1 Analysis in einer Variablen

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1 4 1 Aalysis i eier Variable 1 Die reelle Zahle 1.1 Die gägige Zahlbereiche Der Abschitt diet isbesodere zu Eiführe der beutzte Noeklatur Beschreibug der Zahlbereiche Tabelle der Zahlbereiche Zahlbereich Bezeichug die atürliche Zahle N die atürliche Zahle it der Null N 0 die gaze Zahle Z die ratioale Zahle (Brüche) Q die reelle Zahle R die koplexe Zahle C Kurze Beschreibug: N = {1,, 3,...} aufzählede Megeschreibweise (vergl ) N 0 = {0, 1,,...} Z = {...,, 1, 0, 1,,...} Q ethält alle gaze Zahle ud dazu alle Brüche der For p q it p ud q aus Z ud q 0, also Zahle wie 1, usw. R ethält alle ratioale Zahle, dazu z.b. die diverse Wurzel wie 7, 3 u.a., außerde Zahle wie e, π (s. später) ud uübersehbar viele adere Zahle. Reelle Zahle allgeei gesehe sid, obwohl als atheatische Grudlage betrachtet, verhältisäßig küstliche Objekte. Matheatisch gibt es für sie foral gaz verschiedeartige Defiitioe. Übereistiug gibt es dabei i de atheatische Eigeschafte.

2 1. DIE REELLEN ZAHLEN 5 C ethält eie ( küstliche ) Zahl i it i = 1 ud besteht da aus alle Zahle der For α + βi, wo α, β beliebige reelle Zahle sid (ehr Iforatioe später). Beerkug Jeder der eigeführte Zahlbereiche ethält alle Zahle aus de davor geate Bereiche, aber auch eue Zahle. Isbesodere gilt: Es gibt reelle Zahle, die icht aus Q sid, d.h. die sich icht als Brüche gazer Zahle schreibe lasse. Solche Zahle heiße irratioale Zahle. Z.B. ist irratioal, d.h. es gibt keie gaze Zahle p, q, q 0, it ( p q ) = Erste Beerkuge zur Megeschreibweise Scho bei der Beschreibug der Zahlbereiche i habe wir der Kürze halber Megeschreibweise beutzt. I der Matheatik ist die Megeschreibweise i vieler Hisicht kau zu ugehe. Wir führe i Folgede i die allererste Grudlage eier allgeeie Megelehre ei. User Stadpukt: Die Beutzug der Megesprache sollte a als Beherzigug eies Prizips asehe, welches i alle Wisseschafte ud auch sostwo agebracht ist, des Prizips älich, daß a stets öglichst geau agebe soll, worüber a spricht. Ei ichtatheatisches Beispiel: Bei eier korrekte deokratische Wahl uß geau festgelegt sei, was die Mege der Wähler ist. Mege: Ituitive Defiitio eier Mege (ach Cator, verkürzt): Eie Mege ist eie wohlbestite Gesatheit vo Objekte. Diese Objekte heiße die Eleete der Mege. I der Matheatik sid die Objekte Zahle, Fuktioe; auch Mege selbst köe Eleete aderer Mege sei. Schreibweise: x M bedeutet: das Objekt x ist Eleet der Mege M z.b. 10 N. x M bedeutet: x ist icht Eleet vo M z.b. Q. } M = {1,, 3} aufzählede Schreibweise N = {1,, 3,...}

3 1. DIE REELLEN ZAHLEN 6 M = {x x ist eie gerade gaze Zahl } M = {x x R ud x 4 + x = 0} } Beschreibug durch Eigeschafte der Eleete Die leere Mege : Aus viele, auch logische Grüde ist es sivoll, die Existez eier sogeate leere Mege, geschriebe, zu postuliere. Sie ist charakterisiert durch die Eigeschaft: Für alle Objekte x gilt x / ; it adere Worte: sie hat keie Eleete. Teilege: Defiitio: M ud N seie Mege. Da: { Jedes Eleet vo N ist auch Eleet vo M (kurz: x N x N heißt Teilege vo M : M) (Zur Schreibweise it de dicke Pfeile vergl.die Vorlesug.) Schreibweise ud Beerkuge: N M für N ist Teilege vo M. Es ist N M, auch we N = M. Es gilt M für alle Mege M. Ist N ist Teilege vo M, aber N M, so schreibe wir dafür auch N M. (I viele Bücher wird auch die Bezeichug N M beutzt. Machal steht sie für N M, achal auch für N M. Ma uß sich dara gewöhe, daß dieselbe Objekte ud Sachverhalte vo verschiedee Autore veschiede bezeichet sei köe.) Beispiele: (i) {1,, 3} N (ii) { 1, 1} { x x R ud x 4 + x = 0 } R. (iii) die Zahlbereiche, geschriebe als Zahletur : N N 0 Z Q R C (iv) Zu N : {1,,..., } N ( Zahleabschitte ). Die zweite Iklusio bei (ii) zeigt die häufigste Art, Teilege azugebe: N besteht aus dejeige Eleete aus M, welche bestite (zusätzliche) Eigeschafte besitze. Durchschitt, Vereiigug, Differez: M ud N seie Mege. Folgedes sid da wohldefiierte Mege: M N := { x x M ud x N } =: der Durchschitt vo M ud N M N := { x x M oder x N } =: die Vereiigug vo M ud N M \ N := { x x M ud x / N } =: die Differez vo M ud N Ist N M, so heißt M \ N auch das Kopleet vo N i M. Beerkug: Habe M ud N kei Eleet geeisa, so ist M N =. Ist N M, so ist M N = N ud N \ M =.

