Das Bornhuetter Ferguson Prinzip. Über Gemeinsamkeiten bekannter Reservierungsverfahren
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1 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Über Gemeinsamkeiten bekannter Reservierungsverfahren Klaus D. Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik TU Dresden Mathias Zocher Aktuariat Nichtleben Allianz Suisse Dresden, 30. Oktober 2009
2 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip Beispiele aus der Praxis
3 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Abwicklungsdreieck für Schadenstände (1) Schaden Abwicklungsjahr jahr
4 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Abwicklungsdreieck für Schadenstände (2) Schaden Abwicklungsjahr jahr
5 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Abwicklungsdreieck für Schadenstände (3) Schaden Abwicklungsjahr jahr
6 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Abwicklungsquadrat für Schadenstände Schaden Abwicklungsjahr jahr k... n i... n 1 n 0 S 0,0 S 0,1... S 0,k... S 0,n i... S 0,n 1 S 0,n 1 S 1,0 S 1,1... S 1,k... S 1,n i... S 1,n 1 S 1,n.... i S i,0 S i,1... S i,k... S i,n i... S i,n 1 S i,n n k S n k,0 S n k,1... S n k,k... S n k,n i... S n k,n 1 S n k,n.... n 1 S n 1,0 S n 1,1... S n 1,k... S n 1,n i... S n 1,n 1 S n 1,n n S n,0 S n,1... S n,k... S n,n i... S n,n 1 S n,n Ein Schadenstand S i,k heißt beobachtbar falls i + k n. nicht beobachtbar oder zukünftig falls i + k > n. aktueller Schadenstand falls i + k = n. Endschadenstand falls k = n
7 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Prognose Aufgabe der Schadenreservierung ist die Prognose aller Endschadenstände S i,n aller Schadenjahrreserven S i,n S i,n i der Gesamtreserve n i=0 (S i,n S i,n i ) erweiterter Aufgabenbeich: Prognose aller zukünftigen Schadenstände S i,k aller zukünftigen Zuwächse Z i,k := S i,k S i,k 1 aller Kalenderjahrreserven n j=p n Z j,p j mit i + k > n und p = n + 1,..., 2n. Die zentrale Aufgabe besteht daher in der Prognose der zukünftigen Schadenstände (alternativ der zukünftigen Zuwächse).
8 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Chain-Ladder Bornhuetter-Ferguson Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Das Chain-Ladder Verfahren Das Bornhuetter-Ferguson Verfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip Beispiele aus der Praxis
9 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Chain-Ladder Bornhuetter-Ferguson Chain Ladder Faktoren Aus den beobachtbaren Schadenständen werden die Chain Ladder Faktoren geschätzt. ϕ CL k := n k j=0 S j,k n k j=0 S j,k 1 Schaden Abwicklungsjahr k jahr i ϕ CL k 2,051 1,329 1,232 1,120 1,044
10 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Chain-Ladder Bornhuetter-Ferguson Chain Ladder Verfahren Für i = 0, 1,..., n und k = n i,..., n werden die Prädiktoren Ŝ CL i,k := S i,n i k l=n i+1 als Chain Ladder Prädiktoren bezeichnet. ϕ CL l Beim Chain Ladder Verfahren werden die aktuellen Schadenstände mit Hilfe der Chain Ladder Faktoren ϕ CL l schrittweise auf das Niveau des Abwicklungsjahres k skaliert.
11 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Chain-Ladder Bornhuetter-Ferguson Das Bornhutter-Ferguson Verfahren In der ursprünglichen Form zielt das Bornhuetter-Ferguson Verfahren auf die Prognose der Schadenjahrreserven R i := S i,n S i,n i Die Borhuetter-Ferguson Prädiktoren der Schadenjahrreserven R i sind definiert als ( ) R i := 1 γ n i CL π i κ i mit γ CL n i die aus den Chain-Ladder Faktoren berechnete Quote π i ein Volumenmass und κ i ein Schätzer für die erw. Schadenquote κ i := E[S i,n /π i ]
12 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Chain-Ladder Bornhuetter-Ferguson Vergleich mit dem Chain-Ladder Verfahren Der Prädiktor für den Endschadenstand lässt sich in der Form ( ) Ŝi,n BF = S i,n i + 1 γ n i CL π i κ i schreiben. Im Gegensatz zum Chain-Ladder Verfahren werden Abwicklungsquoten statt Faktoren verwendet, wird der aktuelle Schadenstand S i,n i nicht explizit zur Berechnung der Reserven benötigt und wird mit dem Volumenmass π i und der Schadenquote κ i Information ausserhalb des Schadendreiecks verwendet.
