Von den rationalen zu den reellen Zahlen

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1 Skript zur Schülerwoche 016, zweiter Tag: Von den rationalen zu den reellen Zahlen Dr. Mira Schedensack 1. September Einführung Dieser Vorlesung geht von der Menge der rationalen Zahlen aus und definiert die reellen Zahlen. Der Ausgangspunkt für die Definition von Zahlen ist die Menge der natürlichen Zahlen N := {1,, 3,... }. In dieser Menge können Zahlen addiert werden. Will man aber beliebige Zahlen subtrahieren, dann liegen Ergebnisse eventuell nicht in N, sondern in der Menge der ganzen Zahlen Z := {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...}. In dieser Menge kann man Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren und das Ergebnis liegt immer in Z. Die Division führt aber auf Zahlen, die nicht mehr in Z, sondern in der Menge der rationalen Zahlen { } p Q := q p Z, q Z liegen. In dieser Menge können Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden und das Ergebnis ist immer eine Zahl in Q. Es gibt allerdings auch hier Rechenoperationen, die kein Ergebnis in Q haben, wie zum Beispiel das Wurzelziehen. Seit der Antike ist bekannt, dass es beispielsweise keine Zahl r Q gibt, die r = erfüllt, d.h. / Q. Warum glauben wir aber, dass es eine Zahl r gibt (wobei wir von dem ausgehen, was wir intuitiv unter dem Wort Zahl verstehen) mit r =? Warum glauben wir nicht, dass es eine Zahl r gibt mit r = 1? Um diese Frage zu beantworten und die reellen Zahlen mathematisch korrekt zu definieren, wenden wir uns als erstes Grenzwerten von Folgen zu. Rationale Folgen und ihre Grenzwerte Definition 1 (Rationale Folge). Eine Folge (x n ) n N = (x 1, x, x 3,...) in Q besitzt für jedes n N ein Folgenglied x n Q. Definition (Cauchy-Folge). Eine Folge (x n ) n N in Q heißt Cauchy-Folge, falls für jedes ɛ > 0 ein N N derart exisitiert, dass für alle m, k N gilt, dass x m x k < ɛ. 1

2 x n ε 1 ε ε3 M 1 M M 3 n x n ε 1 ε ε 3 M 1 M = M 3 n Abbildung 1: Bildliche Darstellung zweier Cauchy-Folgen. Für jedes ɛ > 0 liegen ab einem gewissen Folgenglied x M alle weiteren Folgenglieder in einem Intervall der Länge ɛ. Die Definition einer Cauchy-Folge besagt also, dass für ein beliebig kleines Intervall alle Folgenglieder x N+1, x N+, x N+3,... in diesem Intervall liegen falls N groß genug ist. Beispiel 3. Wir definieren nun folgende Folge: Sei a 0 := 1 und b 0 :=. Wir nehmen an, dass für ein j N a j und b j gegeben sind und definieren a j+1 und b j+1 wie folgt: aj + b j Falls, setze a j+1 = a j und b j+1 = a j+b j, aj + b j falls <, setze a j+1 = a j+b j und b j+1 = b j. Setze nun x j = a j. Dann ergeben sich die ersten Folgenglieder der Folge (x n ) n N so: a0 + b = = 9 4 a 1 = 1, b 1 = 3, x 1 = 1, (.1) a1 + b 1 5 = = < a = 5 4, b = 3, x = 5 4, (.) a + b 11 = = < a 3 = 11 8, b 3 = 3, x 3 = 11 8, (.3) usw. Die Folgenglieder a j und b j nähern sich immer weiter aneinander an. Dies ist in Abbildung dargestellt. Für diese Folge gilt:

