Darstellungsformen von Zahlen

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1 Darstellungsformen von Zahlen Teilnehmer: Lukas Deubel Christoph Gehrke Leon Ochmann Anastasia Prokudina Matthias Salz Maximilian Schade Gruppenleiter: Jürg Kramer Anna v Pippich Giovanni De Gaetano Immanuel-Kant-Oberschule, Berlin Heinrich-Hertz-Oberschule, Berlin Herder-Oberschule, Berlin Käthe-Kollwitz-Oberschule, Berlin Käthe-Kollwitz-Oberschule, Berlin Heinrich-Hertz-Oberschule, Berlin Humboldt-Universität zu Berlin Mitglied im DFG-Forschungszentrum Matheon Mathematik für Schlüsseltechnologien Humboldt-Universität zu Berlin Mitglied im DFG-Forschungszentrum Matheon Mathematik für Schlüsseltechnologien Humboldt-Universität zu Berlin Seitdem Menschen zählen, sind die unterschiedlichsten Zahlsysteme zur Darstellung von Zahlen entstanden Die uns heute vertraute Darstellung ist die Dezimaldarstellung In unserem Alltag begegnen uns jedoch auch andere Darstellungen, wie beispielsweise die Binärdarstellung in unseren Rechnern, dh die Darstellung einer Zahl zur Basis 2 Neben den vielen Vorteilen der Dezimaldarstellung hat diese auch Nachteile Zum Beispiel können rationale Zahlen sowohl abbrechende als auch periodische Dezimalbruchentwicklungen besitzen Auÿerdem gibt es Darstellungsformen, die irrationale Zahlen wesentlich eektiver approximieren als die Dezimaldarstellung Die sogenannten Kettenbrüche liefern eine Darstellungsform reeller Zahlen, mit der die oben genannten Nachteile des Dezimalsystems behoben werden Wir werden beweisen, dass die rationalen Zahlen genau durch die abbrechenden Kettenbrüche charakterisiert werden Desweiteren werden wir sehen, dass irrationale Zahlen durch Kettenbrüche optimal approximiert werden Interessant ist jetzt die Frage nach den irrationalen Zahlen, welche durch periodische Kettenbrüche dargestellt werden Das einfachste Beispiel ist der Kettenbruch [;,,, ]; es zeigt sich, dass dieser Kettenbruch die quadra- 33

2 tische Irrationalität ω = (+ 5)/2 darstellt Allgemeiner werden wir zeigen, dass die periodischen Kettenbrüche genau den Lösungen quadratischer Gleichungen mit ganzzahligen Koezienten entsprechen Schlieÿlich wollen wir die sogenannte Farey-Benachbartschaft und sogenannte Farey-Folgen untersuchen Die g-adische Zahldarstellung Zuerst erinnern wir an zwei wichtige Sätze der elementaren Zahlentheorie Die sogenannte Division mit Rest besagt, dass für gegebene Zahlen a, b N mit b 0 eindeutig bestimmte Zahlen q, r N mit a = q b + r, r < b existieren Der Euklidische Algorithmus besteht in fortgesetzter Division einer Zahl r 0 N mit Rest durch r N, wie folgt: r 0 = a 0 r + r 2, 0 < r 2 < r r = a r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2 r n = a n r n + r n+, 0 < r n+ < r n r n = a n r n+, r n+2 = 0 Da die Folge (r i ) der auftretenden Reste streng monoton fallend ist und nur natürliche Zahlen enthält, gibt es einen Rest, der gleich Null ist, sagen wir r n+2 = 0 Somit endet der Euklidische Algorithmus und man zeigt leicht, dass der letzte von Null verschiedene Rest, dh r n+, der gröÿte gemeinsame Teiler von r 0 und r ist Möchte man nun eine reelle Zahl identizieren, zb um sie schriftlich zu übermitteln, so benötigt man ihre Darstellung bzgl einer Basis g Satz Es sei g N > Jede reelle Zahl c besitzt eine Darstellung der Form l c = a i g i + b i g i, (a i, b i {0,, g }) i=0 i= Diese Darstellung heiÿt die g-adische Darstellung von c und wir schreiben auch c = a l a 0, b b 2 34

