Methoden der computergestützten Produktion und Logistik

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1 Methoden der computergestützten Produktion und Logistik 5. Lineares Input-Output System Prof. Dr.-Ing. habil. Wilhelm Dangelmaier Modul W 2336 SS 2017

2 Lineare allgemeine Systeme Definition 20: Ein allgemeines System (X, Y, S) heißt linear, wenn dafür gilt: (1) X ist ein linearer Raum über K. (2) Y ist ein linearer Raum über K. (3) x,x' X y,y' Y xsy x'sy' (x x' )S(y y' ) (4) x X y Y k K xsy kxsky Ein lineares allgemeines System (X, Y, S) stellt also einen Teilraum von X Y dar (die lineare Struktur in X Y sei wie üblich von X und Y induziert). Daher können zur Konstruktion linearer allgemeiner Systeme alle Konzepte angewendet werden, die man zur Konstruktion von Teilräumen linearer Räume kennt. Die Bedingungen (3) und (4), die die Linearität definieren, verlangen, dass die betrachtete Konstruktion immer so weiter geht. Ein begrenzter Definitions- oder Wertebereich wird mit diesen Bedingungen immer überschritten. 2

3 Beispiel: Lineares System Wir betrachten eine Kaffeemaschine. Linear abhängig von der Wassermenge, die als Input x eingefüllt wird, ist die erzeugte Menge Dampf als Output y. Wir können hier R als Körper nehmen. x und x bzw. y und ӯ können bspw. zwei identische Kaffeemaschinen rein. Dasselbe Ergebnis wird erzielt, wenn man in die erste zusätzlich x füllt (3). Dasselbe drücken wir mit (4) aus: Aus der Leistung einer Kaffeemaschine folgt die Leistung von k parallelen Kaffeemaschinen. 3

4 Komponenten Lineares Input-Output System Beispiel: Lineares Produktionssystem Wir betrachten eine Menge von Tischen, die aus unterschiedlichen Komponenten mit unterschiedlichen Stückzahlen hergestellt wird. Jede Komponente stellt eine Dimension dar, in der die jeweils verwendeten Stückzahlen eingetragen werden. Der Output Y ist dagegen eindimensional; wir bilden also einen n-dimensionalen Vektor auf einen eindimensionalen ab. Das Ergebnis / der Output wird zweidimensional, wenn wir eine Kuppelproduktion und Produkte ggf. mit unterschiedlichen Stückzahlen betrachten. Hier wird dann jede Tischklasse (bspw. Tisch Theodor ) über die Stückzahlen für jede Komponente (1 Tischplatte 88, 4 Tischbeine Antik, 24 Schrauben 3,5 x 35) als Input-Output System über den ganzen Zahlen Z dargestellt. 4 Theodor i Anzahl Tischplatte i Tischbeine Antik i Tischbeine Futur Schrauben 3,5 x Schrauben 3,5 x i

5 Beispiel: Kooperierende Kreisförderer Wir betrachten zwei gekoppelte Kreisförderer, die zur Vereinzelung der Heizschlangen von Kaffeemaschinen eingesetzt werden. Dazu läuft der erste Kreisförderer mit einer konstanten Umlaufgeschwindigkeit V i, der zweite läuft mit der konstanten Geschwindigkeit V 0. Beide Kreisförderer haben je 5 Plätze; als linearen Raum verwenden wir Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Gestartet wird beides mal bei 0; die Förderer drehen wie in der Skizze gezeigt Input Output V i 0 0 V 0 x: = {0, 1, 2, 3, 4) = Z 5 y: = {0, 1, 2, 3, 4) = Z V i : V 0 = 1 : 1; S : = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} V i : V 0 = 1 : 2; S : = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)} V i : V 0 = 1 : 3; S : = {(0, 0), (1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 2)} 2 Damit haben wir 3 Systeme S konstruiert. Für Bedingung (3) gilt beispielsweise bei x = 2 und x = 3 mit V i : V 0 = 1 : 2 (2, 4) (3, 1) (0, 0). Mit k = 3 und x = 2 gilt für Bedingung (4) (3 2, 3 4) (1, 2).. 5

6 Definition 21: Eine Teilmenge U der Relation S eines linearen allgemeinen Systems heißt linear, wenn sie gegenüber Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, wenn also gilt (3) (4) x,x X y,y Y x X y Y K xuy xuy (x xuy xu y x)u(y y) Wie üblich wollen wir die Bedingungen (1) und (2) auch durch die Symbolik (1 ) U U U (2 ) K U U abkürzen. Mit jeder linearen Teilmenge U kann das zugehörige lineare allgemeine System (X, Y, U) betrachtet werden. Wir nennen jedes solche System ein lineares Teilsystem von (X, Y, S). 6

7 Beispiel: Lineares Teilsystem Wir betrachten nur die jeweils ersten drei Plätze (V i : V 0 = 1 : 2) U : = {(0, 0), (1, 2), (2, 1)} Addition (0, 0) + (1, 2) = (1, 2) (1, 2) + (2, 1) = (3, 3) = (0, 0) (2, 1) + (2, 1) = (1, 2) technisch gesehen überspringen wir die Plätze 3 und An dieser Stelle drängt sich die folgende Definition einer Quotientenstruktur auf: 7

