Inexakte Newton Verfahren

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1 Kapitel 3 Inexakte Newton Verfahren 3.1 Idee inexakter Newton Verfahren Wir betrachten weiterhin das nichtlineare Gleichungssystem F (x) = mit einer zumindest stetig differenzierbaren Funktion F : R n R n. Das (lokale) Newton Verfahren zur Lösung dieses Problems erzeugt eine Folge {x k } unter Verwendung der Vorschrift x k+1 := x k + d k, wobei x R n ein geeigneter Startvektor ist und d k R n eine Lösung der Newton Gleichung F (x k )d = F (x k ) (3.1) darstellt. Man hat also in jeder Iteration ein lineares Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix F (x k ) zu lösen. Wie schon im Abschnitt 2.4 bemerkt, ist die (exakte) Lösung dieses linearen Gleichungssystems unter Umständen zu aufwendig. Deshalb haben wir beim vereinfachten Newton Verfahren das lineare Gleichungssystem (3.1) ersetzt durch F (x )d = F (x k ). Allerdings haben wir für dieses vereinfachte Newton Verfahren auch nur lokal lineare Konvergenz nachweisen können. In diesem Abschnitt folgen wir nun einer anderen Idee und betrachten wieder die Newton Gleichung (3.1). Allerdings lösen wir diese jetzt nicht mehr exakt (etwa mittels einer LR oder QR Zerlegung), sondern nur noch inexakt (mittels geeigneter iterativer Verfahren). Die Genauigkeit der Lösung wird in der Iteration k unter Verwendung eines Parameters η k gemessen, so dass F (x k ) + F (x k )d η k F (x k ) gilt. Die Größe η k misst also den relativen Fehler in der Newton Gleichung (3.1). Insgesamt erhalten wir somit das folgende Verfahren. Algorithmus 3.1 (Lokales inexaktes Newton Verfahren) 41

2 42 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN (S.) Wähle x R n, ε, und setze k :=. (S.1) Ist F (x k ) ε: STOP. (S.2) Wähle eine Toleranz η k, und bestimme einen Vektor d k R n mit F (x k ) + F (x k )d k η k F (x k ). (3.2) (S.3) Setze x k+1 := x k + d k, k k + 1, und gehe zu (S.1). Bestimmt man d k als exakte Lösung der Newton Gleichung (3.1), so genügt dieses d k (sofern überhaupt existent) offenbar stets der Bedingung (3.2). Insbesondere existiert zumindest dann eine Lösung von (3.2), wenn die Jacobi Matrix F (x k ) regulär ist. Tatsächlich stimmt der Algorithmus 3.1 mit dem lokalen Newton Verfahren aus dem Algorithmus 2.1 überein, wenn wir stets η k = wählen. Der Algorithmus 3.1 stellt natürlich nur ein lokal konvergentes Verfahren dar. Er lässt sich allerdings analog zum Newton Verfahren etwa durch Verwendung der Armijo Schrittweitenregel globalisieren. Da die Übertragung einer solchen Globalisierung auf der Hand liegt, gehen wir hierauf nicht näher ein, sondern widmen uns im nächsten Abschnitt gleich den lokalen Konvergenzeigenschaften des inexakten Newton Verfahrens aus dem Algorithmus 3.1. Vorher illustrieren wir das numerische Verhalten allerdings durch Anwendung des Algorithmus 3.1 auf das Randwertproblem vom Beispiel 2.1. Dazu wählen wir wieder N = 47. Für die inexakte Lösung der linearen Gleichungssysteme (3.2) verwenden wir für unsere numerischen Rechnungen das BiCGSTAB Verfahren (vergleiche etwa das Buch [1] von Meister) mit der Toleranz η k = min{1/(k + 1), F (x k )}. Die im nächsten Abschnitt zu entwickelnde Theorie besagt, dass wir für diese Wahl von η k lokal quadratische Konvergenz erwarten können. Die wird durch die numerischen Resultate in der Tabelle 3.1 letztlich auch belegt. Die Spalten in der Tabelle haben eine ähnliche Bedeutung wie in der entsprechenden Tabelle 2.1 für das Newton Verfahren. Lediglich die letzte Spalte ist neu hinzugekommen, wo wir für jede äußere Iteration die Anzahl der benötigten inneren Iterationen des BiCGSTAB Verfahrens angeben. Ansonsten benötigt das inexakte Newton Verfahren zwar eine Iteration mehr als das (lokale) Newton Verfahren selbst, aber insgesamt wird auch hier sehr schnell eine Näherungslösung gefunden. 3.2 Konvergenz inexakter Newton Verfahren Wir untersuchen in diesem Abschnitt die lokalen Konvergenzeigenschaften des inexakten Newton Verfahrens aus dem Algorithmus 3.1. Diese hängen natürlich von der Wahl der Folge {η k } ab. Der folgende Satz besagt nun, dass man bei geeigneter Wahl der Toleranzen η k in völliger Analogie zum eigentlichen Newton Verfahren wieder lineare, superlineare bzw. gar quadratische Konvergenz erreichen kann.

