1 Gesetz von Biot-Savart

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1 1 1 Gesetz von Biot-Savart d l: Längenelement entlang der Stromrichtung für eine beliebige Anordnung von Strömen gilt: L I = B( r 2 ) = µ 4π I L A I d l = j d A L ( B( r 2 ) = µ 4π A d l r 12 r12 3 dv = d A d l ) j da d l = j dv V V j( r 1 ) r 12 r12 3 dv Beispiel 1 (Gerader Stromfaden unendlicher Länge) db = µ I d l r 12 4π r12 3 = µ 4π B( r 2 ) = µ I 4π I dr 1 r 12 sin(θ) r12 3 ê ϕ = µ 4π [ r 2 (r r2 2 ) 3 2 dr 1 = µ I 4π r I dr 1 r 2 12 r 12 r12 3 ê ϕ = µ 4π r 1 r r 2 2 r 2 ] I r 2 dr 1 r12 3 ê ϕ = µ 2π I r 2

2 2 B( r 2 ) = µ I ê ϕ 2π r 2 (gleiches Ergebnis wie mit Ampère schem Gesetz, Rechnung jedoch viel aufwändiger) Liegt Symmetrie vor, sodass B-Feld entlang einer geschlossenen Linie um den Leiter konstant ist: Ampère sches Gesetz, sonst: Biot-Savart. Beispiel 2 (Ringstrom (Leiterschleife)) Leiterschleife liegt in x,y-ebene, gesucht ist B-Feld auf z-achse: B( z). Da wir entlang d l integrieren wollen, parametrisieren wir l l(ϕ) und ersetzen d l durch dϕ l(ϕ). Auch r 12 wird parametrisiert r 12 (ϕ) ( r 12 zeigt nach Innen; vom Draht zum Punkt, an dem B ermittelt werden soll) l = Rsinφ Rcosφ r 12 = l r 12 = Rsinφ Rcosφ Rcosφz Rsinφz R 2 ; B(z) = µ 4π I L dφ l r 12 r12 3 = µ 2π 4π I = µ 4π I 1 (R 2 + z 2 ) 3 2 r 12 = R 2 + z 2 dφ Rcosφz Rsinφz R 2 (R 2 + z 2 ) 3 2 R 2 2π = µ 4π I 1 (R 2 + z 2 ) 3 2 = µ 2 I R 2 ê (R 2 + z 2 ) 3 z 2 Rzsinφ Rzcosφ R 2 φ 2π

3 3 2 Faradaysches Induktionsgesetz Definition: Magnetischer Fluss: Φ B = BdA [Φ B ] = 1T m 2 = 1W b Ändert sich der magnetische Fluss durch eine (fast) geschlossene Leiterschleife, so wird zwischen den beiden Enden der Schleife eine Spannung induziert. Diese Spannung heißt Induktionsspannung. Die Induktionsspannung U i ergibt sich zu U i = dφ B Das Minus und damit die Einhaltung des Energie-Erhaltungssatzes wird durch die Lenz sche Regel anschaulich beschrieben. Lenz sche Regel: Ein induzierter Strom ist so gerichtet, dass er seiner Ursache, der Änderung des magnetischen Flusses entgegen wirkt. Für das vom Induktionsstrom hervorgerufene B-Feld gilt: Ist die Ursache des Induktionsstroms die Abnahme des ursprünglich vorhandenen Feldes, so ist das induzierte Feld dem ursprünglichen gleich gerichtet, um es zu verstärken, um der Abnahme entgegen zu wirken. Ist die Ursache die Zunahme des ursprünglich vorhandenen Feldes, so ist das induzierte Feld dem ursprünglichen entgegen gerichtet, um es zu schwächen, um der Zunahme entgegen zu wirken. 3 Induktion & Arbeit Wird eine Leiterschleife (mit eingebautem Verbraucher oder Widerstand) in einem Magnetfeld bewegt, so dass sich der magnetische Fluss durch sie ändert, bewirkt der Induktionsstrom eine Kraft, die der Bewegungsrichtung entgegen wirkt (Energieerhaltung: Im Verbraucher dissipiert Energie, diese Energie muss durch die Bewegung der Schleife in das System gebracht werden; Die Bewegung erfolgt gegen die oben beschriebene Kraft) In der folgenden Rechnung werden nur Beträge betrachtet

