Inexakte Newton Verfahren
|
|
- Lucas Schumacher
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 3 Inexakte Newton Verfahren 3.1 Idee inexakter Newton Verfahren Wir betrachten weiterhin das nichtlineare Gleichungssystem F (x) = mit einer zumindest stetig differenzierbaren Funktion F : R n R n. Das (lokale) Newton Verfahren zur Lösung dieses Problems erzeugt eine Folge {x k } unter Verwendung der Vorschrift x k+1 := x k + d k, wobei x R n ein geeigneter Startvektor ist und d k R n eine Lösung der Newton Gleichung F (x k )d = F (x k ) (3.1) darstellt. Man hat also in jeder Iteration ein lineares Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix F (x k ) zu lösen. Wie schon im Abschnitt 2.4 bemerkt, ist die (exakte) Lösung dieses linearen Gleichungssystems unter Umständen zu aufwendig. Deshalb haben wir beim vereinfachten Newton Verfahren das lineare Gleichungssystem (3.1) ersetzt durch F (x )d = F (x k ). Allerdings haben wir für dieses vereinfachte Newton Verfahren auch nur lokal lineare Konvergenz nachweisen können. In diesem Abschnitt folgen wir nun einer anderen Idee und betrachten wieder die Newton Gleichung (3.1). Allerdings lösen wir diese jetzt nicht mehr exakt (etwa mittels einer LR oder QR Zerlegung), sondern nur noch inexakt (mittels geeigneter iterativer Verfahren). Die Genauigkeit der Lösung wird in der Iteration k unter Verwendung eines Parameters η k gemessen, so dass F (x k ) + F (x k )d η k F (x k ) gilt. Die Größe η k misst also den relativen Fehler in der Newton Gleichung (3.1). Insgesamt erhalten wir somit das folgende Verfahren. Algorithmus 3.1 (Lokales inexaktes Newton Verfahren) 41
2 42 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN (S.) Wähle x R n, ε, und setze k :=. (S.1) Ist F (x k ) ε: STOP. (S.2) Wähle eine Toleranz η k, und bestimme einen Vektor d k R n mit F (x k ) + F (x k )d k η k F (x k ). (3.2) (S.3) Setze x k+1 := x k + d k, k k + 1, und gehe zu (S.1). Bestimmt man d k als exakte Lösung der Newton Gleichung (3.1), so genügt dieses d k (sofern überhaupt existent) offenbar stets der Bedingung (3.2). Insbesondere existiert zumindest dann eine Lösung von (3.2), wenn die Jacobi Matrix F (x k ) regulär ist. Tatsächlich stimmt der Algorithmus 3.1 mit dem lokalen Newton Verfahren aus dem Algorithmus 2.1 überein, wenn wir stets η k = wählen. Der Algorithmus 3.1 stellt natürlich nur ein lokal konvergentes Verfahren dar. Er lässt sich allerdings analog zum Newton Verfahren etwa durch Verwendung der Armijo Schrittweitenregel globalisieren. Da die Übertragung einer solchen Globalisierung auf der Hand liegt, gehen wir hierauf nicht näher ein, sondern widmen uns im nächsten Abschnitt gleich den lokalen Konvergenzeigenschaften des inexakten Newton Verfahrens aus dem Algorithmus 3.1. Vorher illustrieren wir das numerische Verhalten allerdings durch Anwendung des Algorithmus 3.1 auf das Randwertproblem vom Beispiel 2.1. Dazu wählen wir wieder N = 47. Für die inexakte Lösung der linearen Gleichungssysteme (3.2) verwenden wir für unsere numerischen Rechnungen das BiCGSTAB Verfahren (vergleiche etwa das Buch [1] von Meister) mit der Toleranz η k = min{1/(k + 1), F (x k )}. Die im nächsten Abschnitt zu entwickelnde Theorie besagt, dass wir für diese Wahl von η k lokal quadratische Konvergenz erwarten können. Die wird durch die numerischen Resultate in der Tabelle 3.1 letztlich auch belegt. Die Spalten in der Tabelle haben eine ähnliche Bedeutung wie in der entsprechenden Tabelle 2.1 für das Newton Verfahren. Lediglich die letzte Spalte ist neu hinzugekommen, wo wir für jede äußere Iteration die Anzahl der benötigten inneren Iterationen des BiCGSTAB Verfahrens angeben. Ansonsten benötigt das inexakte Newton Verfahren zwar eine Iteration mehr als das (lokale) Newton Verfahren selbst, aber insgesamt wird auch hier sehr schnell eine Näherungslösung gefunden. 3.2 Konvergenz inexakter Newton Verfahren Wir untersuchen in diesem Abschnitt die lokalen Konvergenzeigenschaften des inexakten Newton Verfahrens aus dem Algorithmus 3.1. Diese hängen natürlich von der Wahl der Folge {η k } ab. Der folgende Satz besagt nun, dass man bei geeigneter Wahl der Toleranzen η k in völliger Analogie zum eigentlichen Newton Verfahren wieder lineare, superlineare bzw. gar quadratische Konvergenz erreichen kann.