13 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip Beispiele aus der Praxis
14 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Abwicklungsmuster (1) Ein Abwicklungsmuster für Quoten besteht aus Parametern γ 0, γ 1,..., γ n mit γ k = E[S i,k ]/E[S i,n ] für alle k = 0, 1,..., n und alle i = 0, 1,..., n. Die Parameter werden als Abwicklungsquoten bezeichnet. Ein Abwicklungsmuster für Anteile besteht aus Parametern ϑ 0, ϑ 1,..., ϑ n mit ϑ k = E[Z i,k ]/E[S i,n ] für alle k = 0, 1,..., n und alle i = 0, 1,..., n. Die Parameter werden als Abwicklungsanteile bezeichnet.
15 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Abwicklungsmuster (2) Ein Abwicklungsmuster für Faktoren besteht aus Parametern ϕ 1,..., ϕ n mit ϕ k = E[S i,k ]/E[S i,k 1 ] für alle k = 1,..., n und alle i = 0, 1,..., n. Die Parameter werden als Abwicklungsfaktoren bezeichnet. Ein Abwicklungsmuster für Raten besteht aus Parametern β 0, β 1,..., β n mit β k = E[Z i,k ]/E[Z i,0 ] für alle k = 0, 1,..., n und alle i = 0, 1,..., n. Die Parameter werden als Abwicklungsraten bezeichnet.
16 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Abwicklungsmuster (3) Ein Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse besteht aus Parametern ζ 0 (π), ζ 1 (π),..., ζ n (π) mit ζ k (π) = E [ Z i,k /π i ] für alle k = 0, 1,..., n und alle i = 0, 1,..., n. Dabei ist π = (π 0, π 1,..., π n ) ein Vektor von Volumenmassen (zum Beispiel Prämien oder Anzahl Verträge), der vorgegeben ist.
17 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Äquivalenz Folgende Abwicklungsmuster sind äquivalent, d.h. sie können ineinander überführt werden: Abwicklungsmuster für Quoten Abwicklungsmuster für Anteile Abwicklungsmuster für Faktoren Abwicklungsmuster für Raten Liegt ein Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse vor, dann sind auch die Voraussetzung aller oben genannten Abwicklungsmuster erfüllt. Für die umgekehrte Implikation ist die zusätzlich Annahme einer schadenjahrunabhängigen Schadenquote bezüglich des betrachteten Volumenmasses notwendig.
18 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Schätzung der Quoten Schaden Abwicklungsjahr jahr ,287 0,533 0,696 0,858 0,958 1, ,275 0,520 0,686 0,846 0,951 1, ,265 0,509 0,677 0,833 0,937 1, ,262 0,506 0,683 0,842 0,930 1, ,238 0,587 0,738 0,876 0,945 1, ,282 0,522 0,686 0,851 0,940 1,000
19 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Schätzung der Anteile Schaden Abwicklungsjahr jahr ,287 0,245 0,163 0,162 0,100 0, ,275 0,245 0,166 0,160 0,104 0, ,265 0,245 0,167 0,156 0,105 0, ,262 0,243 0,177 0,158 0,088 0, ,238 0,349 0,151 0,138 0,069 0, ,282 0,239 0,164 0,164 0,090 0,060
20 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Schätzung der Faktoren Für die Schätzung der Parameter ϕ 1,..., ϕ n des Abwicklungsmusters für Faktoren stehen für Abwicklungsjahr k zunächst alle Schätzer ϕ i,k := S i,k /S i,k 1 mit i = 0, 1,..., n k zur Verfügung. Schaden Abwicklungsjahr k jahr i ,853 1,306 1,233 1,116 1, ,889 1,319 1,234 1,123 1, ,923 1,329 1,230 1,126 1, ,928 1,351 1,232 1,105 1, ,470 1,258 1,187 1,079 1, ,847 1,351 1,240 1,105 1,064