3 a 0 = 1 b 0 = a 1 = 1 b 1 = 3 1 a = 5 4 b = a 3 = 11 8 b 3 = 3 Abbildung : Die ersten vier von den Folgengliedern a j und b j eingegrenzten Intervalle. 1. a j. b j für alle j N, für alle j N, 3. b j a j = j, 4. [a j, b j ] [a j 1, b j 1 ], 5. b j und a j. Diese vier Eigenschaften werden wir nicht formal beweisen (dazu bräuchte man das Konzept der vollständigen Induktion), man kann sie sich aber wie folgt verdeutlichen: Für a 0 gilt a 0 nach Definition. Für a 1 gilt a 1 = a 0, also auch a 1. Für a gilt a = a 1+b 1, aber a wurde genau so gesetzt, weil a = ( a 1+b 1 ) < gilt. Wenn man diese Argumentation so weiterführt, erhält man für jedes j N, dass a j gilt. Die zweite Eigenschaft folgt mit der gleichen Argumentation. Die dritte Eigenschaft gilt für j = 0 und in jedem Schritt wird das Intervall [a j, b j ] in der Mitte geteilt. Damit halbiert sich in jedem Schritt der Abstand b j a j, was genau die Aussage von 3. ist. Die vierte Aussage gilt, da a j a j 1 und b j b j 1. Daher gilt [a j, b j ] [a j 1, b j 1 ]... [a 0, b 0 ] = [1, ], woraus auch die fünfte Aussage folgt. Wir zeigen nun, dass die Folge (x j ) j N mit x j = a j für alle j N eine Cauchy-Folge ist. Wenn ein (beliebig kleines) ɛ > 0 gegeben ist, dann finden wir ein N N mit N < ɛ. Da außerdem j < N für alle j N mit j > N gilt, folgt, dass j < ɛ für alle j N mit j > N. Seien nun k, l N mit k > N und l > N. Zudem gelte l k. Dann gilt und x k = a k, also x l = a l [a l, b l ] [a l 1, b l 1 ]... [a k, b k ] x k x l b k a k = k < ɛ. Dies ist auch in Abbildung 3 illustriert. Für den Fall k l können wir die Benennung von k und l vertauschen und erhalten so ebenfalls x k x l < ɛ. Damit haben wir also gezeigt, dass die Folge (x n ) n N eine Cauchy-Folge ist. 3

4 a k 1 = x k 1 a k = x k x l b k b k 1 < ε Abbildung 3: Folgenglieder x j, die eine Cauchy-Folge bilden. Als nächstes definieren wir den Begriff des Grenzwertes für Folgen. Definition 4 (Grenzwert einer rationalen Folge). Ein Punkt x Q heißt Grenzwert einer Folge (x n ) n N, wenn es für jedes ɛ > 0 ein N N derart gibt, dass für alle k N gilt: x x k < ɛ. Wir sagen dann, dass die Folge (x n ) n N gegen x konvergiert. Wir kommen noch einmal auf unser Beispiel zurück. Beispiel 5 (Fortsetzung Beispiel 3). Wir nehmen nun an, es gäbe eine Zahl x Q, gegen die die in Beispiel 3 definierte Folge (x j ) j N konvergiert. Zusätzlich nehmen wir uns nun ein beliebig kleines ɛ > 0 und ein j N mit x x j < ɛ und j < ɛ. So ein j exisitiert nach der Definition des Grenzwerts. Dann gilt x = ( x j) + (x j x ). Da b j und a j = x j, folgt wegen Eigenschaften 3 und 5, dass x j b j a j = (b j a j )(b j + a j ) j 4 < 4ɛ. (.4) Andererseits gilt auch wegen x x j < ɛ und x j = a j (siehe Eigenschaft 5), dass x j x = (x j x)(x j + x) (x j x)(x j + x x j ) < ɛ(4 + ɛ). (.5) Wenn wir diese beiden Ungleichungen (.4) und (.5) addieren, ergibt sich x = ( x j) + (x j x ) 4ɛ + ɛ(4 + ɛ). Da aber ɛ beliebig klein gewählt werden kann, wird die rechte Seite beliebig klein und wegen der Ungleichung also auch die linke Seite. Andererseits gilt x, da x der Grenzwert der Folge (x n ) n N ist und x j = a j gilt. Also folgt x =. Da wir am Anfang x Q angenommen haben, steht dies im Widerspruch dazu, dass es kein r Q gibt mit r = (dies wird in Übungsaufgabe 1 gezeigt werden). Dieses Beispiel zeigt, dass es Cauchy-Folgen in Q gibt, die keinen