4 4 Φ B = B d A = B L x U i = dφ B = B L ẋ = B L v mit R = U I : Mit F = I L B: I = U i R = BLv R F 2 = F 3 (entgegengesetzte Richtung) F 1 = ILB sin(9) = B2 L 2 v R Leistung P = F 1 v = B2 L 2 v 2 R 4 Induktivität L Spule: wie bereits bekannt, ist das B-Feld in der Spule proportional zum Strom, der sie durchfliesst: B I. Mit Φ B = B A (B konstant auf ganz A): Φ I Φ B = L I N N: Windungszahl Der Proportionalitätsfaktor L wird als Eigeninduktivität der Spule bezeichnet (oder kurz Induktivität). Mit Φ B = µ I N l A folgt L = µa N 2 l l: Spulenlänge [L] = 1 H = 1 Henry 5 Selbst-Induktion In einer von einem sich ändernden Strom durchflossenen Spule wird eine Spannung induziert, die der dem Strom verursachenden Spannung entgegen wirkt. U i = N dφ B = L I RL-Schaltkreis

5 5 Maschenregel: = U U R + U i = U I R LI Ausschaltvorgang: = IR + L I I + R L I = Lsg zu AB: I(t = ) = I : I(t) = I e R L t Einschaltvorgang: U = IR + LI I + R L I = U L I partikulär = U R Lsg zu AB: I(t = ) = : I(t) = U R (1 e R L t) 6 Energie des Magnetfeldes Energie: (Hergeleitet am RL-Schaltkreis) Leistung: U I = U = L I + IR I LI di + }{{ }{{} I 2 R } Verlustleistung des Widerstandes Leisung, die Energie "ins Magnetfeld der Spule steckt" Energie: W m ; dw m = LI di W m I dw m = LI di W m = 1 2 LI2 Energie in Magnetfeld einer Spule Energiedichte: (Hergeleitet an Spule) w m = W m Al = LI2 Al = 1 2 µ A N 2 I 2 l w m = 1 1 B 2 2 µ 1 Al = 1 2 µ N 2 l 2 I2 Formel für Energiedichte des Magnetfeldes ist allgemein gültig.

6 6 7 Der Schwingkreis a) ungedämpft: Reihenschaltung aus L und C kein Widerstand Gesamtenergie im Schwingkreis ist zeitlich konstant Ansatz: q(t) = sin(ωt) oder q(t) = cos(ωt) W = W e + W m = q2 2C + LI2 2 = q2 2C + L 2 ( q)2 dw = q q C + Lq q = 1 q(t) + L q(t) = C Lsg: q(t) = Q m sin(ωt + φ) Q m : maximale Ladung des Kondensators / q ω = 1 LC Kreisfrequenz des Schwingkreis gedämpft: Reihenschaltung aus L, C, und R L I + RI + 1 C q = L q + R q + 1 C q = q = Q m e R 2L sin(ω t + Φ)