3 3.2. KONVERGENZ INEXAKTER NEWTON VERFAHREN 43 k F (x k ) f(x k ) i Tabelle 3.1: Inexaktes Newton Verfahren für nichtlineare Randwertaufgabe (f(x) := 1 2 F (x)t F (x)) Satz 3.2 Seien F : R n R n stetig differenzierbar und x R n eine Nullstelle von F mit F (x ) regulär. Dann existiert ein ε >, so dass für jedes x K ε (x ) die folgenden Aussagen gelten: (a) Ist η k η für ein hinreichend kleines η (, 1), so ist der Algorithmus 3.1 wohldefiniert und die durch ihn erzeugte Folge {x k } konvergiert gegen x. (b) Die Konvergenzrate ist superlinear, falls η k gilt. (c) Die Konvergenzrate ist quadratisch, falls η k = O( F (x k ) ) gilt und F lokal Lipschitz-stetig ist. Beweis: Der Beweis ist letztlich nur eine relativ einfache Verallgemeinerung des entsprechenden Konvergenzsatzes 2.6 für das Newton Verfahren aus dem Algorithmus 2.1. Da F stetig differenzierbar ist, handelt es sich nach dem Mittelwertsatz bei F zumindest um eine lokal Lipschitz stetige Funktion. Also existieren ein ε 1 > und eine Konstante L > mit F (x) = F (x) F (x ) L x x (3.3) für alle x K ε1 (x ). Wegen Lemma 2.4 existiert ferner ein ε 2 >, so dass F (x) für alle x K ε2 (x ) regulär ist mit F (x) 1 c (3.4) für eine Konstante c >. Aufgrund des Lemmas 2.5 (a) existiert außerdem ein ε 3 > mit F (x) F (x ) F (x)(x x ) 1 4c x x (3.5) für alle x K ε3 (x ). Setze nun ε := min{ε 1, ε 2, ε 3 } und η = 1 4cL. (3.6)
4 44 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN Wähle x K ε (x ). Dann ist F (x ) zumindest regulär. Insbesondere lässt sich daher ein d R n mit (3.2) berechnen. Somit ist x 1 wohldefiniert, und es gilt wegen (3.3) (3.6): x 1 x = x x F (x ) 1 F (x ) + F (x ) 1 [F (x )d + F (x )] F (x ) 1 [ F (x ) F (x ) F (x )(x x ) + F (x )d + F (x ) ] ( ) 1 c 4c x x + η F (x ) ( ) 1 c 4c x x + ηl x x = 1 2 x x. Also ist auch x 1 K ε (x ), und per Induktion folgt ( ) k 1 x k x x x 2 für alle k N. Ist also η k η, so ist die Folge {x k } wohldefiniert und (mindestens) linear konvergent gegen x. Dies beweist die Aussage (a). Zum Nachweis von Teil (b) bemerken wir zunächst, dass man analog zur obigen Ungleichungskette auch x k+1 x c ( F (x k ) F (x ) F (x k )(x k x ) + η k F (x k ) ) beweisen kann. Für η k ist daher c ( F (x k ) F (x ) F (x k )(x k x ) + η k L x k x ) x k+1 x = o( x k x ) wegen Lemma 2.5 (a), d.h., die Folge {x k } konvergiert (mindestens) superlinear gegen x, womit auch die Aussage (b) bewiesen ist. Der Nachweis der quadratischen Konvergenz lässt sich auf ähnliche Weise