3 Beweis Wir schreiben die reelle Zahl c zunächst als Summe ihres ganzen Anteils [c] Z und ihres gebrochenen Anteils {c} [0, ): c = [c] + {c} Für den gebrochenen Anteil {c} erhalten wir schrittweise: {c} = b g +r, r = b 2 g 2 +r 2, r 2 = b 3 g 3 +r 3, (r i R, r i < g i ), dh b = [g{c}], b 2 = [g 2 r ], b 3 = [g 3 r 2 ], usw Somit ergibt sich insgesamt {c} = b i g i, (b i {0,,, g }) i= Analog ergibt sich für den ganzen Anteil mit Hilfe von Divison mit Rest [c] = l a i g i, (a i {0,,, g }); i=0 hierbei ist l N die gröÿte natürliche Potenz mit g l < [c] Somit ergibt sich insgesamt die behauptete Darstellung Die rationalen Zahlen lassen sich nun wie folgt charakterisieren Satz 2 Die g-adische Darstellung einer reellen Zahl c ist endlich oder periodisch genau dann, wenn c rational ist Beweis Besitzt die g-adische Darstellung von c R genau k (k N) Nachkommastellen, dann können wir c = c mit c Z schreiben Somit ist c als g k Quotient zweier ganzer Zahlen selbst rational Ist die g-adische Darstellung von c R jedoch periodisch mit Periodenlänge p N >0, dann können wir die Periode eliminieren, indem wir die Dierenz z := c g p c bilden Da z per Konstruktion eine endliche g-adische Darstellung besitzt, ist z rational und somit ist auch c = z rational g p Ist umgekehrt eine rationale Zahl c = a gegeben, so berechnet sich die g- b adische Darstellung rekursiv: a = q 0 b + r 0 (r 0 < b, r 0 {0,,, b }); g i+ r i = q i+ b + r i+ (r i < b, r i {0,,, b }; i 0) 35

4 Man erkennt, dass es nur b mögliche Reste für die Reste r i gibt, sodass es nach dem Schubfachschluss zu einer Wiederholung kommen muss Folglich wiederholen sich die Reste ab der ersten dieser Stellen, sprich die g-adische Darstellung von c ist periodisch Umfasst die Periode nur Nullen, dann ist die g-adische von c Darstellung abbrechend Satz 3 Eine rationale Zahl q = a (a, b Z mit ggt(a, b) = ) hat eine b endliche g-adische Darstellung genau dann, wenn b als Primteiler nur die Primfaktoren von g besitzt Beweis Falls b als Primteiler nur die Primfaktoren von g besitzt, erkennt man durch geeignetes Erweitern des Bruches a sofort, dass die zugehörige b g-adische Darstellung endlich ist Besitzt q = a umgekehrt eine endliche b g-adische Darstellung, so können wir wieder q = q mit c Z und k N g k schreiben, dh es gilt a g k = q b Da b ( q b), folgt sofort b (a g k ), und wegen ggt(a, b) = muss somit b g k gelten Dies beweist die Behauptung 2 Kettenbrüche 2 Darstellung rationaler Zahlen Wir beginnen mit dem folgenden Beispiel 37 3 = 2 + = = Die platzsparende Notation = [2;, 5, 2] = [2;, 5, 2] verallgemeinert man wie folgt Denition 2 Wir denieren einen endlichen Kettenbruch über ] [a 0 ] := a 0, [a 0 ; a,, a n, a n ] := [a 0 ; a,, a n 2, a n + an Dabei ist in allgemeinster Form a i R, es wird aber meist angestrebt, dass a 0 Z und a i N\{0} für alle i > 0 ist 36

5 Bemerkung Aus der Denition ergibt sich die ausgeschriebene Form [a 0 ; a, a 2, ] = a 0 + a + a 2 + Damit lässt sich die Bezeichnung Kettenbruch nachvollziehen Algorithmus (Euklidischer Algorithmus) Es ist der Bruch r 0 r, r 0 Z, r N\{0} als Kettenbruch [a 0, a,, a n ] mit a 0 Z und a i N\{0} für i darzustellen Wähle dazu a i und r i, sodass: r 0 = a 0 r + r 2, r = a r 2 + r 3, r j = a j r j + r j+, r j =a j r j+ [ ] { } r Allgemein ndet sich also a i = i r i+ und r i+ r, r i+2 = i r i+ bis r i+ r i+2 Z Dass dieses Verfahren einen Kettenbruch mit [a 0 ; a,, a j ] = r 0 r liefert, zeigt vollständige Induktion Trivialerweise ist ein endlicher Kettenbruch mit ganzen a i, i N, stets eine rationale Zahl Damit gilt der folgende Satz 22 Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher Kettenbruch darstellen und jeder endliche Kettenbruch notiert eine rationale Zahl Bemerkung Die Darstellung einer rationalen Zahl als Kettenbruch ist jedoch nicht eindeutig; zum Beispiel gilt r 0 r = [a 0 ; a,, a j ] = [a 0 ; a,, a j, ], da a j = (a j )+ ; damit lässt sich stets eine zweite Darstellung nden Verbietet man jedoch die als letztes Element, so ist die Kettenbruchdarstellung in der Tat eindeutig, wie später gezeigt wird 22 Unendliche Kettenbrüche Wir wollen auch zu einer irrationalen Zahl eine Kettenbruchdarstellung nden Da jeder endliche Kettenbruch eine rationale Zahl notiert, müssen wir zunächst unendliche Kettenbrüche denieren Denition 23 Für eine Folge ganzer Zahlen (a i ) i N, a i > 0 für alle i > 0, ist der unendliche Kettenbruch deniert als [a 0, a, ] := lim i [a 0, a,, a i ] 37