Grenzwert in Q besitzen. Diese Eigenschaft bezeichnet man als Nicht-Vollständigkeit. Anders ausgedrückt zeigt das Beispiel, dass wir zwar rationale Zahlen finden, die fast sind, also Zahlen x j Q für die x j beliebig klein ist. Es gibt aber keine Zahl r Q, für die der Abstand r tatsächlich Null ist. Wir würden gerne die irrationale Zahl definieren als den Grenzwert der Cauchy- Folge aus dem obigen Beispiel. Es ist aber nicht klar, was dieser Grenzwert (der ja keine rationale Zahl ist) sein soll. Um dies zu umgehen, würde man gerne die irrationale Zahl 4

5 als die Cauchy-Folge aus dem obigen Beispiel definieren, denn diese Cauchy-Folge beschreibt ja den Grenzwert. Dabei tritt aber ein neues Problem auf: Wenn wir nun eine andere Cauchy-Folge wählen, die auch beschreibt, dann würden wir zwei unterschiedliche Zahlen haben, die beide sind. Deswegen müssen wir die reellen Zahlen so definieren, dass Cauchy-Folgen mit dem gleichen Grenzwert auch die gleiche reelle Zahl definieren. Dies führt uns auf das Konzept von Äquivalenzklassen. 3 Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen Definition 6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Relation für die gilt 1. Reflexivität: für alle a M gilt a a.. Symmetrie: für alle a, b M gilt: Gilt a b, so gilt auch b a. 3. Transitivität: für alle a, b, c M gilt: Gilt a b und b c, dann gilt auch a c. Beispiel 7. Ein Beispiel für Äquivalenzrelationen sind die Klassen einer Schule. Für dieses Beispiel sei M die Menge der Schüler einer Schule und für zwei Schüler a, b M gelte a b genau dann, wenn die Schüler a und b gemeinsam in eine Klasse gehen. Die Eigenschaften aus der Definition oben bedeuten dann: 1. Jeder Schüler geht mit sich selbst in eine Klasse.. Wenn Schüler a mit Schüler b in eine Klasse geht, so geht auch Schüler b mit Schüler a in eine Klasse. 3. Wenn Schüler a mit Schüler b in eine Klasse geht und Schüler b mit Schüler c in eine Klasse geht, so geht auch Schüler a mit Schüler c in eine Klasse. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M führt automatisch zur Aufteilung der Menge in Äquivalenzklassen. Definition 8. Für ein a M ist die Äquivalenzklasse von a, [a] M definiert durch [a] := {b M a b}. Die Menge aller Äquivalenzklassen auf M ist {[a] M a M}. Beispiel 9. Es sei wieder M die Menge aller Schüler einer Schule und wir betrachten wieder die Äquivalenzrelation aus Beispiel 7. Wenn wir einen Schüler a M betrachten, so enthält die Äquivalenzklasse von a, [a], genau alle Schüler, die mit a gemeinsam in eine Klasse gehen. Auf den ersten Blick könnte man denken, dass die Menge der Äquivalenzklassen {[a] M a M} genau so viele Elemente enthält wie es Schüler an der Schule gibt, doch das stimmt nicht, denn für alle Schüler a, b M, die in eine Klasse gehen (also a b), gilt, dass ihre Äquivalenzklassen gleich sind, also [a] = [b]. In unserem Beispiel wäre die Menge der Äquivalenzklassen {[a] M a M} dann gleich aller Klassen der Schule. Wir können uns nun der Definition der reellen Zahlen zuwenden, die wir über eine Vervollständigung der rationalen Zahlen erreichen. Dies sieht auf den ersten Blick sehr kompliziert aus, weil die reellen Zahlen dadurch nicht wie Zahlen nach unserem intuitiven Verständnis aussehen. Die Definition ist aber nötig, um zu erklären, was diese 5