verifizieren und bleibt dem Leser daher als Aufgabe überlassen. Aufgrund des Satzes 3.2 ist es zumindest aus theoretischer Sicht überhaupt nicht nötig, die Newton Gleichung (3.1) in jeder Iteration exakt zu lösen. Bei geeigneter Wahl der Parameter η k ergibt sich nämlich auch bei inexakter Lösung die superlineare oder quadratische Konvergenz des Algorithmus 3.1. Andererseits hinterlässt der Satz 3.2 auch einen etwas faden Beigeschmack: Die Aussage (a) (von der letztlich auch (b) und (c) abhängen) ist theoretisch zwar recht interessant, praktisch jedoch wenig brauchbar, da nicht gesagt wird, wie klein die obere Schranke η denn nun wirklich gewählt werden muss, um zumindest (lineare) Konvergenz zu erhalten. Tatsächlich wird sich herausstellen, dass man η (, 1) beliebig wählen kann. Als Vorbereitung hierzu beweisen wir zunächst ein weiteres Hilfsresultat.
5 3.2. KONVERGENZ INEXAKTER NEWTON VERFAHREN 45 Lemma 3.3 Seien F : R n R n stetig differenzierbar und {x k } R n eine gegen ein x R n konvergente Folge. Dann gilt F ( x + τ(x k x ) ) F (x ) dτ für k. Beweis: Aus x k x folgt sofort x + τ(x k x ) x für k, und zwar gleichmäßig für alle τ [, 1]. Da F stetig ist, gibt es somit zu einem beliebig vorgegebenen ε > ein k = k (ε) N mit und alle τ [, 1]. Dies impliziert F ( x + τ(x k x ) ) F (x ) ε k k F ( x + τ(x k x ) ) F (x ) dτ εdτ = ε für alle k k. Da ε > beliebig gewählt war, folgt hieraus die Behauptung. Zum Nachweis der linearen Konvergenz des inexakten Newton Verfahrens bei beliebiger Wahl von η (, 1) müssen wir zu einer anderen (angepassten) Norm übergehen, nämlich x := F (x )x für x R n, wobei x den Voraussetzungen des Satzes 3.2 genügen soll. Dass der Übergang zu einer anderen (angepassten) Norm sinnvoll sein kann, folgt sofort aus der Definition der linearen Konvergenz, da die dort auftretende Konstante c (, 1) von der Wahl der Norm abhängt, d.h., die lineare Konvergenz ist eine von der Wahl der Norm abhängige Eigenschaft. Satz 3.4 Seien F : R n R n stetig differenzierbar und x R n eine Nullstelle von F mit F (x ) regulär. Dann existiert ein ε >, so dass für jedes x K ε (x ) die folgenden Aussagen gelten: (a) Ist η k η für ein beliebiges η (, 1), so ist der Algorithmus 3.1 wohldefiniert und die durch ihn erzeugte Folge {x k } konvergiert linear gegen x in der Norm. (b) Die Konvergenzrate ist superlinear (in der Norm ), falls η k gilt. (c) Die Konvergenzrate ist quadratisch (in der Norm ), falls η k = O( F (x k ) ) gilt und F lokal Lipschitz-stetig ist.