3 3.2. KONVERGENZ INEXAKTER NEWTON VERFAHREN 43 k F (x k ) f(x k ) i Tabelle 3.1: Inexaktes Newton Verfahren für nichtlineare Randwertaufgabe (f(x) := 1 2 F (x)t F (x)) Satz 3.2 Seien F : R n R n stetig differenzierbar und x R n eine Nullstelle von F mit F (x ) regulär. Dann existiert ein ε >, so dass für jedes x K ε (x ) die folgenden Aussagen gelten: (a) Ist η k η für ein hinreichend kleines η (, 1), so ist der Algorithmus 3.1 wohldefiniert und die durch ihn erzeugte Folge {x k } konvergiert gegen x. (b) Die Konvergenzrate ist superlinear, falls η k gilt. (c) Die Konvergenzrate ist quadratisch, falls η k = O( F (x k ) ) gilt und F lokal Lipschitz-stetig ist. Beweis: Der Beweis ist letztlich nur eine relativ einfache Verallgemeinerung des entsprechenden Konvergenzsatzes 2.6 für das Newton Verfahren aus dem Algorithmus 2.1. Da F stetig differenzierbar ist, handelt es sich nach dem Mittelwertsatz bei F zumindest um eine lokal Lipschitz stetige Funktion. Also existieren ein ε 1 > und eine Konstante L > mit F (x) = F (x) F (x ) L x x (3.3) für alle x K ε1 (x ). Wegen Lemma 2.4 existiert ferner ein ε 2 >, so dass F (x) für alle x K ε2 (x ) regulär ist mit F (x) 1 c (3.4) für eine Konstante c >. Aufgrund des Lemmas 2.5 (a) existiert außerdem ein ε 3 > mit F (x) F (x ) F (x)(x x ) 1 4c x x (3.5) für alle x K ε3 (x ). Setze nun ε := min{ε 1, ε 2, ε 3 } und η = 1 4cL. (3.6)

4 44 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN Wähle x K ε (x ). Dann ist F (x ) zumindest regulär. Insbesondere lässt sich daher ein d R n mit (3.2) berechnen. Somit ist x 1 wohldefiniert, und es gilt wegen (3.3) (3.6): x 1 x = x x F (x ) 1 F (x ) + F (x ) 1 [F (x )d + F (x )] F (x ) 1 [ F (x ) F (x ) F (x )(x x ) + F (x )d + F (x ) ] ( ) 1 c 4c x x + η F (x ) ( ) 1 c 4c x x + ηl x x = 1 2 x x. Also ist auch x 1 K ε (x ), und per Induktion folgt ( ) k 1 x k x x x 2 für alle k N. Ist also η k η, so ist die Folge {x k } wohldefiniert und (mindestens) linear konvergent gegen x. Dies beweist die Aussage (a). Zum Nachweis von Teil (b) bemerken wir zunächst, dass man analog zur obigen Ungleichungskette auch x k+1 x c ( F (x k ) F (x ) F (x k )(x k x ) + η k F (x k ) ) beweisen kann. Für η k ist daher c ( F (x k ) F (x ) F (x k )(x k x ) + η k L x k x ) x k+1 x = o( x k x ) wegen Lemma 2.5 (a), d.h., die Folge {x k } konvergiert (mindestens) superlinear gegen x, womit auch die Aussage (b) bewiesen ist. Der Nachweis der quadratischen Konvergenz lässt sich auf ähnliche Weise verifizieren und bleibt dem Leser daher als Aufgabe überlassen. Aufgrund des Satzes 3.2 ist es zumindest aus theoretischer Sicht überhaupt nicht nötig, die Newton Gleichung (3.1) in jeder Iteration exakt zu lösen. Bei geeigneter Wahl der Parameter η k ergibt sich nämlich auch bei inexakter Lösung die superlineare oder quadratische Konvergenz des Algorithmus 3.1. Andererseits hinterlässt der Satz 3.2 auch einen etwas faden Beigeschmack: Die Aussage (a) (von der letztlich auch (b) und (c) abhängen) ist theoretisch zwar recht interessant, praktisch jedoch wenig brauchbar, da nicht gesagt wird, wie klein die obere Schranke η denn nun wirklich gewählt werden muss, um zumindest (lineare) Konvergenz zu erhalten. Tatsächlich wird sich herausstellen, dass man η (, 1) beliebig wählen kann. Als Vorbereitung hierzu beweisen wir zunächst ein weiteres Hilfsresultat.