6 Zahlen eigentlich sind. Für die Konstruktion der reellen Zahlen definieren wir nun eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen in Q. Dazu sei M = {(x j ) j N x j Q, (x j ) j N ist Cauchy-Folge} die Menge der Cauchy-Folgen auf Q. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf M durch: (x j ) j N (y j ) j N Die Folge (x 1 y 1, x y, x 3 y 3,...) konvergiert gegen 0. (3.1) Wir müssen noch nachweisen, dass die durch (3.1) definierte Relation tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf M ist. Proposition 10. Die durch (3.1) definierte Relation ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation. Beweis. Zu zeigen sind die drei Eigenschaften aus der Definition für Äquivalenzrelationen: Symmetrie, Reflexivität und Transitivität. 1. Es sei (x j ) j N eine Cauchy-Folge. Wir betrachten die Folge (x 1 x 1, x x, x 3 x 3,...) = (0, 0, 0,...). Diese konvergiert gegen 0 und ist eine Cauchy-Folge. Damit gilt (x j ) j N (x j ) j N.. Es seien (x j ) j N und (y j ) j N zwei Cauchy-Folgen und es gelte (x j ) j N (y j ) j N, das heißt (x 1 y 1, x y, x 3 y 3,...) konvergiert gegen 0. Dann gilt aber, dass (y 1 x 1, y x, y 3 x 3,...) = ( (x 1 y 1 ), (x y ), (x 3 y 3 ),...) ebenfalls eine Cauchy-Folge ist und gegen 0 konvergiert. Damit folgt (y j ) j N (x j ) j N. 3. Es seien (x j ) j N, (y j ) j N und (z j ) j N Cauchy-Folgen und es gelte (x j ) j N (y j ) j N und (y j ) j N (z j ) j N, das heißt, dass die Folgen (x 1 y 1, x y, x 3 y 3,...) und (y 1 z 1, y z, y 3 z 3,...) gegen 0 konvergieren. Wir betrachten nun die Folge (x 1 z 1, x z, x 3 z 3,...) und wollen zeigen, dass diese Folge gegen 0 konvergiert, denn daraus folgt dann (x j ) j N (z j ) j N. (3.) Sei also ɛ > 0 gegeben. Da die Folgen (x 1 y 1, x y, x 3 y 3,...) und (y 1 z 1, y z, y 3 z 3,...) gegen 0 konvergieren, gibt es also ein N N und ein M N derart, dass für alle j N und k M gilt, dass (x j y j ) 0 ɛ und (y j z j ) 0 ɛ. Es sei nun l max{n, M}. Dann gilt: (x l z l ) 0 = (x l y l ) 0 + (y l z l ) 0 (x l y l ) 0 + (y l z l ) 0 ɛ + ɛ = ɛ. Also konvergiert die Folge (x 1 z 1, x z, x 3 z 3,...) gegen 0 und damit gilt auch (3.). 6

7 Wir haben also alle drei Eigenschaften nachgewiesen. Damit ist die durch (3.1) definierte Relation eine Äquivalenzrelation. Die reellen Zahlen definieren wir jetzt als die Menge der Äquivalenzklassen auf M. Definition 11. Die reellen Zahlen sind definiert durch R := {[(x j ) j N ] die Folge (x j ) j N ist eine Cauchy-Folge in Q.}. Sich eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen vorzustellen mag erstmal schwierig erscheinen. Wie können wir uns die reellen Zahlen also besser vorstellen? In der Schule wird häufig erklärt, dass die reellen Zahlen nicht-abbrechende Dezimalzahlen sind. Was aber ist eine nicht-abbrechende Dezimalzahl? Eine nicht-abbrechende Dezimalzahl entspricht genau einer Cauchy-Folge, die beispielsweise dadurch definiert ist, dass man für jedes Folgenglied eine weitere Dezimalstelle dazunimmt. Somit kann man sich reelle Zahlen tatsächlich als nicht-abbrechende Dezimalzahlen