4 1. DIE REELLEN ZAHLEN Darstellug der reelle Zahle als uedliche Dezialbrüche Meist (z.b. auf de Tascherecher) werde reelle Zahle als Dezialbrüche dargestellt. Z.B. =, = 13, = 13, 3 Periode =, =, (Periode 85714) = 1, e =, Dabei: Die ratioale Zahle liefer Dezialbrüche it (ier wiederkehrede) Periode (iklusive Periode 0 wie bei =, 0 =, 0). Die irratioale Zahle liefer uedliche Dezialbrüche ohe Periode (isbesodere ede die Brüche icht ach edliche viele Stelle: sie hätte sost die Periode 0). Sie köe als kokrete Dezialbrüche ur approxiativ agegebe werde, ide a die Darstellug (ugeauerweise) irgedwo abbricht Die Zahlegerade Zur Veraschaulichug stellt a sich die Mege R der reelle Zahle als Zahlegerade vor: Die Zahlegerade gibt isbesodere die Größer-Kleier-Beziehug i R wieder: Für jede Zahl a R gilt geau eie der Aussage a < 0, a = 0 oder a > 0. Allgeeier: Für je zwei Zahle a, b R gilt geau eie der Aussage a < b, a = b oder a > b. Dabei: Vo zwei verschiedee Zahle steht die größere auf der Zahlegerade rechts vo der kleiere. (Mehr ud Systeatischeres i 1.3.) Die Darstellug als Gerade, d.h. als kotiuierlicher Strich, soll auch sybolisiere, daß die reelle Zahle kotiuierlich aufeiader folge ud daß es keie Lücke i R gibt (s. wieder i 1.3 ). 1. Reche I alle aufgeführte Rechebereiche ka a addiere ud ultipliziere ach bekate Recheregel ud a hat diverse ützliche Forel Die Recheaxioe Wir otiere die Grudregel ( Recheaxioe ), aus dee sich alle Recheregel, auch die Gültigkeit koplizierter Forel ableite lasse. Die Regel gelte für alle a, b, c R.

5 1. DIE REELLEN ZAHLEN 8 (A1) (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität der Additio) (A) (A3) Es gibt die 0 R it a + 0 = 0 + a = a Zu jede a R gibt es a R it a + ( a) = ( a) + a = 0 (A4) a + b = b + a (Koutativität der Additio) (M1) (a b) c = a (b c) (Assoziativität der Multiplikatio) (M) (M3) Es gibt 1 R, 1 0, it 1 a = a 1 = a Zu a 0(!) gibt es a 1 it a 1 a = a a 1 = 1 (M4) a b = b a (Koutativität der Multiplikatio) (D) } a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b a (Distributivgesetze (Klaerregel) ) Schreibweise: Wir lasse de Pukt bei Multipliziere auch oft weg: ab bedeutet a b. Es sei och eriert a die folgede Faustregel : Puktreche geht vor Strichreche. Sie garatiert, daß klar ist, wie etwa die rechte Seite bei (D) auszureche sid. Das sid scho alle Grudregel. Alles weitere Reche i R läßt sich daraus ableite. 1.. Abgeleitetes Reche Das Subtrahiere i R : (zu := s.die Vorlesug). a b := a + ( b) Das Dividiere durch Eleete b 0 (!): a b := a b 1 (= b 1 a) Weitere Regel: Für alle a R : a + b = a + c b = c Für alle a 0(!) : a b = a c b = c ( 1) a = a ( a) = a (a + b) = a b, ud (a b) = a + b ( a) b = a ( b) = (a b) } Kürzugsregel ( a) ( b) = a b ( ius al ius gibt plus)

6 1. DIE REELLEN ZAHLEN 9 (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) (a b) = a b a b = 0 a = 0 oder b = 0 Bioische Forel (Nullteilerfreiheit) 1..3 Sue- ud Produktzeiche Sei N. Seie a 1, a,..., a R (d.h. a betrachtet beliebige reelle Zahle i der durch die Idizierug gegebee Reihefolge). Defiiere a i = a 1 + a a := (... (((a 1 + a ) + a 3 ) ) + a ) i=1 ai = a 1 a... a := (... (((a 1 a ) a 3 )...) a ) (zu laufede Idex i, zur Klaerug ud zur Reihefolge der Suade bzw. Faktore siehe Vorlesug.) Beispiele: = 10, a i = i. 10 i=1 10 i=1 a i = a i = 10 i=1 10 i=1 i = = 55 i = = Das Produkt i=1 i hat eie besodere Bedeutug. Bezeichug: Für N wird defiiert! (sprich: Fakultät) := i = i 1 Der Vollstädigkeit halber defiiert a och 0! = 1.! Die Zahle! spiele eie besodere Rolle i der Abzähltheorie (Kobiatorik), s Oft hat a auch doppelt idizierte Zahleege: Gegebe, N ud a ij R, i = 1,...,, j = 1,..., (isgesat Zahle). Häufiges Beispiel: a i R, i = 1,...,, b j R, j = 1,...,, ud a ij := a i b j. Es gelte die (Doppel-)Sueregel (geäß Assoziativ- ud Koutativgesetze):