6 46 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN Beweis: Die Aussagen (b) und (c) folgen sofort aus dem Satz 3.2, da sowohl die superlineare als auch die quadratische Konvergenz Eigenschaften sind, die von der jeweils gewählten Norm unabhängig sind. Der Nachweis von Teil (a) ist im Prinzip ebenfalls ähnlich zum Beweis des Satzes 3.2, wobei gewisse Abschätzungen aber etwas vorsichtiger vorgenommen werden müssen. Sei also η (, 1) beliebig und η und eine reelle Zahl mit η < η < 1. Wegen Lemma 2.4 existiert ein ε 1 >, so dass F (x) regulär ist mit F (x) 1 c (3.7) für alle x K ε1 (x ) für ein gewisses c >, wobei alle Kugelumgebungen in diesem Beweis bezüglich der -Norm genommen werden. Wähle nun δ > hinreichend klein, so dass cδ F (x ) + η(1 + δ)(1 + cδ) η (3.8) gilt. Man beachte hierbei, dass dies wegen η < η stets möglich ist. Wegen Lemma 3.3 existiert ein ε 2 > mit F (x + τ(x x )) F (x ) dτ δ F (x ) 1 für alle x K ε2 (x ). Aus dem Mittelwertsatz in der Integralform folgt daher F (x) = F (x ) + +F (x )(x x ) [ F (x + τ(x x )) F (x ) ] dτ(x x ) F (x + τ(x x )) F (x ) dτ x x + x x δ F (x ) 1 F (x )(x x ) + x x F (x ) 1 ( δ + 1 ) x x für alle x K ε2 (x ), da x nach Voraussetzung eine Nullstelle von F ist. Wegen Lemma 2.5 (a) existiert außerdem ein ε 3 > mit F (x) F (x ) F (x)(x x ) δ F (x ) 1 x x δ x x für alle x K ε3 (x ). Schließlich gibt es aus Stetigkeitsgründen ein ε 4 > mit F (x) F (x ) δ für alle x K ε4 (x ). Setze nun ε := min{ε 1, ε 2, ε 3, ε 4 }, und wähle x K ε (x ). Wir setzen zur Abkürzung r := F (x )d + F (x )
7 3.3. ITERATIVE LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 47 und bemerken, dass aufgrund der Regularität von F (x ) insbesondere ein Vektor d R n existiert mit r η F (x ) (man kann z.b. d als exakte Lösung der Newton Gleichung wählen). Somit ist x 1 wohldefiniert, und es gilt aufgrund der obigen Ungleichungen x 1 x = F (x )(x 1 x ) = F (x )[x x F (x ) 1 F (x )] + F (x )F (x ) 1 r F (x ) x x F (x ) 1 F (x ) + r + (F (x ) F (x ))F (x ) 1 r F (x ) F (x ) 1 [F (x )(x x ) F (x )] + r + c F (x ) F (x ) r cδ F (x ) x x + r + cδ r cδ F (x ) x x + η(1 + cδ) F (x ) cδ F (x ) x x + η(1 + δ)(1 + cδ) x x ) = ( cδ F (x ) + η(1 + δ)(1 + cδ) ) x x ) η x x. Wegen η < 1 ist daher auch x 1 K ε (x ). Per Induktion folgt somit, dass die durch den Algorithmus 3.1 erzeugte Folge {x k } existiert und der Bedingung x k+1 x η x k x genügt. Hieraus folgt die Aussage (a). 3.3 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme Bei der Realisierung von inexakten Newton Verfahren muss man in der Lage sein, die Newton Gleichung F (x k )d = F (x k ) durch ein geeignetes Verfahren approximativ zu lösen. Hierfür eignen sich eine ganze Reihe von iterativen Verfahren, auf die wir in diesem Abschnitt aber nur sehr kurz eingehen werden, da sie nicht unmittelbar zum Thema dieser Vorlesung gehören und deren Herleitung hier zu viel Platz einnehmen würde. Statt der Newton Gleichung betrachten wir in diesem Abschnitt ein allgemeines lineares Gleichungssystem der Gestalt Ax = b (3.9) mit einer zumindest regulären Matrix A R n n und einer beliebigen rechten Seite b R n. Im Falle der Newton Gleichung ist also A = F (x k ) und b = F (x k ).
