) i I nicht linear unabhängig, so heißt (v i ) i I linear abhängig. Wir nennen (v i ) i I ein Erzeugendensystem von V, falls span(v i ) = V. In diesem Fall können wir also jeden Vektor aus V als Linearkombination in den Vektoren v i schreiben. Und schließlich heißt (v i ) i I eine Basis von V, falls (v i ) linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist. Alexander Lytchak 4 / 14

5 Beispiel Im R-Vektorraum V := R n setzen wir für i = 1,..., n e i := (0,..., 0, 1, 0,..., 0) V, wobei die 1 genau an der i-ten Stelle steht. Dann ist (e 1,..., e n ) eine Basis von R n, die sogenannte Standardbasis oder kanonische Basis. Es sei eine Matrix A R m n in Zeilenstufenform gegeben. Es sei r 0 die Anzahl der von 0 verschiedenen Zeilen. Dann sind die Zeilenvektoren (a 11,..., a 1n ),..., (a r1,..., a rn ) linear unabhängig im R n. Ebenso sind die Spaltenvektoren a 1j1.,..., a 1jr. a mj1 a mjr linear unabhängig im R m, wobei j 1,..., j r die Pivotspalten sind. Alexander Lytchak 5 / 14

6 Beispiel (Fortsetzung) Die leere Familie ist linear unabhängig. Denn für I = ist die Bedingung λ i = 0 für alle i I stets erfüllt. Diese Familie ist genau dann eine Basis von V, falls V = {0}, d.h. falls V der Nullvektorraum ist. Proposition Es sei (v i ) i I eine Familie von Vektoren aus einem reellen Vektorraum V. Dann gilt: a) (v i ) ist linear unabhängig jeder Vektor in V kann auf höchstens eine Weise als Linearkombination in den v i dargestellt werden. b) (v i ) ist ein Erzeugendensystem von V jeder Vektor in V kann auf mindestens eine Weise als Linearkombination in den v i dargestellt werden. c) (v i ) ist eine Basis von V jeder Vektor in V kann in eindeutiger Weise als Linearkombination in den v i dargestellt werden. Alexander Lytchak 6 / 14

7 Proposition Eine Familie (v i ) aus Vektoren des Vektorraums V ist genau dann linear abhängig, falls es ein j I gibt, so dass v j als Linearkombination in den v i mit i I, i j geschrieben werden kann, d.h. v j span(v i ) i I,i j. Insbesondere gilt: Gibt es ein i I mit v i = 0, so ist (v i ) i I linear abhängig. Falls I aus nur einem Element besteht, so ist (v i ) i I = (v) genau dann linear unabhängig, falls v 0. Gibt es i, j I mit i j und v i = v j, so ist (v i ) i I linear abhängig. Ist I I eine Teilmenge und ist (v i ) i I linear abhängig, so ist auch (v i ) i I linear abhängig. Die Familie ist genau dann linear abhängig, falls es eine endliche linear abhängige Teilfamilie gibt. Alexander Lytchak 7 / 14

8 Proposition Es sei (v i ) ein Familie von Vektoren in V. Dann sind äquivalent: a) (v i ) ist eine Basis von V. b) (v i ) ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem von V, d.h. (v i ) ist ein Erzeugendensystem und für jede echte Teilmenge I I ist (v i ) i I kein Erzeugendensystem. c) (v i ) ist unverlängerbar linear unabhängig, d.h. (v i ) ist linear unabhängig, und ist I I eine echte Obermenge, und erweitern wir (v i ) i I zu einer Familie (v i ) i I, so ist (v i ) i I linear abhängig. Definition Ein Vektorraum V heißt endlichdimensional, falls er ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Ansonsten heißt er unendlichdimensional. Alexander Lytchak 8 / 14

9 Satz (Basisauswahlsatz) Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und (v 1,..., v k ) sei ein Erzeugendensystem von V. Dann bildet eine Teilfamilie dieser Familie eine Basis von V. Insbesondere hat jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis. Alexander Lytchak 9 / 14

10 Basisergänzungssatz Zum Basisauswahlsatz gibt es ein Gegenstück, den Basisergänzungssatz. Das nächste Resultat bildet das Fundament dazu: Proposition Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum mit Basis (v 1,..., v n ), n N. Dann ist jede Familie in V, die aus mindestens n + 1 Vektoren besteht, linear abhängig. Folgerung Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Basen von V endlich und haben die gleiche Länge. Alexander Lytchak 10 / 14

11 Dimension eines R-Vektorraums Definition Es sei V ein R-Vektorraum. Wir sagen, dass die Dimension von V gleich n ist, falls V eine Basis aus n Elementen besitzt. Wir schreiben dim V := n. Falls V nicht endlichdimensional ist, setzen wir dim V :=. Bemerkung Da alle Basen in einem endlichdimensionalen Vektorraum die gleiche Länge haben, hängt diese Definition nicht von der Wahl der Basis ab. Für den Nullvektorraum haben wir dim 0 = 0, denn die leere Familie bildet eine Basis von 0. Beispiel Als Beispiel haben wir dim R n = n für alle n N. Alexander Lytchak 11 / 14

12 Basisergänzungssatz Satz (Basisergänzungssatz) Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n und (v 1,..., v k ) eine linear unabhängige Familie. Dann gilt k n. Falls k = n, so ist die gegebene Familie bereits eine Basis von V. Falls k < n, so lässt sich diese Familie durch Vektoren v k+1,..., v n V zu einer Basis von V ergänzen. Folgerung Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und W V ein Untervektorraum. Dann ist auch W endlichdimensional und es gilt dim W dim V. Falls dim W = dim V, so ist W = V. Beispiel Da die Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme mit n Unbestimmten Untervektorräume des R n sind, sind diese Lösungsmengen also endlichdimensional und haben Dimension n. Alexander Lytchak 12 / 14

13 Basisaustauschsatz Folgender Satz, der sogenannte Austauschsatz von Steinitz ist eine Verschärfung des Basisergänzungssatzes: Satz Sei (v 1,..., v k ) eine linear unabhängige Familie eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V. Sei S = w 1,..., w n ein Erzeugendensystem von V. Dann gibt es eine Teilmenge von S, die zusammen mit den v i eine Basis von V bildet. Alexander Lytchak 13 / 14

14 Unendlichdimensionale Räume Auch für unendlichdimensionale Vektorräume gelten die meisten der obenbewiesenen Sätze, manchmal in leicht modifizierter Form. Die Grundlage bildet dabei der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Der Beweis benötigt eine Aussage aus der Mengenlehre, das sogenannte Zornsche Lemma, das eigentlich ein Axiom ist. Diesen Beweis kann man im Skript nachlesen. Wenn die Zeit reicht, wird er am Ende des Semesters nachgeholt. Wir werden bis auf einige Beispiele immer nur mit endlichdimensionalen Räumen arbeiten. Alexander Lytchak 14 / 14

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