7 1. DIE REELLEN ZAHLEN 10 ( i=1 i=1,..., j=1,..., i=1,..., j=1,... a i ) a ij = a ij = j=1 b j = i=1 j=1 i=1 j=1 i=1,..., j=1,... a ij = a ij = a i b j j=1 i=1 j=1 j=1 a ij a ij Wichtige Begriffe it Suezeiche: Seie a 1, a,..., a R. Da: Der Mittelwert der a 1,..., a ist defiiert als Die Variaz der a 1,..., a ist defiiert als 1 Zur Bedeutug der Variaz vergl. die Statistik. ā := 1 a i. i=1 (a i ā). i= Poteze Defiitio (Poteze): Potezregel: a := Seie a R, Z. Ma defiiert a a... a }{{} Faktore, falls > 0 1, falls = 0 a 1 a 1... a 1 }{{} ( ) Faktore ( = >0), falls < 0 We alle Ausdrücke defiiert sid (d.h. a 0, b 0 i Falle egativer Expoete), gilt für alle, Z a a = a + (a ) = a (a b) = a b Wir gebe u i 1..5 ud 1..6 och zwei grudlegede Forel it wichtige Aweduge.

8 1. DIE REELLEN ZAHLEN Die Zahl Tatsache 1: ( ) Sei N. Da ist ( + 1) i = i=1 Beweis: Die gesuchte Sue X i sei S. Da i=1 S = ud S = ! Also S = S + S = (Bei Addiere S + S ergebe übereiader stehede Zahle addiert stets + 1. Dieser Suad tritt al auf.) Ergebis: S = ( + 1) Gekürzt durch erhält a : S = ( + 1) Bezeichug: ( ) ( 1) Für N,, sei := ( ) + 1 Beispiel: Nach obiger Tatsache ist = i. Iterpretatio:, wie behauptet. Tatsache (Iterpretatio vo ( ) ): Sei N ud N sei eie Mege vo Eleete (z.b. ( N = ) {1,,..., }). Da: Die Azahl aller -eleetige Teilege vo N ist. Oder, ( ) vo Stadpukt der Statistik aus gesehe: ist die Azahl der verschiedee Stichprobe aus zwei Eleete, die a eier -eleetige Mege etehe ka. ( ) 4 Beispiel: Sei N = {1,, 3, 4}. Es gibt geau 6 = = 4 3 -eleetige Teilege (d.h. verschiedee Weise, zwei Zahle aus de vier Zahle auszuwähle) vo N, älich {1, }, {1, 3}, {1, 4}, {, 3}, {, 4}, {3, 4} ( lexikographisch aufgezählt) Aus Tatsache folgt z.b.: Bei eie Lotto, bei de zwei Zahle aus auszuwähle sid, ist die Wahrscheilichkeit, zwei Richtige zu habe, gleich ( 1 = ) ( 1). Der Beweis der Tatsache ist ei Muster für eie atheatische Beweis. Er hat eie forale Charakter ( vollstädige Iduktio ) ud eie ihaltliche Idee für das Hauptarguet. i=1

9 1. DIE REELLEN ZAHLEN 1 Zuerst: Beweise it vollstädiger Iduktio Gegebe: Ma zeigt: Sei 0 N ud eie Aussage A(), die für jedes 0 vorliegt. (Z.B. die Aussage der Tatsache für.) (1) Die Aussage gilt für = 0 (Iduktiosafag). () Gilt die Aussage für 0, so auch für + 1 (Iduktiosschluß). Da gilt als bewiese: Die Aussage gilt für alle N it 0. Nu: Beweis der Tatsache it vollstädiger Iduktio. ( 1) Iduktiosafag: Die Aussage gilt für =. De = 1, was stit. Iduktiosschluß: Die Aussage sei für alle -eleetige Mege,, als richtig vorausgesetzt. Sei da M eie Mege vo + 1 Eleete. Sei a M, die restliche Eleete seie a 1,..., a geat ud N sei {a 1,..., a }. Es gibt i M -eleetige Teilege zweierlei Art. Der erste Typ besteht aus solche Teilege, die a icht! ethalte. Das sid geau die -eleetige Teilege vo N. Nach Voraussetzug gibt es geau davo. Der zweite Typ besteht aus de Teilege, die a ethalte. Da a it jede der a 1,..., a kobiiert werde ka, gibt es geau Teilege vo zweite Typ. Isgesat: Die Azahl der -eleetige Teilege vo M ist! (vo erste Typ) + (vo zweite Typ) = = ( 1) + = D.h. die Aussage gilt für + 1. ( 1) + = + = + = ( + 1)! = + 1 Nach de Prizip der vollstädige Iduktio also: Die Aussage gilt für alle wie behauptet. ( ) I 1.4 werde wir Verallgeeieruge, für 0, vo Rolle dieser Zahle bei Abzählproblee diskutiere. ( ) keelere ud die Defitio : Seie a, b R. Für N 0 sei a := a + b. Ma et die Folge der Zahle a 0, a 1, a,..., a,... eie arithetische Zahlefolge (it Differez b). Tatsache 3 Sei a k = a + kb, k = 0,...,. Da ist a k = ( + 1) a + k=0 ( + 1) b