8 48 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN Ist die Matrix A nun symmetrisch und positiv definit, so kann man das bekannte CG Verfahren anwenden, um eine approximative Lösung des linearen Gleichungssystems (3.9) zu erhalten. Ist die Matrix A lediglich symmetrisch, aber nicht mehr positiv definite, so lässt sich beispielsweise das MINRES Verfahren anwenden. Allerdings ist die Jacobi Matrix A = F (x k ) im Allgemeinen nicht symmetrisch, geschweige denn positiv definit. Daher ist man bei der Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen mittels inexakter Newton Verfahren meist an solchen Methoden interessiert, die auch zur Lösung von nichtsymmetrischen Gleichungssystemen eingesetzt werden können. In der Literatur findet man hierfür eine Reihe von verschiedenen Methoden, unter anderem die Verfahren GMRES, GMRES(m), BiCGSTAB, CGS, QMR und TFQMR, vergleiche hierzu beispielsweise [1, 6]. Keines dieser hier genannten Verfahren hat den Ruf, das jeweils beste Verfahren zur iterativen Lösung eines nichtsymmetrischen linearen Gleichungssystems zu sein. Vielmehr kommt es in der Praxis gar nicht so selten vor, dass ein solches Gleichungssystem sogar durch keines dieser Verfahren gelöst werden kann! Damit der Leser aber in der Lage ist, ein inexaktes Newton Verfahren selbst zu programmieren, wollen wir hier zumindest eines der oben genannten Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems der Gestalt (3.9) angeben. Hierzu wählen wir das BiCGSTAB Verfahren, weil wir dieses auch im Abschnitt 3.1 benutzt haben. Algorithmus 3.5 (BiCGSTAB Verfahren) Wähle Startvektor x R n und setze r := b Ax, p := r. Wähle ˆr mit r, ˆr, z.b. ˆr := r. FOR k =, 1, 2,... α k := rk,ˆr ; Ap k,ˆr s k := r k α k Ap k ; ω k+1 := Ask,s k ; As k,as k x k+1 := x k + α k p k + ω k+1 s k ; r k+1 := s k ω k+1 As k ; β k := α k ω k+1 rk+1,ˆr ; r k,ˆr p k+1 := r k+1 + β k (p k ω k+1 Ap k ); END Bei geeigneter Implementation können die Vektoren s k, x k+1, r k+1 und p k+1 offenbar überschrieben werden. Zusammen mit dem gesondert abzuspeichernden Vektor ˆr und den ebenfalls einzeln abzuspeichernden Matrix Vektor Produkten Ap k und As k ergibt sich also ein Bedarf von lediglich 7 Vektoren, die neben dem Platzbedarf für die Durchführung der Matrix Vektor Produkte mit A den wesentlichen Speicheraufwand darstellen. Setzt man das BiCGSTAB Verfahren als iterativen Löser beim inexakten Newton Verfahren ein, so empfiehlt es sich, den Nullvektor als Startpunkt für das BiCGSTAB Verfahren zu wählen.
Wir untersuchen in diesem Abschnitt das (lokale) Newton Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems
Kapitel 2 Newton Verfahren 2.1 Das lokale Newton Verfahren Wir untersuchen in diesem Abschnitt das (lokale) Newton Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems F (x) = 0 (2.1) mit einer zumindest
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
Mehr18.4 Das Newton-Verfahren
18.4 Das Newton-Verfahren Ziel: Wir suchen die Nullstellen einer Funktion f : D R n, D R n : f(x) = 0 Wir kennen bereits die Fixpunktiteration x k+1 := Φ(x k ) mit Startwert x 0 und Iterationsvorschrift
MehrNewton-Verfahren für ein Skalarfunktion
Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Für eine Näherungsberechnung von Nullstellen einer reellen Funktion f(x) : R R benutzt man das Newton-Verfahren: x (n+1) = x (n) f(x (n) )/f (x (n) ). Das Newton-Verfahren
MehrNICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Christian Kanzow Julius Maximilians Universität Würzburg Institut für Mathematik Am Hubland 97074 Würzburg e-mail: kanzow@mathematik.uni-wuerzburg.de URL: http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/
Mehr20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen
20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium
MehrDer Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt.
