Rollender Zylinder in Zylinder

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1 Übungen zu Theoretische Physik I - echnik im Sommersemester 013 Bltt 10 vom Abgbe: Aufgbe 43 Rollender Zylinder in Zylinder Ein homogener Zylinder (Gesmtmsse, Rdius, Trägheitsmoment bzgl. seiner Symmetriechse Θ zz = /) rollt ohne Schlupf unter dem Einfluss der Schwerkrft uf der Innenseite eines festen Zylinders. Der innere Rdius dieses festen Zylinders ist R. () Beweisen Sie, dss die folgende Rollbedingung für die Winkelgeschwindigkeit des rollendes Zylinders gilt: ω z = ϕ R Dbei ist ϕ der Winkel zwischen der festen vertiklen Achse und der Verbindungslinie zwischen den ittelpunkten der beiden Zylinder (siehe Abbildung). (b) Benutzen Sie die Rollbedingung, um die kinetische Energie des rollenden Zylinders ls Funktion von ϕ zu bestimmen. Geben Sie die Lgrngefunktion des Zylinders n. Hilfe: Bestimmen Sie zuerst die Bhngeschwindigkeit v S des Schwerpunkts des rollenden Zylinders ls Funktion von ϕ. Überlegen Sie dnn mittels der Rollbedingung den Zusmmenhng zwischen v S und der Winkelgeschwindigkeit ω z der Drehung des rollenden Zylinders um seinen Schwerpunkt. Bechten Sie, dss die gesmte kinetische Energie die Summe us Schwerpunkts- und Rottionsbewegung um den Schwerpunkt ist. () Die Schwerpunktsgeschwindigkeit beträgt v S = ϕ (R ). Betrchten wir die Bewegung vom Schwerpunkt um die Achse, die durch den Auflgepunkt verläuft und senkrecht uf der Ebene steht. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist durch folgende Reltion gegeben: v S = ω D die beide Schwerpunktsgeschwindigkeiten offensichtlich gleich sein müssen, ergibt sich die Rollbedingung: ω = ϕ R 1

2 (b) Die Winkelgeschwindigkeit ω z ergibt sich us der Rollbedingung Rollbedingung: ω z = ϕ R Kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung: T S = 1 v s Kinetische Energie der Rottionsbewegung: T Rottion = 1 Θ zzω z T = T S + T Rottion = 1 v s + 1 Θ zzω z T = (R ) ϕ + 1 (R ) ϕ = 3 4 (R ) ϕ Aufgbe 44 Hängender Hlbzylinder Ein homogener Hlbzylinder (Höhe H, Rdius R, Gesmtmsse ) dreht sich im homogenen Schwerefeld um eine feste Achse A, die mit der Symmetriechse des Zylinders zusmmenfällt (siehe Skizze). Wir wählen den Punkt A ls Ursprung des Koordintensystems. Der Hlbzylinder erstreckt sich jeweils um H/ in die Ppierebene hinein bzw. us der Ppierebene herus. () Hlbzylinder im Gleichgewicht (b) Hlbzylinder um die Achse A gedreht () Berechnen Sie den (körperfesten!) Schwerpunkt des Hlbzylinders. Betrchten Sie dzu den Zylinder in der Gleichgewichtslge (Abb. ). Der Schwerpunkt ist llgemein definiert ls S = 1 xρ( x)d 3 x. Wrum ist nur seine x-komponente ungleich Null? Ws ist ρ in dem Fll? (b) Bestimmen Sie ds Trägheitsmoment Θ zz = Θ A für Drehungen um die Achse A. (c) Betrchten Sie die Drehung des Zylinders um die A Achse (Abb. b). Bestimmen Sie die Lgrngefunktion und die Bewegungsgleichungen. it welcher Frequenz pendelt der Hlbzylinder, wenn der Winkel φ << 1 (d.h. sinφ φ ) ist? () Die ssendichte ergibt sich us ρ = πr H