5 3.2. KONVERGENZ INEXAKTER NEWTON VERFAHREN 45 Lemma 3.3 Seien F : R n R n stetig differenzierbar und {x k } R n eine gegen ein x R n konvergente Folge. Dann gilt F ( x + τ(x k x ) ) F (x ) dτ für k. Beweis: Aus x k x folgt sofort x + τ(x k x ) x für k, und zwar gleichmäßig für alle τ [, 1]. Da F stetig ist, gibt es somit zu einem beliebig vorgegebenen ε > ein k = k (ε) N mit und alle τ [, 1]. Dies impliziert F ( x + τ(x k x ) ) F (x ) ε k k F ( x + τ(x k x ) ) F (x ) dτ εdτ = ε für alle k k. Da ε > beliebig gewählt war, folgt hieraus die Behauptung. Zum Nachweis der linearen Konvergenz des inexakten Newton Verfahrens bei beliebiger Wahl von η (, 1) müssen wir zu einer anderen (angepassten) Norm übergehen, nämlich x := F (x )x für x R n, wobei x den Voraussetzungen des Satzes 3.2 genügen soll. Dass der Übergang zu einer anderen (angepassten) Norm sinnvoll sein kann, folgt sofort aus der Definition der linearen Konvergenz, da die dort auftretende Konstante c (, 1) von der Wahl der Norm abhängt, d.h., die lineare Konvergenz ist eine von der Wahl der Norm abhängige Eigenschaft. Satz 3.4 Seien F : R n R n stetig differenzierbar und x R n eine Nullstelle von F mit F (x ) regulär. Dann existiert ein ε >, so dass für jedes x K ε (x ) die folgenden Aussagen gelten: (a) Ist η k η für ein beliebiges η (, 1), so ist der Algorithmus 3.1 wohldefiniert und die durch ihn erzeugte Folge {x k } konvergiert linear gegen x in der Norm. (b) Die Konvergenzrate ist superlinear (in der Norm ), falls η k gilt. (c) Die Konvergenzrate ist quadratisch (in der Norm ), falls η k = O( F (x k ) ) gilt und F lokal Lipschitz-stetig ist.

6 46 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN Beweis: Die Aussagen (b) und (c) folgen sofort aus dem Satz 3.2, da sowohl die superlineare als auch die quadratische Konvergenz Eigenschaften sind, die von der jeweils gewählten Norm unabhängig sind. Der Nachweis von Teil (a) ist im Prinzip ebenfalls ähnlich zum Beweis des Satzes 3.2, wobei gewisse Abschätzungen aber etwas vorsichtiger vorgenommen werden müssen. Sei also η (, 1) beliebig und η und eine reelle Zahl mit η < η < 1. Wegen Lemma 2.4 existiert ein ε 1 >, so dass F (x) regulär ist mit F (x) 1 c (3.7) für alle x K ε1 (x ) für ein gewisses c >, wobei alle Kugelumgebungen in diesem Beweis bezüglich der -Norm genommen werden. Wähle nun δ > hinreichend klein, so dass cδ F (x ) + η(1 + δ)(1 + cδ) η (3.8) gilt. Man beachte hierbei, dass dies wegen η < η stets möglich ist. Wegen Lemma 3.3 existiert ein ε 2 > mit F (x + τ(x x )) F (x ) dτ δ F (x ) 1 für alle x K ε2 (x ). Aus dem Mittelwertsatz in der Integralform folgt daher F (x) = F (x ) + +F (x )(x x ) [ F (x + τ(x x )) F (x ) ] dτ(x x ) F (x + τ(x x )) F (x ) dτ x x + x x δ F (x ) 1 F (x )(x x ) + x x F (x ) 1 ( δ + 1 ) x x für alle x K ε2 (x ), da x nach Voraussetzung eine Nullstelle von F ist. Wegen Lemma 2.5 (a) existiert außerdem ein ε 3 > mit F (x) F (x ) F (x)(x x ) δ F (x ) 1 x x δ x x für alle x K ε3 (x ). Schließlich gibt es aus Stetigkeitsgründen ein ε 4 > mit F (x) F (x ) δ für alle x K ε4 (x ). Setze nun ε := min{ε 1, ε 2, ε 3, ε 4 }, und wähle x K ε (x ). Wir setzen zur Abkürzung r := F (x )d + F (x )