21 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Chain Ladder Faktoren Die Chain Ladder Faktoren ϕ CL k := n k j=0 S j,k 1 n k h=0 S h,k 1 sind Schätzer für die Faktoren ϕ k. ϕ j,k = n k j=0 S j,k n k j=0 S j,k 1 Schaden Abwicklungsjahr k jahr i ϕ CL k 2,051 1,329 1,232 1,120 1,044
22 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Chain Ladder Quoten Die Chain Ladder Quoten γ CL k := n l=k+1 1 ϕ CL l sind Schätzer für die Abwicklungsquoten γ k. Abwicklungsjahr k ϕ CL k 2,051 1,329 1,232 1,120 1,044 γ CL k 0,255 0,522 0,694 0,855 0,958 1,000
23 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Schätzung der Raten Für die Schätzung der Parameter β 0, β 1,..., β n des Abwicklungsmusters für Raten stehen für Abwicklungsjahr k zunächst alle Schätzer β i,k := Z i,k /Z i,0 mit i = 0, 1,..., n k zur Verfügung. Schaden Abwicklungsjahr k jahr i ,000 0,853 0,567 0,564 0,347 0, ,000 0,889 0,603 0,582 0,379 0, ,000 0,923 0,632 0,588 0,395 0, ,000 0,928 0,676 0,604 0,336 0, ,000 1,470 0,638 0,580 0,290 0, ,000 0,847 0,582 0,582 0,318 0,212
24 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Panning Raten Die Panning Raten β PA k := n k j=0 Zj,0 2 n k β h=0 Z h,0 2 j,k = n k j=0 Z j,k Z j,0 n k j=0 Z j,0 2 sind Schätzer für die Raten β k. Schaden Abwicklungsjahr k jahr i β PA k 1,000 1,092 0,632 0,580 0,365 0,148
25 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Panning Quoten Die Panning Quoten γ PA k := k l=0 n l=0 β PA l β PA l sind Schätzer für die Abwicklungsquoten γ k. Abwicklungsjahr k β PA k 1,000 1,092 0,632 0,580 0,365 0,148 γ PA k 0,262 0,548 0,714 0,866 0,961 1,000
26 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Schätzung der Schadenquotenzuwächse Für die Schätzung der Parameter ζ 0 (π), ζ 1 (π),..., ζ n (π) des Abwicklungsmusters für Schadenquotenzuwächse stehen für Abwicklungsjahr k zunächst alle Schätzer ζ i,k (π) := Z i,k /π i mit i = 0, 1,..., n k zur Verfügung. Schaden Abwicklungsjahr k jahr i ,250 0,214 0,142 0,141 0,087 0, ,247 0,220 0,149 0,144 0,094 0, ,239 0,220 0,151 0,140 0,094 0, ,248 0,231 0,168 0,150 0,083 0, ,250 0,368 0,159 0,145 0,072 0, ,230 0,195 0,134 0,134 0,073 0,
27 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Additive Schadenquotenzuwächse Die additiven Schadenquotenzuwächse ζ AD k (π) := n k j=0 π j n k ζ h=0 π j,k (π) = h n k j=0 Z j,k n k j=0 π j sind Schätzer für die Schadenquotenzuwächse ζ k. Schaden Abwicklungsjahr k jahr i π i ζ AD k 0,243 0,260 0,154 0,142 0,090 0,037
28 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Additive Quoten Die additiven Quoten γ AD k (π) := k l=0 n l=0 ζ AD l ζ AD l (π) (π) sind Schätzer für die Abwicklungsquoten γ k. Abwicklungsjahr k ζ AD k 0,243 0,260 0,154 0,142 0,090 0,037 γ AD k 0,263 0,543 0,709 0,862 0,960 1,000
29 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Definitionen Äquivalenz Schätzung Fazit Fazit zu den Abwicklungsmustern Es gibt verschiedene Sichtweisen auf Abwicklungsmuster. Zur Schätzung kann unterschiedliche Information verwendet werden. Das Abwicklungsmuster für Quoten eignet sich zum Vergleich der verschiedenen Schätzungen.