7 7 ω = ω 2 ( ) 2 R 1 = 2L LC R2 4L 8 Wechselstrom-Schaltkreise Als Spannungsquelle dient ein Frequenzgenerator, der eine sinusförmige Wechselspannung liefert: U(t) = U sin(ωt) am Widerstand R gilt: I(t) = I sin(ωt) Strom und Spannung sind in Phase Aus der mittleren Leistung P eff = 1 T T U(t)I(t) = U eff I eff folgt für sinusförmige Wechselspannung: U eff = U 2 I eff = I 2 an einer Induktivität L gilt: I = U L U(t) = U sin(ωt)! = L I sin(ωt) = U ωl cos(ωt) = U ωl sin (ωt π 2 Strom wird durch die Spule verzögert (Phasendifferenz ϕ = 9) ) induktiver Widerstand: X L = ωl am Kondensator C gilt: Q(t) = C U(t) = C U sin(ωt) I(t) = dq = ωc U cos(ωt) = ωc U sin(ωt + π 2 ) Der Strom eilt der Spannung (um 9 ) voraus. kapazitiver Widerstand: X C = 1 ωc Spulen und Kondensatoren werden als Blindwiderstände bezeichnet, da sie keine Verlustleistung besitzen. D.h. an ihnen geht keine Energie verloren. Um die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom zu berücksichtigen, verwendet man meist die komplexe Schreibweise: Widerstand Z = R Kapazität Z = 1 iωc = i ωc Induktivität Z = iωl Diese komplexen Grössen werden nach den Regeln für ohmsche Widerstände addiert. Reihenschaltung: analog zu R ges = R 1 + R 2 + R 3 Z = R + iωl i 1 ( ωc = R + i ωl 1 ) ωc

8 8 Parallelschaltung: analog zu 1 R Ges = 1 R R R 3 Der Betrag von Z wird Impedanz genannt. 1 Z = 1 R + 1 iωl + iωc Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom, die an einem Schaltkreis auftritt errechnet sich aus: tan(ϕ) = Im [Z] Re [Z] Aus U(t) = U sin(ωt) folgt: I(t) = I sin(ωt ϕ) 9 Maxwell scher Verschiebungsstrom Betrachten wir einen Kondensator, der gerade geladen wird, stellt man fest, dass sich nicht nur um die Zuleitungen zum Kondensator ein Magnetfeld ausbildet (vgl. Ampère sches Durchflutungsgesetz) sondern auch um das sich ändernde elektrische Feld des Kondensators. Diese Beobachtung legt nahe, einem sich ändernden elektrischen Feld formal einen Strom zuzuweisen, den Maxwell schen Verschiebungsstrom I d = ɛ d Φ E mit Φ E = E d A, dem elektrischen Fluss j d = I d A = ɛ E t 1 Induzierte magnetische Felder Das Ampère sche Gesetz kann unter Berücksichtigung des Maxwell schen Verschiebungsstroms auf den allgemeinen Fall, dass nicht nur ein Strom fliesst, sondern zusätzlich ein sich änderndes elektrisches Feld vorhanden ist, erweitert werden. dφ e B d s = µ (I + I d ) = µ I + µ ɛ Ampere-Maxwell-Gesetz 11 Maxwell-Gleichungen Gauss sches Gesetz div E = ρ ɛ verbindet den elektrischen Fluss mit der eingeschlossenen Ladung E da = 1 ɛ A V A ρ dv q ɛ In Materie: D = ɛ ɛ r E div D = ρ

9 9 Gauss sches Gesetz für Magnetismus div B = verbindet den magnetischen Fluss mit der eingeschlossenen magnetischen Ladung A B d A = In Materie: B = µ µ r H div B = Faraday sches Induktionsgesetz rot E = B t verbindet induziertes E-Feld mit der Änderung des magnetischen Flusses E d s = d B d d A = Φ B In Materie: C A C rot E = B t Ampère-Maxwell-Gesetz rot B = µ j + µ ɛ E t verbindet das induzierte B-Feld mit dem Strom und der Änderung des elektrischen Flusses B d s = µ j d d A + µ ɛ E d d A = µ I + µ ɛ A C Φ E C A C in Materie: rot H = j + D t 12 Materie im Magnetfeld Der Drehimpuls L der Elektronen eines Atoms kann als atomarer Kreisstrom betrachtet werden und erzeugt ein magnetisches Dipolmoment: m = e 2m e L m = e n = nµ B 2m e Der Drehimpuls ist ein ganzzahliges Vielfaches (n-faches) des Plank schen Wirkungsquantums und des Bohr- Magnetons µ B = A m 2. Magnetisierung: M = 1 V m i = 1 χ magb µ i B = B + µ M = B + χ mag B B = µ r B Magnetische Erregung H = 1 µ µ r B