8 Definition 22: Für ein lineares allgemeines System (X, Y, S) und ein zugehöriges Teilsystem (X, Y, U) erklären wir die Äquivalenzrelation ~ auf S durch ( x,y) ~ (x,y) : (x,y) U (x,y) U und den Quotientenraum (S/U,, ) als das algebraische System, das gegeben ist durch (1) S/U ist die Quotientenmenge von S bezüglich ~. (2) : S/U S/U S/U mit [(x, y)] [( x, y )]: = [(x + x, y + y)]. (3) : K S/U S/U mit [(x, y)]: = [( x, y)]. Wir erkennen, dass die Operationen und in der üblichen Weise einen linearen Raum definieren. Es gilt damit: Der Quotientenraum (S/U,, ) ist ein linearer Raum über K. Mit jedem Quotientenraum S/U eines linearen allgemeinen Systems (X, Y, S) liegt so eine Partition desselben in Teilsysteme vor. Wir werden nachfolgend gerade solche Partitionen bevorzugt zur Parametrisierung von allgemeinen Systemen benutzen. 8

9 Beispiel: Äquivalenzrelation Es gelte bspw. die Äquivalenzrelation für jeweils 5 Stationen 0 (0, 5, 10, 15,...) 1 (1, 6, 11, 16,...) 2 (2, 7, 12, 18,...)... und S/U = {0, 1, 2, 3, 4}. 9

10 Wir führen nun das Konzept einer linearen Struktur bei Zustandsparametrisierungen (X, Y, Z, p) ein. Definition 23: Eine Zustandsparametrisierung (X, Y, Z, p) eines allgemeinen Systems (X, Y, S) heißt linear, wenn dafür gilt: (1) (X, Y, S) ist linear über K. (2) Z ist ein linearer Raum über K. (3) Für p: Z P(X Y) gilt: (3a) p(0) ist ein Teilraum von S (3b) {p(z): z Z} = S/p(0) (3c) (3d) z,z Z z Z K p(z z) p(z) p(z) p(az) p(z) Die Bilder der Parametrisierungsabbildung p sind also bei einer linearen Zustandsparametrisierung gleich den Nebenklassen der Zerlegung von S nach dem Teilraum p(0), dem Bild des Nullzustandes. 10

11 Beispiel: Lineare Zustandsparametrisierung, Anzahl der Umdrehungen, Variation der Stationenanzahl Wir betrachten einen Linearförderer als Input- und einen Kreisförderer als Outputmedium p(0) bedeutet dann: 0 Umdrehungen des Kreisförderers und damit auch den Input und Output bei < 1 Umdrehungen (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)), also Z = 0, x = {0, 1, 2, 3, 4}. Dann folgt der Input/Output beginnend mit 0 für Z = 1: (5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4). Und dann folgt die nächste Nebenklasse der Zerlegung nach Null. 11

12 Für zwei identische Förderer mit begrenzter Stationenzahl wird das so zunächst nicht deutlich: Hier gilt p (0): = (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4). Aber das ist nur die erste Umdrehung. Ab der 2. Umdrehung gelten genau dieselben Relationen. Wenn wir jetzt die Anzahl der Umdrehungen mitführen, haben wir eine eindeutige Relation - oder keine Parametrisierung. Wenn wir zwei Kreisförderer bspw. mit 3 und 5 Plätzen betrachten, gilt für z = 0: (0, 0), (1, 1), (2, 2), (0, 3), (1, 4), (2, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (0, 4), (1, 0), (2, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4). Dann wiederholt sich das ganze immer so fort für z = 1,...,. Für jeden Zustand ist die Parametrisierung p eindeutig. 12

13 Beispiel: Geschwindigkeit als Parameter Wir betrachten Z als die Menge parallel arbeitender Montagelinien. x sei der Takt (1, 2, 3,...) und y die Anzahl hergestellter Fahrräder. x und y sind die ganzen Zahlen inkl. 0 oder zyklisch p(0) ist Teilraum: Wir starten mit der Nullparametrisierung. Die Menge aller Parameter ergibt S p(z + z) = p(z) + p(z) = p(1) + p(2) = p(3) p( z) = p(z) = p(3 1) = 3 p(1) 13

14 Wir nehmen als Input den Takt, als Parameter die Anzahl der Montagelinien und als Output die hergestellten Fahrräder: Anzahl der Montagelinien Takt (0, 0) (0) (0) (0) (0) (0) 1 (0, 0) (1) (2) (3) (4) (5) 2 (0, 0) (2) (4) (6) (8) (10) 3 (0, 0) (3) (6) (9) (12) (15) 14

15 Aufgaben Gib Schaltungen linearer allgemeiner Systeme an, bei denen die Linearität erhalten bleibt. Gib Schaltungen linearer Zustandsparametrisierungen an, bei denen die Linearität erhalten bleibt. 15