30 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Loss Development Verfahren Das Chain Ladder Verfahren Das Cape Cod Verfahren Das additive Verfahren Das Verfahren von Panning Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip
31 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Erweitertes Bornhuetter Ferguson Verfahren (1) Dem erweiterten Bornhuetter Ferguson Verfahren liegt die Annahme zugrunde, dass ein Abwicklungsmuster für Quoten vorliegt und dass a priori Schätzer γ 0, γ 1,..., γ n mit γ n = 1 für die Abwicklungsquoten γ 0, γ 1,..., γ n und a priori Schätzer α 0, α 1,..., α n für die erwarteten Endschadenstände α i := E[S i,n ] mit i = 0, 1,..., n verfügbar sind.
32 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Erweitertes Bornhuetter Ferguson Verfahren (2) Die a priori Schätzer können aus interner Information (Abwicklungsdreieck), Volumenmaßen (Prämien für den vorliegenden Bestand), externer Information (Marktstatistiken oder Daten aus ähnlichen Beständen) oder einer Kombination dieser Informationsquellen gewonnen werden.
33 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Erweitertes Bornhuetter Ferguson Verfahren (3) Für i = 0, 1,..., n und k = n i,..., n werden die Prädiktoren ) Ŝi,k BF := S i,n i + ( γ k γ n i α i als Bornhuetter Ferguson Prädiktoren bezeichnet. Beim Bornhuetter Ferguson Verfahren werden also die aktuellen Schadenstände mit Hilfe der a priori Schätzer α i für die erwarteten Endschadenstände und der a priori Schätzer γ k für die Schadenquoten linear fortgeschrieben. Wichtig ist die Trennung von Abwicklungsmuster und erwartetem Endschadenstand.
34 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Erweitertes Bornhuetter Ferguson Verfahren (4) Schaden Abwicklungsjahr k jahr i α i γ k 0,280 0,530 0,710 0,860 0,950 1,000
35 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Loss Development Verfahren Das Chain Ladder Verfahren Das Cape Cod Verfahren Das additive Verfahren Das Verfahren von Panning Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip
36 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Loss Development Verfahren (1) Dem Loss Development Verfahren liegt die Annahme zugrunde, dass ein Abwicklungsmuster für Quoten vorliegt und dass a priori Schätzer γ 0, γ 1,..., γ n mit γ n = 1 für die Abwicklungsquoten γ 0, γ 1,..., γ n verfügbar sind.
37 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Loss Development Verfahren (2) Für i = 0, 1,..., n und k = n i,..., n werden die Prädiktoren Ŝ LD i,k := γ k S i,n i γ n i als Loss Development Prädiktoren bezeichnet. Beim Loss Development Verfahren werden die aktuellen Schadenstände zunächst mit Hilfe des Schätzers γ n i auf das Niveau des letzten Abwicklungsjahres n und sodann mit Hilfe des Schätzers γ k auf das Niveau des Abwicklungsjahres k skaliert.
38 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Loss Development Verfahren (3) Wegen ( ) Ŝi,k LD Si,n i = S i,n i + γ k γ n i γ n i lassen sich die Loss Development Prädiktoren als Bornhuetter Ferguson Prädiktoren bezüglich der a priori Schätzer γ 0, γ 1,..., γ n der Schadenquoten und der a priori Schätzer vom Loss Development Typ α LD i ( γ) := S i,n i γ n i der erwarteten Endschadenstände interpretieren.
39 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Loss Development Verfahren (4) Schaden Abwicklungsjahr k jahr i γ k 0,280 0,530 0,710 0,860 0,950 1,000
40 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Loss Development Verfahren Das Chain Ladder Verfahren Das Cape Cod Verfahren Das additive Verfahren Das Verfahren von Panning Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip
41 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Chain Ladder Verfahren (1) Dem Chain Ladder Verfahren liegt die Annahme zugrunde, dass ein Abwicklungsmuster für Faktoren vorliegt. Das Chain Ladder Verfahren beruht ausschließlich auf den beobachtbaren Schadenständen des Abwicklungsdreiecks und verwendet keine externe Information.
