Logik für Informatiker
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- Catrin Rothbauer
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1 Logik für Informatiker Viorica Sofronie-Stokkermans 1
2 Logik in der Informatik Was ist Logik? 2
3 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? 3
4 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? Unverständlich? 4
5 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? Unverständlich? Reine Theorie ohne praktischen Nutzen? 5
6 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? ja Unverständlich? Reine Theorie ohne praktischen Nutzen? 6
7 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? ja Unverständlich? hoffentlich nein Reine Theorie ohne praktischen Nutzen? 7
8 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? ja Unverständlich? hoffentlich nein Reine Theorie ohne praktischen Nutzen? nein: Verifikation von Hardware, Software, Protokollen Sprachverarbeitung und Wissensrepräsentation Abfragensprachen für Datenbanken;... 8
9 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens Rational richtige Ableitung von neuem Wissen aus gegebenem Rolle der Logik in der Informatik Anwendung innerhalb der Informatik Spezifikation, Programmentwicklung, Programmverifikation Werkzeug für Anwendungen außerhalb der Informatik Künstliche Intelligenz, Wissensrepräsentation 9
10 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens Rational richtige Ableitung von neuem Wissen aus gegebenem Rolle der Logik in der Informatik Anwendung innerhalb der Informatik Spezifikation, Programmentwicklung, Programmverifikation Werkzeug für Anwendungen außerhalb der Informatik Künstliche Intelligenz, Wissensrepräsentation 10
11 Modellierung 11
12 Modellierung Abstraktion 12
13 Modellierung Abstraktion 13
14 Modellierung Adäquatheit des Modells Wenn formulierbare Aussage wahr im Modell, dann entsprechende Aussage wahr in Wirklichkeit 14
15 Beispiel: Aufzug oben mitte unten 15
16 Beispiel: Aufzug oben oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte mitte F.nach unten unten unten 16
17 Beispiel: Aufzug oben oben mitte mitte Aufzug mitte Oben gedruckt unten unten F.nach oben 17
18 Modellierung: Strukturen oben Aufzug oben Mitte gedruckt oben oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten mitte Aufzug mitte Unten gedruckt mitte F.nach unten F.nach unten unten unten unten v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(untengedrückt) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr 18
19 Modellierung: Strukturen oben Aufzug oben Mitte gedruckt oben oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten mitte Aufzug mitte Unten gedruckt mitte F.nach unten Aufzug mitte F.nach unten unten unten unten v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(untengedrückt) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr 19
20 Modellierung: Strukturen oben Aufzug oben Mitte gedruckt oben oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten mitte Aufzug mitte Unten gedruckt mitte F.nach unten Aufzug mitte F.nach unten unten unten unten Aussagen beziehen sich auf Strukturen (Formale) Aussagen sind in jeder einzelnen Struktur zu wahr oder falsch auswertbar 20
21 Formale Logik Syntax welche Formeln? Semantik Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln 21
22 Aussagenlogik Die Welt besteht aus Fakten 22
23 Aussagenlogik: Syntax Die Welt besteht aus Fakten Bausteine: Atomare Aussagen 23
24 Aussagenlogik: Syntax Die Welt besteht aus Fakten Bausteine: Atomare Aussagen Beispiele: Aufzug ist oben: AufzugOben Mittlerer Knopf gedrückt: MitteGedrückt 24
25 Aussagenlogik: Syntax Die Welt besteht aus Fakten Bausteine: Atomare Aussagen Beispiele: Aufzug ist oben: AufzugOben Mittlerer Knopf gedrückt: MitteGedrückt Verknüpft mit logischen Operatoren und oder impliziert nicht ( wenn, dann ) 25
26 Aussagenlogik: Syntax Komplexe Aussagen: Beispiele: Wenn mittlerer Knopf gedrückt, dann Aufzug nicht in der Mitte MitteGedrückt AufzugMitte Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten AufzugOben AufzugUnten 26