10 1. DIE REELLEN ZAHLEN 13 Bew.: a k = ( + 1) a + k=0 Typische Awedug k b = ( + 1)a + b k=0 k=0 ( + 1) k = = ( + 1)a + b. Tats.1 Rückzahlug eier Schuld it feste Tilgugssatz ud zusätzlich afallede Zise: Vorgegebe: Ei Darlehe der Sue S, p% Verzisug jährlich, N. Prozedur: A Ede eies jede Jahres (achschüssig) zahlt der Gläubiger de Schulder die Sue S plus die für das Jahr fällige Zise. Die Zise für das k-te Jahr k = 1,,..., sid da Z k = (S (k 1) S ) p 100 Nach Jahre ist die Schuld getilgt. Die währed dieser Zeit gezahlte Zise belaufe sich auf ( ) Z := Z Z = p 100 (S (k 1) S k=1 ( ) ( ) p = S S p (k 1) = S S 1 i 100 k 1 i 100 k=1 i=0 ( p = S S ) ( 1) = p ( ) S S ( 1) Also: Z = p ( + 1) S 00 Rechebeispiel: S = , p = 6, = 10, z = Eie Forel für die Fiazatheatik Tatsache: Sei a R, a 1, N. Da: a k = 1 + a a 1 a +1 = ( ) k=0 Allgeeier: Seie a, b R, a b, N. Da 1 a ( ) = a+1 1 a 1! k=0 b k a k = b + b 1 a + b a b a 1 + a! = b+1 a +1 b a Beweis: Sei S := b + b 1 a ba 1 + a. Da b S = b +1 + b a + b 1 a b a a S = b a b 1 a... b a a +1

11 1. DIE REELLEN ZAHLEN 14 Ma sieht: Übereiader stehede Tere hebe sich bei Subtrahiere auf. Also ergibt sich bs as = b +1 a +1 = S = b+1 a +1. gekürzt durch b a b a 0 Die Forel ( ) der Tatsache ist der Ausgagspukt für eie gaze Reihe vo Forel bei Ziseszis. Beispiel: Tilgug eies Darlehes D i gleiche Jahresrate bei jährliche Zissatz p%. A Ede eies jede Jahres (achschüssig) werde die (stets gleiche) Sue A (Auität) zurückgezahlt. Die Restschuld ach Jahre sei R. Sei a = 1 + p 100. Da: Mittels ( ): also R 1 = Da A R = (Da A) a A = Da Aa A. R = Da Aa 1... Aa A = Da A(a a + 1) R = Da A a 1 a 1 Setzt a R = 0, so ka a bei vorgegebeer Tilgugsdauer die Auität A ausreche: 1.3 Abschätze A = D a (a 1) a Ordugseigeschafte vo R. Wie bei Reche braucht a ur weige Sachverhalte zu postuliere, die da alle Matheatik rud us Abschätze ipliziere. Grudlegeder Sachverhalt: Es gibt eie wohlbestite Teilege vo R, dere Eleete positiv heiße. Ma schreibt x > 0 für die positive x ud R >0 für die Teilege aller positive Eleete vo R. Grudregel (Aordugsaxioe): (O1) Für alle x R gilt geau eie der Beziehuge x > 0, x = 0, x > 0, ud für alle x, y R gilt:

12 1. DIE REELLEN ZAHLEN 15 (O) x > 0 ud y > 0 = x + y > 0 (O3) x > 0 ud y > 0 = x y > 0 Weitere gebräuchliche Bezeichuge: x > y : x y > 0 x y : x > y oder x = y x < y (bzw. x y) : y > x (bzw. y x) Eiige weitere Abschätzugsregel: (i) x > 0 = x < 0 (ii) x > y ud y > z = x > z (Trasitivität) (iii) Für alle a R : x > y a + x > a + y (iv) Für a > 0 : x > y ax > ay (v) Für a < 0 : x > y ax < ay (Aordug kehrt sich u) (vi) 0 < y < x = 0 < 1 x < 1 y (vii) 1 < x = 1 x < 1 (viii) Für alle 0 x R ist x > 0. Isbesodere ist 1 > 0. (ix) Es ist > 0 für alle N. Zusae it de Gleichheitsregel ergebe sich aus all de auch etsprechede Regel für Betrag ud Abstad Defiitio: Für x R defiiert a x := { x, falls x 0 x, falls x < 0 x heißt der (Absolut-)Betrag vo x. Für x, y R heißt x y der Abstad zwische x ud y. Regel über de Betrag: Für alle x, y R gilt: x 0 ud x = 0 ur für x = 0. x = x. x y = x y. x + y x + y (Dreiecksugleichug für de Betrag) x y x y x y. Regel über de Abstad: Für alle x, y, z R gilt: x y = y x (Syetrie) x y x z + z y (Dreiecksugleichug für de Abstad)

13 1. DIE REELLEN ZAHLEN 16 Typische Problee bzw. Aufgabe: Übug: Ma ache sich klar, welche Regel jeweils i folgede beutzt werde. (1) Gesucht sid alle x R it x 1 1 x + 1. Erst eial: Die Ugleichug hat wege der Neer ur Si für x ±1. Bei de verbleibede x uß a drei Fälle utersuche: 1. Fall: x > 1. Fall: 1 < x < Fall: x < 1. Wir ultipliziere (erweiter) die Ugleichug it (x + 1)(x 1) 0. Es ist > 0 i 1. Fall (x + 1)(x 1) < 0 i. Fall > 0 i 3. Fall Wir erhalte also ach der Erweiterug die Gleichuge geäß de Regel (iv) ud (v) i : 1. Fall: (x + 1) x 1 x 3 Es folgt: Alle x it x > 1 sid Lösuge.. Fall: (x + 1) x 1 x 3 Es folgt: Keie x it 1 < x < 1 sid Lösuge. 3. Fall: (x + 1) x 1 x 3 Es folgt: Vo de x it x < 1 sid Lösuge geau die x R it 3 x < 1. Gesatergebis: Die Lösugsege useres Probles besteht i der Mege aller x it 3 x < 1 zusae it der Mege aller x it x > 1. () Ei Uterehe hat beschlosse, daß der Preis x für eie Ware höchstes 0 Prozet vo de Richtwert 96 Euro abweiche soll. Was ist die erlaubte Preisspae? Asatz: x x 1. Fall: x 96. Da x 96 = x 96. Also: x x 4 x 96 x Fall: x < 96. Da x 96 = 96 x. Also: 96 x 1 5 x 6 x 96 x Die erlaubte Preisspae ist also 80 x 10.