3 Die Schwerpunktskoordinten sind dnn x S = 1 xρdxdydz = π R πr r sin φrdrdφ = 0 0 πr R3 3 = 4 3π R y S = 1 yρdxdydz = 0 (Symmetrie um Ursprung) z S = 1 zρdxdydz = 0 (Symmetrie um Ursprung) (b) Die Komponente desträgheitstensors Θ zz = Θ A ist Θ A = ρ ( x + y ) R dxdydz = ρl r 3 dr (c) Es folgt T = Θ ω = Θ A φ, V = gx S cos φ, 0 π L = T V = Θ A φ + g 4R cos φ. 3π Es folgen die Lgrngegleichungen und die Frequenz d dt L L φ φ = 0 Θ φ A + g 4R sin φ = 0, 3π φ = g 4R 8g sin φ = 3π R 3πR sin φ sin φ φ φ + ω φ = 0, ω = 0 dϕ = πr R 4 4 π = R. 8g 3πR Aufgbe 45 Drehende Scheibe Eine kreisförmige Scheibe mit Rdius R, Gesmtmsse, und Trägheitsmoment Θ = 1 R dreht sich um seine feste horizontle Symmetriechse. Über die Scheibe läuft ohne Schlupf ein msseloses Seil der Länge l. An den Seilenden sind die ssen m 1 und m befestigt (siehe Skizze). Ds System steht unter dem Einfluss der Schwerkrft. 3

4 () Bestimmen Sie die Lgrnge-Funktion L und wählen Sie dbei zunächst z 1, z und ϕ ls generlisierte Koordinten. (b) Eliminieren Sie ufgrund der Zwngsbedingungen die Vriblen z nd ϕ. Achten Sie dbei uf die Vorzeichen. (c) Bestimmen Sie die Lgrnge-Funktion L(z 1, ż 1 ) und drus die Bewegungsgleichung und geben Sie ihre llgemeine Lösung n. () Wir bekommen für kinetische und potenzielle Energie und dmit für den Lgrnge (b) Die Zwngsbedingungen sind T = m 1 ż 1 + m ż + Θ ϕ, (1) V = m 1 gz 1 m gz, () L = m 1 ż 1 + m ż + Θ ϕ + m 1 gz 1 + m gz. (3) z = l z 1 (eigentlich l + const. z 1 ), (4) ż 1 = R ϕ. (5) (c) und wir erhlten L = 1 (m 1 + m + ΘR ) ż1 + (m 1 m ) gz 1 + const. = 1 ( m 1 + m + ) ż1 + (m 1 m ) gz 1 + const. Die Bewegungsgleichung ist dher ( m 1 + m + ) z 1 = (m 1 m ) g = z 1 = (m 1 m ) g ( ) m1 + m + g eff ws einfch dem freien Fll entspricht, z 1 (t) = z 1 (0) + ż 1 (0) + g eff t. Aufgbe 46 Drehende Scheibe uf Pendel Betrchten Sie ein ebenes Pendel, ds us einer mssenlosen Stnge der Länge L und einer Scheibe der Gesmtmsse und Rdius R besteht, die m Ende der Stnge in ihrem ittelpunkt fixiert ist. Die Stnge erlubt Schwingungen in der Ebene und die Scheibe knn sich um ihre Symmetriechse (die senkrecht zur Schwingungsebene liegt) drehen (siehe Skizze). 4

5 () Bestimmen Sie die Lgrngefunktion L(φ, φ, ψ, ψ) (b) Bestimmen Sie die beiden Bewegungsgleichungen. it welcher Frequenz pendelt die Scheibe, wenn der Winkel ϕ << 1 (d.h. sinφ φ ) ist? () (b) V = Lg cos ϕ T = 1 L ϕ + 1 ( ) 1 R L = T V = 1 L ϕ + Lg cos ϕ + 1 ψ ( ) 1 R d L dt ϕ L ϕ = 0 d L L dt ψ ψ = 0 1 R ψ = 0 ψ = ψ 0 = const. L ϕ + Lg sin ϕ = 0 sin ϕ ϕ g ϕ + ω sin ϕ = 0 ω = L ψ 5