27 Aussagenlogik: Semantik Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten AufzugOben AufzugUnten wahr in: oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten unten 27
28 Aussagenlogik: Semantik Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten AufzugOben AufzugUnten falsch in: oben mitte Aufzug mitte Unten gedruckt F.nach unten unten 28
29 Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln Syllogismen: P Q P Q 29
30 Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln Syllogismen: P Q P Q AufzugUnten AufzugOben AufzugUnten AufzugOben 30
31 Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus im allgemeinen Kalkül In dieser Vorlesung: Wahrheitstafeln Logische Umformung Resolutionskalkül Tableaukalkül 31
32 Prädikatenlogik Aussagenlogik: Die Welt besteht aus Fakten 32
33 Prädikatenlogik Aussagenlogik: Die Welt besteht aus Fakten... aber: Aussagenlogik hat nur beschränkte Ausdruckskraft 33
34 Prädikatenlogik Aussagenlogik: Die Welt besteht aus Fakten... aber: Aussagenlogik hat nur beschränkte Ausdruckskraft Beispiele: Die Aussage Alle Menschen sind sterblich erfordert eine Formel für jeden Mensch. Die Aussage Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade erfordert eine Formel für jede Zahl. 34
35 Prädikatenlogik Reichere Struktur Objekte (Elemente) Leute, Häuser, Zahlen, Theorien, Farben, Jahre,... 35
36 Prädikatenlogik Reichere Struktur Objekte (Elemente) Leute, Häuser, Zahlen, Theorien, Farben, Jahre,... Relationen/Eigenschaften rot, rund, gerade, ungerade, prim, mehrstöckig,... ist Bruder von, ist größer als, ist Teil von, hat Farbe, besitzt,.. =,,... 36
37 Prädikatenlogik Reichere Struktur Objekte (Elemente) Leute, Häuser, Zahlen, Theorien, Farben, Jahre,... Relationen/Eigenschaften rot, rund, gerade, ungerade, prim, mehrstöckig,... ist Bruder von, ist größer als, ist Teil von, hat Farbe, besitzt,.. =,,... Funktionen +, Mitte von, Vater von, Anfang von,... 37
38 Beispiel 1 Objekte (Elemente): Zahlen Funktionen: +, * Terme: 2+3, 3 (5+6), x, x +2, x (2 y) 38
39 Beispiel 1 Objekte (Elemente): Zahlen Funktionen: +, * Terme: 2+3, 3 (5+6), x, x +2, x (2 y) Relationen: gerade, ungerade 39
40 Beispiel 1 Objekte (Elemente): Zahlen Funktionen: +, * Terme: 2+3, 3 (5+6), x, x +2, x (2 y) Relationen: gerade, ungerade Formel: gerade(2), ungerade(5), gerade(100), ungerade(100) gerade(2) ungerade(5) gerade(x) gerade(x + 1) 40
41 Beispiel 1 Objekte (Elemente): Zahlen Funktionen: +, * Terme: 2+3, 3 (5+6), x, x +2, x (2 y) Relationen/Eigenschaften: gerade, ungerade Formel: gerade(2), ungerade(5), gerade(100), ungerade(100) gerade(2) ungerade(5) gerade(x) gerade(x + 1) Quantoren: A (für alle); E (es gibt) 41
42 Beispiel 1 Objekte (Elemente): Zahlen Funktionen: +, * Terme: 2+3, 3 (5+6), x, x +2, x (2 y) Relationen/Eigenschaften: gerade, ungerade Formel: gerade(2), ungerade(5), gerade(100), ungerade(100) gerade(2) ungerade(5) gerade(x) gerade(x + 1) Quantoren: A (für alle); Formeln mit Quantoren: E (es gibt) E A x gerade(x) gerade(x + 1) x ungerade(x) 42
43 Beispiel 2: Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: Vater, Mutter 43
44 Beispiel 2: Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: Vater, Mutter, Jan, Anna x Jan Anna Vater(x) Vater(Jan) Vater(Anna) Mutter(x) Mutter(Jan) Mutter(Anna) Vater(Mutter(x)) Vater(Mutter(Jan))... 44
45 Beispiel 2: Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: Vater, Mutter, Jan, Anna x Jan Anna Vater(x) Vater(Jan) Vater(Anna) Mutter(x) Mutter(Jan) Mutter(Anna) Vater(Mutter(x)) Vater(Mutter(Jan))... Eigenschaften: ist-bruder-von; Mann; Frau Mann(x) Mann(Jan) Mann(Anna) Mann(Vater(x)) Frau(Vater(Jan)) Mann(Vater(Jan)) ist-bruder-von(x, y) ist-bruder-von(x, Jan) ist-bruder-von(x, Anna) ist-bruder-von(jan, Anna) 45
46 Beispiel 2: Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: Vater, Mutter, Jan, Anna x Jan Anna Vater(x) Vater(Jan) Vater(Anna) Mutter(x) Mutter(Jan) Mutter(Anna) Vater(Mutter(x)) Vater(Mutter(Jan))... Eigenschaften: ist-bruder-von; Mann; Frau Mann(x) Mann(Jan) Mann(Anna) Mann(Vater(x)) Frau(Vater(Jan)) Mann(Vater(Jan)) ist-bruder-von(x, y) ist-bruder-von(x, Jan) ist-bruder-von(x, Anna) ist-bruder-von(jan, Anna) 46