7 3.3. ITERATIVE LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 47 und bemerken, dass aufgrund der Regularität von F (x ) insbesondere ein Vektor d R n existiert mit r η F (x ) (man kann z.b. d als exakte Lösung der Newton Gleichung wählen). Somit ist x 1 wohldefiniert, und es gilt aufgrund der obigen Ungleichungen x 1 x = F (x )(x 1 x ) = F (x )[x x F (x ) 1 F (x )] + F (x )F (x ) 1 r F (x ) x x F (x ) 1 F (x ) + r + (F (x ) F (x ))F (x ) 1 r F (x ) F (x ) 1 [F (x )(x x ) F (x )] + r + c F (x ) F (x ) r cδ F (x ) x x + r + cδ r cδ F (x ) x x + η(1 + cδ) F (x ) cδ F (x ) x x + η(1 + δ)(1 + cδ) x x ) = ( cδ F (x ) + η(1 + δ)(1 + cδ) ) x x ) η x x. Wegen η < 1 ist daher auch x 1 K ε (x ). Per Induktion folgt somit, dass die durch den Algorithmus 3.1 erzeugte Folge {x k } existiert und der Bedingung x k+1 x η x k x genügt. Hieraus folgt die Aussage (a). 3.3 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme Bei der Realisierung von inexakten Newton Verfahren muss man in der Lage sein, die Newton Gleichung F (x k )d = F (x k ) durch ein geeignetes Verfahren approximativ zu lösen. Hierfür eignen sich eine ganze Reihe von iterativen Verfahren, auf die wir in diesem Abschnitt aber nur sehr kurz eingehen werden, da sie nicht unmittelbar zum Thema dieser Vorlesung gehören und deren Herleitung hier zu viel Platz einnehmen würde. Statt der Newton Gleichung betrachten wir in diesem Abschnitt ein allgemeines lineares Gleichungssystem der Gestalt Ax = b (3.9) mit einer zumindest regulären Matrix A R n n und einer beliebigen rechten Seite b R n. Im Falle der Newton Gleichung ist also A = F (x k ) und b = F (x k ).

8 48 KAPITEL 3. INEXAKTE NEWTON VERFAHREN Ist die Matrix A nun symmetrisch und positiv definit, so kann man das bekannte CG Verfahren anwenden, um eine approximative Lösung des linearen Gleichungssystems (3.9) zu erhalten. Ist die Matrix A lediglich symmetrisch, aber nicht mehr positiv definite, so lässt sich beispielsweise das MINRES Verfahren anwenden. Allerdings ist die Jacobi Matrix A = F (x k ) im Allgemeinen nicht symmetrisch, geschweige denn positiv definit. Daher ist man bei der Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen mittels inexakter Newton Verfahren meist an solchen Methoden interessiert, die auch zur Lösung von nichtsymmetrischen Gleichungssystemen eingesetzt werden können. In der Literatur findet man hierfür eine Reihe von verschiedenen Methoden, unter anderem die Verfahren GMRES, GMRES(m), BiCGSTAB, CGS, QMR und TFQMR, vergleiche hierzu beispielsweise [1, 6]. Keines dieser hier genannten Verfahren hat den Ruf, das jeweils beste Verfahren zur iterativen Lösung eines nichtsymmetrischen linearen Gleichungssystems zu sein. Vielmehr kommt es in der Praxis gar nicht so selten vor, dass ein solches Gleichungssystem sogar durch keines dieser Verfahren gelöst werden kann! Damit der Leser aber in der Lage ist, ein inexaktes Newton Verfahren selbst zu programmieren, wollen wir hier zumindest eines der oben genannten Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems der Gestalt (3.9) angeben. Hierzu wählen wir das BiCGSTAB Verfahren, weil wir dieses auch im Abschnitt 3.1 benutzt haben. Algorithmus 3.5 (BiCGSTAB Verfahren) Wähle Startvektor x R n und setze r := b Ax, p := r. Wähle ˆr mit r, ˆr, z.b. ˆr := r. FOR k =, 1, 2,... α k := rk,ˆr ; Ap k,ˆr s k := r k α k Ap k ; ω k+1 := Ask,s k ; As k,as k x k+1 := x k + α k p k + ω k+1 s k ; r k+1 := s k ω k+1 As k ; β k := α k ω k+1 rk+1,ˆr ; r k,ˆr p k+1 := r k+1 + β k (p k ω k+1 Ap k ); END Bei geeigneter Implementation können die Vektoren s k, x k+1, r k+1 und p k+1 offenbar überschrieben werden. Zusammen mit dem gesondert abzuspeichernden Vektor ˆr und den ebenfalls einzeln abzuspeichernden Matrix Vektor Produkten Ap k und As k ergibt sich also ein Bedarf von lediglich 7 Vektoren, die neben dem Platzbedarf für die Durchführung der Matrix Vektor Produkte mit A den wesentlichen Speicheraufwand darstellen. Setzt man das BiCGSTAB Verfahren als iterativen Löser beim inexakten Newton Verfahren ein, so empfiehlt es sich, den Nullvektor als Startpunkt für das BiCGSTAB Verfahren zu wählen.

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