14 1. DIE REELLEN ZAHLEN Itervalle Uterege der Art {x R 1 < x < 1}, {x R 1 < x}, wie sie bei de Lösugsege der Aufgabe zuvor vorkae, spiele i viele Situatioe eie besodere Rolle. Def.: Sei I R eie Uterege. I heißt ei (echtes) Itervall Liste der Itervalle: : I ethält ehr als ei Eleet ud für alle x, y I it x < y gilt: Auch alle z R it x z y liege i I. Seie a < b R. Betrachte folgede Teilege vo R: [a, b] := {x R a x b} (abgeschlossees edliches Itervall) [a, b[ := {x R a x < b} (liks abgeschlossees, rechts offees edliches Itervall) ]a, b] := {x R a < x b} (liks offees, rechts abgeschlossees edliches Itervall) ]a, b[ := {x R a < x < b} (edliches offees Itervall) [a, [ := {x R a x} ]a, [ := {x R a < x} ], b] := {x R x b} ], b[ := {x R x < b} ], [ := R Tatsache: (uedliche Itervalle) All das sid Itervalle ud jedes Itervall ist vo eie i dieser Liste agegebee Typ. Beerkug: Mit Itervall- ud Megeschreibweise ist z.b. die Lösugsege des Probles (1) i 1.3. gleich [ 3, 1[ ]1, [.. Das Itervall [ 3, 1[ hatte a erhalte als Durchschitt [ 3, 1[ = [ 3, [ ], 1[. Räder vo Itervalle: Die Zahle a ud b, dort wo sie i der Liste der Itervalle vorkoe, heiße die Radpukte oder Räder des etsprechede Itervalls. Dabei heißt a der like oder utere Rad ud b der rechte oder obere Rad. Radpukte köe zu Itervall gehöre oder auch icht. Gehöre sie zu Itervall so heiße die Itervalle auf der Seite des Radpukts abgeschlosse, we icht, heiße die Itervalle dort offe. Läge eies edliche Itervalles: Bei de edliche Itervalle i der Liste der Itervalle iterpretiert a die Zahl b a als Läge des Itervalls.

15 1. DIE REELLEN ZAHLEN Beschräkt ud ubeschräkt Defiitioe + Beispiele + Beerkuge + Übuge: Sei M R (z.b. sei M ei Itervall). M heißt beschräkt Es gibt C > 0 it x = C für alle x M. M heißt ubeschräkt Für alle C > 0 gibt es x M it x > C. Übug: Ma ache sich klar, daß jeder der beide Sachverhalte, icht ur sprachlich soder auch logisch, die Negatio des adere ist. Beispiele: Edliche Itervalle, z.b. [ 3, 1[, sid beschräkt. Itervalle it oder als Greze sid ubeschräkt. M heißt ach obe beschräkt Es gibt c R it x c für alle x M. So ei c heißt da eie obere Schrake vo M M heißt ach ute beschräkt Es gibt c R it x c für alle x M. So ei c heißt utere Schrake vo M. Beispiele: ], b[ ist ach obe beschräkt ud jedes c b ist eie obere Schrake. Etspreched ist z.b. ]b, [ ach ute beschräkt. c M heißt Maxiu vo M c M ud x c für alle x M c M heißt Miiu vo M c M ud c x für alle x M Z.B. 3 ist Miiu vo [ 3, 1[. Achtug: [ 3, 1[ hat kei Maxiu. c heißt Supreu vo M M ist ach obe beschräkt ud c ist Miiu aller obere Schrake vo M c heißt Ifiu vo M M ist ach ute beschräkt ud c ist Maxiu aller utere Schrake vo M. Beerkug als Übug: Maxia, Miia, Suprea ud Ifia sid eideutig bestit. Beispiele: Für die [a, b], [a, b[, ]a, b], [a, b], [a, [, ]a, [, ], b], ], b[ ist a das Ifiu ud b das Supreu Ergäzuge zur Axioatik der reelle Zahle Die Ubeschräktheit vo R wird durch folgedes Axio gesichert: Archiedisches Axio:

16 1. DIE REELLEN ZAHLEN 19 Zu jede ε R, ε > 0, ud jede C R, C > 0, gibt es ei N it ε > C. (Ma stelle sich ε gaz klei ud C gaz groß vor.) Daß es bei de reelle Zahle keie Lücke gibt, erzwigt a durch folgedes Axio: Vollstädigkeitsaxio: Jede icht leere ach obe beschräkte Teilege vo R hat ei Supreu. Dieses Axio garatiert die Existez vo irratioale Zahle. Beispiel: Sei M = {x Q x < }. Da ist z.b. 1 M. M ist ach obe beschräkt, de z.b. ist 3 > x für alle x M. Also: M hat ei Supreu α. Ma defiiert: := α. 1.4 Abzähle Auch it de atürliche oder de gaze Zahle ka a eie höchst aspruchsvolle Matheatik it wichtige Aweduge betreibe: Stichwort z.b.: Prizahle, it wichtige Aweduge i der Theorie ud Praxis der Codierug ud Verschlüsselug. Wir beschräke us i diese Abschitt darauf, auf eiige Sachverhalte der Abzähltheorie (Kobiatorik) eizugehe. Aweduge gibt es vor alle i der Wahrscheilichkeitstheorie. Motivatio: Etwa atheatische Neugier: Ausgagspukt: Bioische Forel (a + b) = a + ab + b Gesucht: Etsprechede allgeeiere Forel für (a + b) ud >. Oder Iteresse a ützlicher Iforatio: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, eie Sechser i Lotto zu ziehe? (S. Abschitt ) Perutatioe ohe Wiederholuge Proble: Gegebe:, N it ud paarweise verschiedee Objekte (Eleete) a 1, a,..., a (etwa die Zahle 1,,..., ). Proble: Wieviele verschiedee Möglichkeite gibt es, aus diese Eleete Stücke herauszugreife ud azuorde (verschiedee Aorduge der gleiche Eleete gelte als verschiede). Wiederholuge sid dabei ausgeschlossse. Ma spricht vo Perutatioe vo Eleete zur Klasse ohe Wiederholuge. Beispiel: = 4, = ud a 1, a, a 3, a 4 seie die Objekte. Die Möglichkeite sid a 1, a a 1, a 3 a 1, a 4 a, a 3 a, a 4 a 3, a 4 a, a 1 a 3, a 1 a 4, a 1 a 3, a a 4, a a 4, a 3

17 1. DIE REELLEN ZAHLEN 0 Es gibt also 1 Möglichkeite. Tatsache: Die Azahl P, der Perutatioe vo Eleete zur Klasse ist P, = ( 1) ( )... ( + 1). Für = ist also: P, = ( 1)... 1 =! (s. 1..3) Beweis: Für das erste herauszugreifede Eleet gibt es Möglichkeite, für das zweite die och verbliebee 1 Möglichkeite usw. Schließlich verbleibe für das -te herauszugreifede Eleet och + 1 Möglichkeite. Diese Azahle ultipliziere sich ud a erhält ( 1)... ( + 1) Möglichkeite. Schließlich: Für = ist + 1 = 1. Übug: Ma ache aus diese Arguete eie foral korrekte Iduktiosbeweis. Aschauliche Variate des Probles: Gegebe seie Persoe ud durchuerierte Sitze,. Da: Es gibt ( 1)... ( + 1) Möglichkeite, die Persoe auf die Sïtze zu plaziere. (Oder: Möglichkeite, die Persoe i Reih ud Glied zu eier Reihe vo Persoe aufzustelle.) I Spezialfall = : Es gibt! verschiedee Möglichkeite, verschiedee Eleete durchzuueriere (bzw. azuorde) Perutatioe it Wiederholuge Proble: Sei ud aus N. Es seie verschiedee Eleete gegebe ud jedes davo liege i beliebig viele (idstes aber ) idetische Exeplare vor. Wieviele verschiedee Möglichkeite gibt es, daraus Stück herauszugreife ud azuorde? Aschaulich: Wieviele Wörter aus Buchstabe ka a aus eie -eleetige Alphabet bilde? ( Perutatio vo Eleete zur Klasse it Wiederholuge ) Beispiel: = 4, = wie i Die Möglichkeite sid a 1, a 1 a, a a 3, a 3 a 4, a 4 plus die 1 Möglichkeite aus Isgesat also 16 Möglichkeite. Tatsache 1: Die Azahl der Perutatioe vo Eleete zur Klasse it Wiederholuge ist P, =.

18 1. DIE REELLEN ZAHLEN 1 Beweis: Für jede der Plätze hat a uabhägig vo der Besetzug der adere Plätze Möglichkeite. Das ergibt {z... } = Möglichkeite. Faktore Beispiel: Aus de 6 Buchstabe des deutsche Alphabets ka a foral 6 5 = buchstabige Wörter bilde. Eie Mischug aus de bisherige Problee hat a, we die Azahle vo Wiederholuge vorgeschriebe sid: Gegebe seie k verschiedee Eleete a 1,..., a k. Vo a j gebe es j idetische Exeplare, j = 1,..., k. Proble: Wieviele verschiedee Möglichkeite gibt es, die isgesat k Eleete azuorde? Diese Azahl sei P 1,,..., k geat. Tatsache : Es ist P 1,,..., k = ( k )! 1!!... k! Beweis: Sei = k. Gibt a de idetische Exeplare Markieruge, so daß alle Eleete verschiede sid, so gibt es ach Tatsache 1 i gerade! verschiedee Aorduge. Bei eier Aordug gibt es j! Möglichkeite, die j Exeplare vo Typ a j utereiader zu vertausche. Diese Vertauschuge liefer aus eier Aordug j! verschiedee Aorduge. Etfert a jedoch die Markieruge, so ergebe alle diese j! Möglichkeite ur eie Möglichkeit für user Proble. Daher: Etfert a die Markieruge bei de a 1, bleibe och! die Markieruge bei de a, bleibe Möglichkeite usw. Etfert a schließlich alle Markieruge, so bleibe och! 1!!! 1!!... k! Möglichkeite. 1! Möglichkeite, etfert a och Spezialfall: = k, j = 1 für j = 1,...,. Das ist der Spezialfall = aus Beispiel: Wieviele 6-ziffrige Zahle lasse sich aus 1,1,,,,3 bilde? Hier ist k = 3, a 1 = 1, a =, a 3 = 3, 1 =, = 3, 3 = 1. Also: Es gibt P,3,1 = 6! = 60 Möglichkeite.!3!1! Kobiatioe ohe Wiederholuge Proble: Gegebe, N,. Matheatisch: Wieviele eleetige Teilege gibt es i eier -eleetige Mege? Statistisch: Wieviele verschiedee Stichprobe vo Eleete ka a aus eier Mege vo Eleete etehe? Aschaulich: Wieviele verschiedee Möglichkeite gibt es, zahle aus Zahle auszusuche? Auf die Reihfolge kot es diesal icht a,