47 Beispiel 2: Formel: Mann(Vater(Jan)) Mann(Vater(Jan)) Frau(Mutter(Jan)) Mann(Mutter(Anna)) Mann(Vater(Jan)) ist-bruder-von(jan, Anna) 47
48 Beispiel 2: Formel: Mann(Vater(Jan)) Mann(Vater(Jan)) Frau(Mutter(Jan)) Mann(Mutter(Anna)) Mann(Vater(Jan)) ist-bruder-von(jan, Anna) Quantoren E A : für alle : es gibt Formeln mit Quantoren: A A A x Mann(Vater(x)) x Mann(Mutter(x)) x, y (ist-bruder-von(x, y) Mann(x)) 48
49 Beispiel 3 Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: koblenz Eigenschaften: studiertin, schlau A x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) 49
50 Beispiel 3 Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: koblenz Eigenschaften: studiertin, schlau A x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) Es gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: landau Eigenschaften: studiertin, schlau E x(studiertin(x, landau) schlau(x)) 50
51 Prädikatenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus Syllogismen: Ableitung neuer wahrer Formeln A x(p(x) Q(x)) A A x(p(x) R(x)) x(q(x) R(x)) A x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) A A x(schlau(x) gute-noten(x)) x(studiertin(x, koblenz) gute-noten(x)) 51
52 Prädikatenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus Syllogismen: Ableitung neuer wahrer Formeln Q(a) R(a) A x(q(x) R(x)) Beispiel: studiertin(jan, koblenz) A x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) schlau(jan) 52
53 Prädikatenlogik: Deduktionsmechanismus In dieser Vorlesung: Resolutionskalkül Tableaukalkül 53
54 Das Prinzip z.b. natürliche Sprache Problem Losung Formeln Losung präzise Beschreibung 54
55 Anwendungesbeispiel: Sicherheitsprotokole Ziel: zwei Personen (Alice und Bob) wollen miteinander kommunizieren über ein unsicheres Daten- oder Telefonnetz, sicher, d. h., ohne daß ein Eindringling (Charlie) mithören oder sich als Alice oder Bob ausgeben kann. Hilfsmittel: Verschlüsselung Alice und Bob vereinbaren einen gemeinsamen Schlüssel und nutzen ihn, um ihr Gespräch zu verschlüsseln. Nur wer den Schlüssel kennt, kann das Gespräch entschlüsseln. 55
56 Beispiel: Sicherheitsprotokole Ziel: zwei Personen (Alice und Bob) wollen miteinander kommunizieren über ein unsicheres Daten- oder Telefonnetz, sicher, d. h., ohne dass ein Eindringling (Charlie) mithören oder sich als Alice oder Bob ausgeben kann. Hilfsmittel: Verschlüsselung Alice und Bob vereinbaren einen gemeinsamen Schlüssel und nutzen ihn, um ihr Gespräch zu verschlüsseln. Nur wer den Schlüssel kennt, kann das Gespräch entschlüsseln. 56
57 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Problem: wie kommen die Gesprächspartner an den gemeinsamen Schlüssel? Persönliche Übergabe kommt nicht immer in Frage. Wird der gemeinsame Schlüssel über das Netz unverschlüsselt verschickt, könnte Charlie ihn abfangen oder austauschen. Annahme: es gibt eine sichere Schlüsselzentrale, mit der Alice und Bob jeweils einen gemeinsamen Schlüssel vereinbart haben. 57
58 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Das folgende Schlüsselaustauschverfahren wurde 1993 von den beiden Kryptographen Neuman und Stubblebine vorgeschlagen: Schritt 1: Alice schickt (offen) Identifikation und Zufallszahl an Bob. 58
59 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 2: Bob leitet Nachricht weiter an Schlüsselzentrale ( Trust ). 59
60 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 3: Trust schickt Nachricht an Alice. Darin: ein neuer gemeinsamer Schlüssel, einmal für Alice und einmal für Bob verschlüsselt. 60
61 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 4: Alice leitet den neuen gemeinsamen Schlüssel weiter an Bob. 61
62 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 5: Alice und Bob können nun mit dem gemeinsamen Schlüssel kommunizieren. 62