6 Wir wollen nun die Konvergenz der unendlichen Kettenbrüche nachweisen Dazu werden wir zunächst den i-ten Kettenbruch in einer anderen Form darstellen, die es uns erlaubt, Aussagen über die Konvergenz zu treen Dies geschieht über Näherungsbrüche A i = p i q i, die wir wie folgt denieren: p 2 := 0, p :=, p i := a i p i + p i 2 q 2 :=, q :=0, q i := a i q i + q i 2 (2) Lemma 24 Für alle i N gilt mit einem X R die Gleichheit [a 0 ; a,, a i, X] = p i X + p i 2 q i X + q i 2 Beweis Der Beweis erfolgt mit Hilfe vollständiger Induktion unter Anwendung der Rekursionsvorschriften (2) Der Spezialfall X = a i beschert uns nun das Gewünschte: [a 0 ; a,, a i ] = p i q i = A i Mit Hilfe vollständiger Induktion beweist man nun das folgende Lemma Lemma 25 Es gelten die äquivalenten Gleichungen p i q i p i q i = ( ) i, ( i, i Z), (22) Weiter gilt A i A i = ( )i q i q i, A i A i 2 = ( )i a i q i 2 q i ( i, i N) ( i 2, i N) Dieses Lemma besagt, dass die Näherungsbrüche A i alternieren und die Abstände zudem für i gegen 0 gehen, da q i i für alle i gilt Dies besagt, dass alle A i mit geradem i streng monoton wachsen und alle A i mit ungeradem i 3 streng monoton fallen Es ergibt sich somit für die Näherungsbrüche A i die Ungleichungen A 0 < A 2 < A 4 < < A 5 < A 3 < A 38

7 Da beide Teilfolgen (A 2n ) n N und (A 2n+ ) n N durch die Glieder der jeweils anderen Folge beschränkt und streng monoton sind, müssen beide konvergieren; da der Abstand wie oben bemerkt gegen 0 geht, konvergiert die gesamte Folge (A n ) n N gegen einen Grenzwert α Es bleibt zu zeigen, dass dieser Grenzwert irrational ist Angenommen, α = a mit a Z, b N\{0} Da wir b wissen, dass A i α für alle i 0 gilt, folgt bq i aq i bp i bq i = α A i < A i+ A i = q i q i+ Damit folgt q i+ < b für alle i 0 Dies ist aber unmöglich, da die Folge (q i ) i N unbeschränkt ist Zusammenfassend haben wir somit folgenden Satz 26 Ein unendlicher Kettenbruch [a 0 ; a, ] mit ganzzahligem a 0 und natürlichen a i für i notiert eine irrationale Zahl Bemerkung Der Beweis der Konvergenz eines jeden unendlichen Kettenbruchs berechtigt uns zur Denition Darstellung irrationaler Zahlen Da uns bei der Darstellung einer rationalen Zahl der Euklidische Algorithmus zu den Kettenbruchelementen verholfen hat, versuchen wir zunächst, diesen sinnvoll auf eine irrationale Zahl α 0 zu erweitern: Algorithmus Es sei α i = r i r i+, a i = [α i ] und α i+ = {α i } Dann schreibt sich der Euklidische Algorithmus wie folgt: α i = a i + α i+ Dabei ist oensichtlich α i > für alle i und α i / Q Auÿerdem ist a 0 Z und a i N\{0} für alle i Lemma 27 Für alle i N mit aus obigem Algorithmus gefundenen a i und α i gilt α = [a 0 ; a,, a i, α i ] Der Beweis dieses Lemmas erfolgt wieder über vollständige Induktion Dabei ist das letzte Element des endlichen Kettenbruchs jedoch noch irrational 39