19 1. DIE REELLEN ZAHLEN Also z.b.: Wieviele verschiedee Tipp-Möglichkeite gibt es bei eie Lotto aus (etwa 6 aus 49)? ( Kobiatioe vo Eleete zur Klasse ) Tatsache: Die Azahl K, der Kobiatioe vo Eleete zur Klasse ist K, = ( 1) ( )... ( + 1)! =!!( )! Beweis: Zieht a Zahle aus, so gibt es ach ( 1)... ( + 1) Möglichkeite, we die Aordug berücksichtigt wird. Läßt a die Aordug uberücksichtigt, so falle jeweils alle! Möglichkeite (Spezialfall i 1.4.1), die aus alle Perutatioe eier Aordug bestehe, zu eier eizige Möglichkeit useres Probles zusae. ( 1)... ( + 1) Daher: Bei usere Proble gibt es Möglichkeite.! ( 1)... ( + 1)! Schließlich och: Es ist =!!( )! (Kürze die Faktore vo ( )! weg.) Das Beispiel für die Lottospieler: = verschiedee Tipp-Möglichkei- I Lotto 6 aus 49 gibt es te. Die Wahrscheilichkeit, it eie Tipp eie 6-er zu erziele, ist also 1 0, Defiitio: Seie, N,. ( )! Ma schreibt (sprich über ) für!( )!. ( ) Die Zahle heiße Bioialkoeffiziete (s ). Der ( ) Vollststädigkeit halber defiiert a och: := 1, we = 0 ud = 0, 1,,... 0 ( ) ( ) Beerke auch =. ( ) Noch eie Iterpretatio vo : Betrachte {1,,..., } =:. Zu jeder Mege vo Zahle aus gibt es geau eie Möglichkeit, sie der Größe ach azuorde. (So ageordet werde us z.b( die) Lottozahle itgeteilt.) Aus dieser Überlegug ergibt sich folgede Iterpretatio vo : ( ) ist die Azahl der Möglichkeite, Folge vo verschiedee ud der Größe ach ageordete Zahle aus de Zahle 1,,..., zu bilde (a spricht auch vo streg ooto wachsede -Folge aus ).

20 1. DIE REELLEN ZAHLEN Kobiatioe it Wiederholuge Proble Seie, N ud es seie verschiedee Objekte a 1, a,..., a betrachtet. Vo jede der a j seie idestes idetische Exeplare vorrätig. Wieviele verschiedee Möglichkeite gibt es, Eleete aus de Vorrat zu etehe (auf die Reihefolge kot es icht a)? ( Kobiatioe vo Eleete zur Klasse it Wiederholuge) Tatsache: Die gesuchte Azahl ist ( ) + 1 K, = = ( + 1)( + ) ( + 1),!. (Beweis it vollstädiger Iduktio) Beispiel: Das Doiospiel besteht aus Steie, auf dee jeweils ei Paar vo Zahle aus 0, 1,..., 6 vererkt sid (Paare it zwei ( ) gleiche Zahle erlaubt). 8 Hier ist = 7, =, ud es gibt = 8 7 = 8 verschiedee Doiosteie. Eie weitere Iterpretatio vo K, : K, ist die Azahl der lexikographisch geordete Folge vo Zahle aus {1,,.., }, Wiederholuge zugelasse. I Falle = 3, = 5 sid das z.b. die Folge ( ) ( ) Es sid = = 1 Stück Bioischer Lehrsatz Tatsache 1: Für, N, gilt: ( ) ( ) ( ) + 1 = + 1 Wir gebe zwei uterschiedliche Beweise. (1) Foraler Beweis:!!! + = 1!( )! +! ( 1)!( + 1)! = Haupteer =!( + 1) +!!( + 1)! =!( )!( + 1)!!( + 1)!( + 1)! = ( + 1)! (!)( + 1)! = + 1! () Ihaltlicher Beweis, it Iduktio (vgl. de Beweis der Tatsache i 1..5 ):

21 1. DIE REELLEN ZAHLEN 4 Die -eleetige Teilege eier ( + 1)-eleetige Mege, etwa M = {1,...,, + 1}, bestehe aus Type: 1. Typ: Die -eleetige Teilege, die + 1 icht ethalte. Das sid die -eleetige Teilege vo {1,,..., } ud davo gibt es `.. Typ: Die -eleetige Teilege, die + 1 ethalte. Sie erhält a, ide a zu de ( 1)-eleetige Teilege vo {1,..., } jeweils + 1 hizufügt. Es sid also so viele, wie es 1-eleetige Teilege i {1,..., } gibt, also ` k 1 Stück.!!! + 1 Isgesat ist deach = +. 1 Aus dieser Tatsache ergibt sich das sogeate Pascalsche Dreieck: ( ), = 0, 1,,..., Bidugsprizip: Jede Nichteis i Dreieck ist die Sue der beide Zahle, die liks ud rechts darüberstehe.