vorstellen. Definition 11 sagt aber auch, dass man beliebige Cauchy-Folgen betrachten kann und sie gibt auch Auskunft darüber, wann zwei reelle Zahlen gleich sind; siehe dazu auch Übungsaufgabe 8. Wir wollen die Vorlesung nun mit dem folgenden Beispiel abschließen, das zeigt, dass es eine reelle Zahl r R gibt, die r = erfüllt. Beispiel 1. Wir betrachten wieder die Cauchy-Folge aus Beispiel 3 der ersten Vorlesungshälfte. Wir wollen zeigen, dass die Äquivalenzklasse r dieser Cauchy-Folge r = erfüllt. Dazu müssen wir als erstes erklären, was die Multiplikation r r bedeuten soll. Dafür nehmen wir uns eine Cauchy-Folge (x j ) j N aus der Klasse r her und definieren eine neue Folge (y j ) j N durch (y j ) j N = (x j) j N = (x 1, x, x 3,... ). In Übungsaufgabe 4 wird gezeigt, dass diese Folge wieder eine Cauchy-Folge ist. Die reelle Zahl r wird dann definiert als die Äquivalenzklasse von (y j ) j N. An dieser Stelle müssen wir noch beweisen, dass dies wohldefiniert ist. Wohldefiniert heißt, dass die Definition nicht auf Widersprüche führt. Denn in der Klasse r können sehr viele Cauchy-Folgen sein und für jede dieser Cauchy-Folgen könnte die Äquivalenzklasse der Folge (x j ) j N unterschiedlich sein. Dann würde sich das Ergebnis von r r aber unterscheiden, wenn wir unterschiedliche Folgen auswählen. Dass dem nicht so ist und die Äquivalenzklasse von (x j ) j N immer die gleiche ist, unabhängig davon, welche Folge wir aus der Klasse r auswählen, zeigt die Übungsaufgabe 4. Wir wählen nun die in Beispiel 3 definierte Folge aus der Äquivalenzklasse r aus und betrachten die Folge (x j ) j N. Außerdem betrachten wir die konstante Folge (,,,... ). In (.4) haben wir gezeigt, dass x j j 4 gilt. Wenn nun also ein ε > 0 gegeben ist, dann können wir ein N N finden, für das 4 N < ε gilt. Dann gilt aber für alle j N, dass x j < ε. Die Folge ( x 1, x, x 3,... ) konvergiert also gegen 0. Das heißt, dass die Folge (x j ) j N in derselben Äquivalenzklasse wie die konstante Folge (,,,... ) ist. Diese konstante Folge entspricht der Zahl. Wir haben also gezeigt, dass in den reellen Zahlen r = gilt. 7

8 Für die vollständige Definition der reellen Zahlen müssen wir eigentlich auch noch die Addition von zwei reellen Zahlen definieren und zeigen, dass auch diese wohldefiniert ist. Außerdem kann auch gezeigt werden, dass die reellen Zahlen angeordnet werden können, das heißt man kann weiterhin sagen, dass eine Zahl größer, kleiner oder gleich einer anderen Zahl ist, eine Eigenschaft, die übrigens die komplexen Zahlen nicht mehr besitzen. Da diese Definitionen und Aussagen aber eher technisch sind, sollen sie hier weggelassen werden; bei Interesse kann dies in [1] nachgelesen werden. Zudem kann man noch beweisen, dass die reellen Zahlen im Gegensatz zu den rationalen Zahlen vollständig sind, was bedeutet, dass eine Cauchy-Folge in R auch einen Grenzwert in R besitzt. Deshalb sagt man auch, dass die reellen Zahlen die Vervollständigung der rationalen Zahlen sind, weil genau die Grenzwerte der Cauchy-Folgen zu den rationalen Zahlen hinzugenommen werden. Literatur [1] H.-D. Ebbinghaus. Zahlen. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,