63 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Ist das Verfahren sicher? Wir übersetzen das Problem in Formeln und lassen sie von einem Theorembeweiser untersuchen. 63
64 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Zuerst formalisieren wir die Eigenschaften des Protokolls: Wenn Alice/Bob/Trust eine Nachricht in einem bestimmten Format bekommt, dann schickt er/sie eine andere Nachricht ab. 64
65 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Zuerst formalisieren wir die Eigenschaften des Protokolls: Wenn Alice/Bob/Trust eine Nachricht in einem bestimmten Format bekommt, dann schickt er/sie eine andere Nachricht ab. Dann formalisieren wir die Eigenschaften des Angreifers: Wenn eine Nachricht übermittelt wird, kann Charlie sie mithören. Wenn Charlie eine verschlüsselte Nachricht bekommt und den passenden Schlüssel hat, kann er sie entschlüsseln. Wenn Charlie eine Nachricht hat, dann kann er sie an Alice/Bob/Trust abschicken
66 Formalisierung Zum Schluss müssen wir noch formalisieren was es bedeutet, dass der Angreifer Erfolg hat. Dies ist dann der Fall, wenn er einen Schlüssel zur Kommunikation mit Bob hat, von dem Bob glaubt, es sei ein Schlüssel für Alice. E x[ik(key(x,b)) Bk(key(x,a))] 66
67 Automatische Analyse Die Formalisierung des Protokolls, Formeln (1)-(8) zusammen mit den Angreiferformeln (9)-(20) und der Erfolgsbedingung für den Angreifer kann man nun in einen Theorembeweiser eingeben. Der Theorembeweiser beweist dann automatisch, dass der Angreifer das Protokoll brechen kann. 67
68 Das ganze Bild Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache) Formalisierung Logische Sprache: Syntax Aussagenlogik / Prädikatenlogik Modelle: Semantik Formel Kalkül Logik Gültige Formel Vollständigkeit Beweisbare Formel Korrektheit 68
69 Das ganze Bild Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache) Formalisierung Modellierung Logische Sprache: Syntax Aussagenlogik / Prädikatenlogik Modelle: Semantik Formel Kalkül Logik Gültige Formel Vollständigkeit Beweisbare Formel Korrektheit 69
70 Das ganze Bild Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache) Formalisierung Logische Sprache: Syntax Aussagenlogik / Prädikatenlogik Formel Modelle: Semantik Kalkül (automatische) Deduktion Logik Gültige Formel Vollständigkeit Korrektheit Beweisbare Formel 70
71 Inhalt der Vorlesung 1. Einführung: Motivation, Beweisstrategien (insb. Induktion) 71
72 Inhalt der Vorlesung 1. Einführung: Motivation, Beweisstrategien (insb. Induktion) 2. Aussagenlogik Syntax und Semantik Deduktionsmechanismen: - Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise - Analytische Tableaux 72
73 Inhalt der Vorlesung 1. Einführung: Motivation, Beweisstrategien (insb. Induktion) 2. Aussagenlogik Syntax und Semantik Deduktionsmechanismen: - Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise - Analytische Tableaux 3. Prädikatenlogik Syntax und Semantik Deduktionsmechanismen: - Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise - Analytische Tableaux 73
74 Inhalt der Vorlesung 1. Einführung: Motivation, Beweisstrategien (insb. Induktion) 2. Aussagenlogik Syntax und Semantik Deduktionsmechanismen: - Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise - Analytische Tableaux 3. Prädikatenlogik Syntax und Semantik Deduktionsmechanismen: - Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise - Analytische Tableaux 4. Weitere Aussichten - Nichtklassische Logiken; Logiken höherer Stufe - Anwendungen: z.b. Datenbanken oder Verifikation 74
75 Einführung: Zusammenfassung Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik Modellierung, Adäquatheit der Modellierung Wesentliche Komponenten für jede Logik: Syntax, Semantik, Deduktionsmechanismus (Kalkül) Beispiel Aussagenlogik: Syntax, Semantik, Syllogismen Beispiel Prädikatenlogik: Syntax, Semantik, Syllogismen The Whole Picture: Formel in der wahren Welt / (semantisch) gültige Formel, gültige Formel / ableitbare Formel Vollständigkeit und Korrektheit von Kalkülen 75
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