Kapitel 3 Konvexität 3.1 Konvexe Mengen Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Definition 3.1 Konvexer Kegel. Eine Menge Ω R n heißt konvexer Kegel, wenn mit x
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum
MehrIterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
Mehr6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
$Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen
Mehr3 Nichtlineare Gleichungssysteme
3 Nichtlineare Gleichungsssteme 3.1 Eine Gleichung in einer Unbekannten Problemstellung: Gegeben sei die stetige Funktion f(). Gesucht ist die Lösung der Gleichung f() = 0. f() f() a) f ( ) 0 b) f ( )
MehrVektor und Matrixnormen Vorlesung vom
Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 18.12.15 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehr4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 19. Juli 2009 341 4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen Schon in Abschnitt 1.4 hatten wir die Dichte einer Kugelpackung, speziell eines Gitters bzw. einer quadratischen
Mehr6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme
6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 6.1 Nullstellen reeller Funktionen Bemerkung 6.1 (Problemstellung) geg.: f C[a, b] ges.: x [a, b] mit f(x ) = 0 Lösungstheorie f linear
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrÜbungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom
Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom 27.10.2011 Aufgabe III.1 (4 Punkte) Sei Ω R
Mehr2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p
Wiederholungsaufgaben Algorithmische Mathematik Sommersemester Prof. Dr. Beuchler Markus Burkow Übungsaufgaben Aufgabe. (Jacobi-Verfahren) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b = für A =, b = 3.
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit
MehrFolgerungen aus dem Auflösungsatz
Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und
Mehrnumerische Berechnungen von Wurzeln
numerische Berechnungen von Wurzeln. a) Berechne x = 7 mit dem Newtonverfahren und dem Startwert x = 4. Mache die Probe nach jedem Iterationsschritt. b) h sei eine kleine Zahl, d.h. h. Wir suchen einen
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Optimierung für Nichtmathematiker Prof. Dr. R. Herzog WS/ / Inhaltsübersicht 3Einführung in die freie Optimierung 4Orakel und Modellfunktionen 5Optimalitätsbedingungen der freien Optimierung 6Das Newton-Verfahren
MehrÜbungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Lösungsvorschlag Serie 12
Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. A. Griewank Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jansen Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 2/3) Lösungsvorschlag
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrDas Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
MehrLösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3
Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen
MehrKonvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff
Abschnitt 4 Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff In metrischen Räumen kann man topologische Begriffe wie Stetigkeit, Abschluss, Kompaktheit auch mit Hilfe von Konvergenz von Folgen charakterisieren.