8 Satz 28 Jedes α R lässt sich eindeutig als Kettenbruch darstellen Im endlichen Fall (also α Q) muss die als letztes Glied eines mindestens zweigliedrigen Kettenbruchs ausgeschlossen werden Beweis Es ist zuerst noch zu zeigen, dass sich jedes irrationale α eindeutig in einen Kettenbruch entwickeln lässt Wir notieren α i wie in Lemma 27, sodass α = [a 0 ; a,, a i, α i+ ] gilt Nach Lemma 24 gilt Daraus folgern wir α p i q i = was die Abschätzungen α = p iα i+ + p i q i α i+ + q i q ip i p i q i q i (q i α i+ + q i ) α A i < (22) = ( ) i q i (q i α i+ + q i ), q i (q i + ) i(i + ) (23) impliziert Damit ist α der Grenzwert der Näherungsbruchfolge, dh es gilt lim i A i = α Es muss noch gezeigt werden, dass die Darstellung auch eindeutig ist Dies geschieht mittels Beweis durch Widerspruch und vollständiger Induktion Wir nehmen also an, es gebe die folgenden zwei Kettenbruchentwicklungen: [a 0 ; a, ] = α = [a 0; a, ] Wir betrachten nun die Aufgabe, die Elemente des Kettenbruchs zu einem α i zu bestimmen und bedienen uns dabei voriger Überlegungen Dann muss wie im beschriebenen Algorithmus a i +α i+ = a i +α i+ gelten Daraus folgt aber, da 0 < α i+, α i+ < ist, dass a i = a i gelten muss, die ersten beiden Elemente also gleich sind Nun ist das Problem auf das Problem der Darstellung der α i+ und α i+ zurückgeführt, wo dieselben Überlegungen wieder angestellt werden können Damit müssen sich beide Darstellungen gleichen und der Beweis durch Widerspruch ist vollbracht Diese Überlegungen sind auch auf die Darstellung rationaler Zahlen übertragbar Dabei sind zwei Punkte zu beachten: Erstens muss wie oben bemerkt das letzte Element der Kettenbrüche ungleich sein Zweitens muss die Möglichkeit unterschiedlicher Gliederanzahlen der beiden Darstellungen in Betracht 40

9 gezogen werden In diesem Fall muss jedoch mit Längen i und mindestens i + gelten, dass a i a i = α i+ (0; ) gilt, da α i+ > Dies ist allerdings ein Widerspruch zur Ganzzahligkeit von a i und a i Bemerkung Wie die Approximation (23) besagt, lässt sich eine reelle Zahl α durch die Näherungsbrüche A i deutlich besser approximieren als durch Näherungsbrüche, die aus einer g-adischen Darstellung gewonnen werden Für den Satz von Lagrange benötigen wir zuerst die Denition 2 Eine Zahl x ist genau dann reell-quadratisch, wenn Koezienten A, B, C Z, A 0 existieren, sodass Ax 2 + Bx + C = 0 gilt, wobei die Diskriminante B 2 4AC > 0 und keine Quadratzahl ist Satz 29 (Satz von Lagrange) Jede reell-quadratische Irrationalzahl α hat einen unendlichen periodischen Kettenbruch Bemerkung Um Satz 29 zu beweisen, wird zunächst ein quadratisches Polynom mit α als Nullstelle hergeleitet Dann wird gezeigt, dass nach der obigen Nomenklatur alle α i Lösungen von quadratischen Gleichungen mit derselben Diskriminante sind Auÿerdem kann gezeigt werden, dass die Anzahl der möglichen Koezienten der Gleichungen beschränkt ist Damit gibt es für die unendlich vielen α i nur endlich viele mögliche Werte; daraus folgt nach dem Dirichletschen Schubfachprinzip, dass für ein i ein h N mit α i = α i+h existiert, woraus wiederum a i = a i+h folgt Damit ist der Kettenbruch periodisch und der Satz bewiesen Bemerkung Die Umkehrung des Satzes 29 ist ebenfalls gültig und wurde von Euler bewiesen 3 Goldener Schnitt und Farey-Folgen 3 Ein Beispiel: der Goldener Schnitt Der einfachste unendliche Kettenbruch, auf den aber bisher noch nicht eingegangen wurde, ist der Kettenbruch, der ausschlieÿlich aus Einsen besteht: [; ] =