22 1. DIE REELLEN ZAHLEN 5 Satz: (Bioischer Lehrsatz) Für alle a, b R gilt ( ) (a + b) = a b =! =0 ( ) ( ) = a + a 1 b + a b a b ab 1 + b Wieder gebe wir zwei alterative Beweise: 1. Beweis: Foral durch Iduktio: Für = 0 ud = 1 stit die Forel. Sie sei für 1 als richtig vorausgesetzt. Da gilt für + 1 ; (a + b) +1 = (a + b) (a + b) = ( X =0! a b )(a + b) = ausultipliziert a b +1. Nach de Ausultipliziere gibt es i de gepuktete Teil der etstehede Sue! für alle = 1,,..., geau zwei Suade i dee der Faktor a +1 b auftritt, älich a +1 b!!! ud a +1 b. Geäß der Tatsache ist ihre Sue ( + )a +1 b = 1 1!! + 1 a +1 b + 1. Soit ist der Koeffiziet vo a +1 b i der Forel für (a+b) +1, wie behauptet.. Beweis: Direkt durch Eisicht ittels : Bei völlige Ausultipliziere vo (a+b) erhält a als Suade alle Produkte aus Faktore, wo alle Faktore etweder a oder b sid ud wo diese beide Type vo Faktore a alle ögliche Stelle stehe köe. (Es gibt solche Suade geäß 1.4..) Ei solcher Suad ist ach etsprecheder Uordug der Faktore gleich a b geau da, we geau der ögliche Faktorstelle durch b besetzt sid. Also: Es gibt geau so viele Suade des Typs a b wie es Möglichkeite! gibt, i eier Folge vo Stelle Stelle auszuwähle. Nach ist diese Azahl gleich, wie behauptet. Tatsache Für die Bioialkoeffiziete gelte och folgede Regel: =0 ud für 1 ( ) = =0 gerade Beweis: = (1 + 1)! = 0 = (1 1) = 1 + ` ( ) ( ) =... + = =0 ugerade ( ) =, ( ) = 1! X ach de bioische Lehrsatz, ud = ( 1) ` ( 1) 1 + ( 1).

23 1. DIE REELLEN ZAHLEN Aufgabe Aufgabe 1. Bestie Sie folgede Mege: a) {1, 3, 5, 7} {, 4, 6, 8} b) {1, 3, 5, 7} {, 4, 6, 8} c) {1, 3, 5, 7} \ {, 4, 6, 8} d) [1, ] [, 3] e) [1, ] ], 3] f) [1, [ ], 3] g) [ 1, 5 ] ] 3, 3] h) [ 1, 5 ] [ \ 3, 3] i) [ 1, 5 ] ] \ 3, 3] Aufgabe. Bestie Sie alle reelle Zahle x, welche der Ugleichug geüge. 1 x x 3 Aufgabe 3. Zeige Sie, dass das geoetrische Mittel zweier positiver Zahle a ud b stets kleier oder gleich de arithetische Mittel ist: ab a + b < 1 Aufgabe 4. a) Gebe Sie de Ausdruck 100 ± 10% als Itervall a. b) We ei Produkt icl. 16% MwSt. 100 EUR kostet, wie hoch ist da der Netto-Preis? Aufgabe 5. I Lad x gibt es Briefarke vo 5 Cet a aufwärts bis zu 99,95 EUR i Abstäde vo jeweils 5 Cet. Isgesat gibt es also 1999 uterschiedliche Briefarke. Wieviel Geld uß ei Saler für dere Erwerb ausgebe? Aufgabe 6. Ei Guthabe vo EUR soll als Rete ausgezahlt werde. Dazu wird das Guthabe festverzist it eie jährliche Zissatz vo 8% agelegt, ud es wird zu Ede jede Jahres eie Rete R ausgezahlt. a) Wie hoch fällt die jährliche Rete aus, we das Guthabe ach 0 Jahre aufgebraucht sei soll? b) Wie uß a reche, we die Rete jeweils a Begi des Jahres ausgezahlt werde soll? Aufgabe 7. a) I eier Stadt fiele i Jahr 004 geau 100 Eiheite Müll a. Eie Statistik über die letzte 0 Jahre ergibt, dass die Müllproduktio jährlich u 5% wächst. Wieviel Müll wird ach dieser Statistik voraussichtlich i Jahr 034 produziert? b) Die Müllverbreugsalage der Stadt ist zur Zeit voll ausgelastet (d.h. sie verbret jährlich geau 100 Eiheite). Der i de ächste Jahre afallede überschüssige Müll soll auf eier eu azulegede Depoie gelagert werde. Wie groß ist die Depoie auszulege, dait sie geug Kapazität für die ächste 30 Jahre bereitstellt?

24 1. DIE REELLEN ZAHLEN 7 Aufgabe 8. Ma bereche die Bioialkoeffiziete ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,, ( ) 4, 6 ( ) 5 3 Aufgabe 9. Wieviele 6-stellige Telefouer köe aus de Ziffer 0,..., 9 gebildet werde? Aufgabe 10. Wieviele uterschiedliche Steie sid i eie Doiospiel, welches die Ziffer 0,..., 9 verwedet? Aufgabe 11. Wieviele uterschiedliche Wörter ka a aus de Buchstabe des Wortes MIS- SISSIPPI bilde? Aufgabe 1. Für eie Abstiug (ja/ei) uter 10 Persoe gibt es isgesat 10 ögliche Ergebisse. Wieviele dieser Fälle würde ei positives Ergebis liefer (d.h. i wieviele Fälle ist die Azahl der ja-stie größer als die Azahl der Nei-Stie)?