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
Mehr3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153
3.3. SKALARPRODUKTE 153 Hierzu müssen wir noch die Eindeutigkeit (Unabhängigkeit von der Wahl der Basis bzw. des Koordinatensystems) zeigen. Sei hierzu β eine Bilinearform und q die entsprechende quadratische
Mehr3 Lineare Differentialgleichungen
3 Lineare Differentialgleichungen In diesem Kapitel behandeln wir die allgemeine Theorie linearer Differentialgleichungen Sie werden zahlreiche Parallelen zur Theorie linearer Gleichungssysteme feststellen,
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrDer CG-Algorithmus (Zusammenfassung)
Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Michael Karow Juli 2008 1 Zweck, Herkunft, Terminologie des CG-Algorithmus Zweck: Numerische Berechnung der Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax = b für eine
MehrProf. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Analysis II. Vorlesung 50. Hinreichende Kriterien für lokale Extrema
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 205 Analysis II Vorlesung 50 Hinreichende Kriterien für lokale Extrema Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion
MehrIterative Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen
Kapitel 5 Iterative Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssstemen 5.1 Iterationsverfahren zur Lösung einer reellen nichtlinearen Gleichung Es sei g() eine im Intervall I definierte reellwertige
MehrNewton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme
Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es
Mehr( ) Lineare Gleichungssysteme
102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv
Mehr5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen
5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe
MehrAufgaben zu Kapitel 20
Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v
MehrDarstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen
Kapitel 8 Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Wir hatten im Beispiel 5. gesehen, dass die Wärmeleitungsgleichung t u u = f auf Ω (0, ) (8.1) eine parabolische Differentialgleichung
MehrÜberbestimmte Gleichungssysteme
Siebente Vorlesung, 8. Mai 2008, Inhalt Überbestimmte Gleichungssysteme Kleinste Quadrate: einfaches Beispiel, elementare Herleitung Normalengleichungen Transformation mit QR-Zerlegung und SVD Nichtlineare
Mehr1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
Mehr4 Messbare Funktionen
4 Messbare Funktionen 4.1 Definitionen und Eigenschaften Definition 4.1. Seien X eine beliebige nichtleere Menge, M P(X) eine σ-algebra in X und µ ein Maß auf M. Das Paar (X, M) heißt messbarer Raum und
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrIterative Lösung Linearer Gleichungssysteme
Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme E. Olszewski, H. Röck, M. Watzl 1. Jänner 00 E. Olszewski, H. Röck, M. Watzl: WAP (WS 01/0) 1 Vorwort C.F.Gauß in einem Brief vom 6.1.18 an Gerling:
Mehr,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5
3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Sei f : R R gegeben durch f(x 1, x ) = x 3
Mehr9 Vektorräume mit Skalarprodukt
9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden
MehrEigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)
Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein
MehrKapitel 5. Vektorräume mit Skalarprodukt
Kapitel 5 Vektorräume mit Skalarprodukt 119 120 Kapitel V: Vektorräume mit Skalarprodukt 5.1 Elementare Eigenschaften des Skalarprodukts Dienstag, 20. April 04 Wollen wir in einem Vektorraum wie in der
MehrInhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme
Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren
Mehr$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.
$Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also
MehrNumerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 5 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 21 Prof. Dr. Klaus Höllig (IMNG)
Mehr5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension
8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n
MehrLösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden
MehrZusammenfassung zur Konvergenz von Folgen
Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen. Definition des Konvergenzbegriffs Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt konvergent gegen a in Zeichen a n = a, falls gilt > 0 n 0 n n 0 : an a < Hinweise: Bei
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
Mehr5 Teilmengen von R und von R n
5 Teilmengen von R und von R n Der R n ist eine mathematische Verallgemeinerung: R n = {x = (x 1,...,x n ) : x i R} = R }... {{ R }. n mal Für x R ist x der Abstand zum Nullpunkt. Die entsprechende Verallgemeinerung
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
Mehr11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen
11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen Ziel: Wir wollen lokale Extrema von Funktionen f : M R untersuchen, wobei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
Mehr40 Lokale Extrema und Taylor-Formel
198 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 40 Lokale Extrema und Taylor-Formel Lernziele: Resultate: Satz von Taylor und Kriterien für lokale Extrema Methoden aus der linearen Algebra Kompetenzen:
Mehr6.8 Newton Verfahren und Varianten
6. Numerische Optimierung 6.8 Newton Verfahren und Varianten In den vorherigen Kapiteln haben wir grundlegende Gradienten-basierte Verfahren kennen gelernt, die man zur numerischen Optimierung von (unbeschränkten)
MehrAnalysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist
MehrMathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben
MehrNumerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
Mehr18.2 Implizit definierte Funktionen
18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
Mehr4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
$Id: folgen.tex,v.2 203//29 2:06:38 hk Exp hk $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Folgenkonvergenz und die Grenzwerte von Folgen eingeführt.
MehrLösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17
Blatt Nr. 3 Prof. F. Merkl Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 206/7 Aufgabe Das Guthaben G setzt sich zusammen aus der Summe aller bisherigen Einzahlungen multipliziert mit ( + p) k, wobei
Mehr24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN
24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Prof Dr Picard, gehalten von Helena Malinowski In vorhergehenden Vorträgen und dazugehörigen
Mehr6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun
Mehr$Id: vektor.tex,v /01/21 14:35:13 hk Exp $
Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 $Id: vektortex,v 5 2//2 4:35:3 hk Exp $ Vektorräume 2 Untervektorräume und Erzeugendensysteme Am Ende der letzten Sitzung hatten wir wieder einmal den Lösungsraum
MehrTechnische Universität Berlin. Klausur Analysis I
SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
Mehr1 Grundlagen der Numerik
1 Grundlagen der Numerik 1.1 Gleitpunkt-Arithmetik Es gibt nur endlich viele Zahlen auf dem Computer. Gleitpunktzahl: x = σmb E σ: Vorzeichen B: Basis (feste Zahl >1); M: Mantisse E: Exponent B = 2 : Dualzahl
MehrÜberbestimmte Gleichungssysteme, Regression
Überbestimmte Gleichungssysteme, Regression 8. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas MUL 16. Mai 2013 C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 1 / 19 Gliederung 1 Überbestimmte
MehrAnwendung affin invarianter Konvergenzsätze auf newtoneske Verfahren
Anwendung affin invarianter Konvergenzsätze auf newtoneske Verfahren im Rahmen des Seminars Newton- und Newton-ähnliche Verfahren unter Leitung von Dr. Ekaterina Kostina und Dr. Moritz Diehl, Wintersemester
MehrDie komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen
Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen In dieser Zusammenfassung werden die für uns wichtigsten Eigenschaften der komplexen und reellen Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen
MehrKapitel 5. Lösung nichtlinearer Gleichungen
Kapitel 5. Lösung nichtlinearer Gleichungen 5.1 Nullstellen reeller Funktionen, Newton-Verfahren 5.2 Das Konvergenzverhalten iterativer Verfahren 5.3 Methode der sukzessiven Approximation 5.4 Das Newton-Verfahren
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrTopologische Begriffe
Kapitel 3 Topologische Begriffe 3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen Definition (innerer Punkt und Inneres). Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei M V eine Menge. Ein Vektor v M heißt innerer
MehrDie Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass
Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel Zuerst wollen wir die Gamma-Funktion definieren, die eine Verallgemeinerung von n! ist. Dazu benötigen wir einige Resultate. Lemma.
MehrEinige Gedanken zur Fibonacci Folge
Einige Gedanken zur Fibonacci Folge Im Folgenden gehe ich auf einige Aspekte von Aufgabe 4 auf Übungsblatt, d.h. auf Aufgabe 4 auf Seiten und 3 des Buches Hahn-Dzewas: Mathematik, ein. Die Aufgabe hat
MehrDefinition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem
Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben /3 Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den
Mehr14 Skalarprodukt Abstände und Winkel
4 Skalarprodukt Abstände und Winkel Um Abstände und Winkel zu definieren benötigen wir einen neuen Begriff. Zunächst untersuchen wir die Länge eines Vektors v. Wir schreiben dafür v und sprechen auch von
MehrAnalysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Mathematisches Seminar Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen von Dipl.-Math. Joscha Prochno Dipl.-Math. Dennis
MehrNullstellenberechnung von nichtlinearen Funktionen
Kapitel 3 Nullstellenberechnung von nichtlinearen Funktionen In dieser Vorlesung wird nur die Nullstellenberechnung reeller Funktionen einer reellen Variablen f : R R betrachtet. Man nennt die Nullstellen
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,
Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren
MehrLineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich
Lineare Algebra U Stammbach Professor an der ETH-Zürich I Vektorräume Kapitel I Vektorräume 1 I1 Lineare Gleichungssysteme 1 I2 Beispiele von Vektorräumen 7 I3 Definition eines Vektorraumes 8 I4 Linearkombinationen,
MehrPolynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
Mehr