10 Da die Zahl x, die unter dem ersten Bruchstrich steht, aufgrund der besonderen Gestalt des Kettenbruches genau gleich diesem ist, ergibt sich die Gleichung: x = + x x2 x = 0 Diese Gleichung hat die Lösungen x,2 = 2 ± + ( ) 2 = ± Somit folgt, dass [; ] = x gleich dem goldenen Schnitt Φ ist; die negative Lösung x 2 ist die Gegenzahl des kleinen goldenen Schnitts φ Bemerkung Auf die gleiche Weise kann man auch andere periodischen Kettenbrüche berechnen: man formt die Gleichung so um, dass der ganze Kettenbruch wieder dem unteren Teil des Bruches entspricht, setzt diesen Teil mit dem Gesamten gleich und löst die entstehende quadratische Gleichung Wir erinnern nun an die folgende Denition Denition 3 Der Mediant zweier Brüche a b Betrachten wir nun die Folge a b a b = a + a b + b und a b ist gegeben durch ; 2 ; 3 2 ; 5 3 ; 8 5 ; 3 8 ; 2 3 ; 34 2 ; ; ; ; ; der Näherungsbrüche (A i ) von [; ], so beobachten wir, dass jedes Folgenglied der Mediant seiner beiden Vorgänger ist 32 Farey-Folgen In diesem Zusammenhang tritt eine Eigenschaft zu Tage, die für eine bestimmte Folgen typisch sind, die sogenannten Farey-Folgen Denition 32 Die n-te Farey-Folge F n ist die geordnete Menge aller vollständig gekürzten Brüche 0 a, deren Nenner nicht gröÿer als n ist, b angeordnet vom kleinsten bis zum gröÿten Bruch 42

11 Die ersten drei Farey-Folgen sind: { 0 F =, }, F 2 = { 0, 2, } { 0, F 3 =, 3, 2, 2 3, } Aus dieser Aufzählung lassen sich zwei Vermutungen ableiten: Zum Einen fällt auf, dass diese Mengen gewissermaÿen symmetrisch sind: Addiert man zwei Farey-Brüche derselben Farey-Folge, die gleich weit vom Zentrum 2 entfernt sind, so erhält man stets Die Zahl stellt also gewissermaÿen 2 die Symmetrieachse einer Farey-Folge dar Eine weitere Auälligkeit besteht darin, dass der Betrag der Dierenz a b b a zweier aufeinanderfolgender Brüche a, a einer Farey-Folge stets ist b b Denition 33 Zweier beliebige Brüche a a und b b wenn a b a b = bb oder äquivalent dazu a b ab = gilt Satz 34 Zwei aufeinanderfolgende Brüche a, a b b Farey-benachbart heiÿen Farey-benachbart, in einer Farey-Folge sind Beweis Es seien a < a benachbarte Farey-Brüche Da ggt(a, b) = gilt, b b existieren x, y N mit bx ay = Wenn (x 0, y 0 ) eine Lösung dieser Gleichung ist, trit das auch für (x 0 + t a, y 0 + t b) zu Also ist der Abstand zweier aufeinanderfolgender y-werte y t+ y t = b Demnach gibt es eine Lösung (x, y), sodass 0 n b < y n gilt Da x, y N und beide im richtigen Bereich liegen, ist x F y n, also: x y = bx by = ay + by = a b + by > a b Angenommen es gilt x > a, dann folgt y b by = x y a ( ) ( x b = y a a + a ) b b b b y + = b + y bb b by > n b by by = b x a y b y + ba ab bb 43

12 Dies ist ein Widerspruch, also war unsere Annahme falsch und wir folgern a b < x y a b = x y = a b = x = a ; y = b = a b ab = Dies beweist die Behauptung Farey-Folgen besitzen folgende weitere Eigenschaften Satz 35 Jeder Bruch einer Farey-Folge ist Mediant seiner beiden Nachbarn Beweis Dies zeigt man durch eine elementare Rechnung Satz 36 Es seien a b, a b Farey-benachbarte Brüche mit a b < a b Dann gilt: a b < a + a b + b < a b Zudem ist a+a b+b der Bruch zwischen a b und a b mit dem kleinsten Nenner Beweis Dies zeigt man durch eine elementare Rechnung Mit Hilfe von Farey-Folgen lässt sich schlieÿlich der folgende Approximationssatz von Dirichlet beweisen Satz 37 Es seien α R und n N Dann existieren p, q Z mit ggt(p, q) = und 0 < q < n derart, dass gilt: α p q q(n + ) Literatur [] P Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, Berlin, 998 [2] B Werner, Kettenbrüche Probevorlesung für Erstsemester, Online-Skript,

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