10 1 Stetigkeit an Grenzflächen: H 1 = H2 B 1 = B 2 Diamagnetismus (µ r 1) Eigenschaft der meisten Materialien aufgrund des Bestrebens der Elektronen, in Paaren mit entgegengesetztem Bahn-Eigendrehimpuls aufzutreten (Minimierung der Gesamtenergie). Ein externes Magnetfeld induziert ein magnetisches Dipolmoment, das dem äusseren Feld entgegen gerichtet ist (Lenz sche Regel). Paramagnetismus (µ r > 1) Stoffe, die aufgrund ungepaarter Elektronen bereits permanente magnetische Dipole besitzen. Die zufällige Ausrichtung der permanenten Dipole führt dazu, dass ohne äusseres Feld die Summe über alle Dipolmomente näherungsweise Null ist. In einem externen Feld richten sich die Dipole aus und verstärken es. Ferromagnetismus (µ r 1) Materialien mit einer hohen Dichte ungepaarter Elektronen und somit permanenter Dipole. Quantenmechanische Austauschwechselwirkung führen zu einer parallelen Ausrichtung atomarer Dipolmomente, was hohe Suszeptibilitäten zur Folge hat. 13 Elektromagnetische Wellen Wellengleichungen: 2 E t 2 = 1 ɛ µ E 2 B t 2 = 1 ɛ µ B Bei Betrachtung der Wellengleichungen genügt es, sich auf das E-Feld zu beschränken, da das B-Feld durch das E-Feld eindeutig definiert ist. Als Lösung der Wellengleichung erhält man die harmonische Welle E( r, t) = E cos( k r ωt) = Re [E ] e i( k r ωt) für Ausbreitung in x-richtung gilt: E(x, t) = E cos(kx ωt) k = 2π λ = ω c k = k k: Wellenzahl k: Wellenvektor E-M-Wellen sind Transversalwellen, d.h. sie schwingen senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung, E und B liegen in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung E und B stehen senkrecht aufeinander k = E B zeigt in Ausbreitungsrichtung E und B schwingen in Phase. Amplitudenverhältnis: E = cb Ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit c = 1 ɛµ

11 Energiedichte w em = w E + w B = ɛ c E 2 = 1 µ B 2 = 1 µ c EB = 1 c S Energiestromdichte: Poynting-Vektor S = 1 µ E B = E H [S] = W m 2 Die Richtung von S beschreibt die Richtung, in die die Energie fliesst; im Falle elektromagnetischer Wellen im Vakuum zeigt S in Ausbreitungsrichtung der Welle ( S k). Der Betrag S beschreibt die momentane Energietransport-rate, also wie viel Energie pro Zeit und Fläche übertragen wird. Die Intensität I ist das zeitliche Mittel von S Der Strahlungsdruck P beträgt S = 1 µ EB = 1 µ c E2 I = 1 1 E 2 2 cµ P abs = 1 2 ɛ E 2 = I c Diese Formel gilt für den Fall, dass die einfallende E-M-Welle vollkommen von dem Material, auf das sie trifft bzw. auf das sie den Strahlungsdruck ausübt, absorbiert wird. Wird sie vollkommen reflektiert, ist der Strahlungsdruck aufgrund der Impulserhaltung doppelt so hoch: P ref = ɛ E 2 = 2 I c 14 Relativitätstheorie Lorentz-Transformation x, y, z, t sind die Ortskoordinaten und Zeit im Bezugssystem K x, y, z, t sind die Koordinaten im relativ zu K mit Geschwindigkeit v in x-richtung bewegten Bezugssystem K 1 mit γ = 1 v2 c 2 x = γ(x vt) y = y z = z t = γ (t v ) c 2 x Längen Kontraktion L = 1 γ L Zeitdilatation t = γt Im Ruhesystem einer Uhr geht die Zeit am langsamsten.

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