42 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Chain Ladder Verfahren (2) Für i = 0, 1,..., n und k = n i,..., n werden die Prädiktoren Ŝ CL i,k := S i,n i k l=n i+1 als Chain Ladder Prädiktoren bezeichnet. ϕ CL l Beim Chain Ladder Verfahren werden die aktuellen Schadenstände mit Hilfe der Chain Ladder Faktoren ϕ CL l schrittweise auf das Niveau des Abwicklungsjahres k skaliert.
43 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Chain Ladder Verfahren (3) Wegen Ŝi,k CL = γ k CL S i,n i γ CL n i = S i,n i + ( γ k CL γ n i CL ) Si,n i γ CL n i lassen sich die Chain Ladder Prädiktoren als Bornhuetter Ferguson Prädiktoren bezüglich der Chain Ladder Quoten γ 0 CL, γcl 1,..., γcl n und der a priori Schätzer von Loss Development Typ α LD i ( γ CL ) := S i,n i γ CL n i der erwarteten Endschadenstände interpretieren.
44 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Chain Ladder Verfahren (4) Schaden Abwicklungsjahr k jahr i ϕ CL k 2,051 1,329 1,232 1,120 1,044
45 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Loss Development Verfahren Das Chain Ladder Verfahren Das Cape Cod Verfahren Das additive Verfahren Das Verfahren von Panning Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip
46 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Cape Cod Verfahren (1) Dem Cape Cod Verfahren liegt die Annahme zugrunde, dass ein Abwicklungsmuster für Quoten vorliegt und dass a priori Schätzer γ 0, γ 1,..., γ n mit γ n = 1 für die Abwicklungsquoten γ 0, γ 1,..., γ n und ein Vektor π = (π 0, π 1,..., π n ) von Volumenmassen verfügbar sind, sowie eine Endschadenquote κ exisitiert, so dass [ ] Si,n κ = E für alle i = 0, 1,..., n gilt. π i
47 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Cape Cod Verfahren (2) Für i = 0, 1,..., n und k = n i,..., n werden die Prädiktoren ) Ŝi,k CC := S i,n i + ( γ k γ n i π i κ CC ( γ, π) mit der Cape Cod Endschadenquote κ CC ( γ, π) := n j=0 S j,n j n j=0 γ n j π j = n j=0 γ n j π j n k=0 γ n k π k S j,n j γ n j π j als Cape Cod Prädiktoren bezeichnet. Beim Cape Cod Verfahren werden die aktuellen Schadenstände mit Hilfe der mit der Schadenquote κ CC ( γ, π) normierten Volumenmasse π i und der a priori Schätzer γ k der Abwicklungsquoten linear fortgeschrieben.
48 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Cape Cod Verfahren (3) Wegen ) Ŝi,k CC = S i,n i + ( γ k γ n i π i κ CC ( γ, π) lassen sich die Cape Cod Prädiktoren als Bornhuetter Ferguson Prädiktoren bezüglich der a priori Schätzer γ 0, γ 1,..., γ n der Schadenquoten und der a priori Schätzer vom Cape Cod Typ α CC i ( γ, π) := π i κ CC ( γ, π) der erwarteten Endschadenstände interpretieren.
49 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Cape Cod Verfahren (4) Schaden Abwicklungsjahr k jahr i π i γ k 0,280 0,530 0,710 0,860 0,950 1,000 κ CC 0.926
50 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Loss Development Verfahren Das Chain Ladder Verfahren Das Cape Cod Verfahren Das additive Verfahren Das Verfahren von Panning Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip
51 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Additives Verfahren (1) Dem additivem Verfahren liegt die Annahme zugrunde, dass ein Vektor π = (π 0, π 1,..., π n ) von Volumenmassen verfügbar ist und dass bezüglich dieser Volumenmasse ein Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse vorliegt.
52 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Additives Verfahren (2) Für i = 0, 1,..., n und k = n i,..., n werden die Prädiktoren Ŝ AD i,k := S i,n i + π i als additive Prädiktoren bezeichnet. k l=n i+1 ζ l AD (π) Beim additiven Verfahren werden die aktuellen Schadenstände mit Hilfe der Prämien π i und der additiven Schadenquotenzuwächse schrittweise linear fortgeschrieben. ζ AD k (π)
53 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Additives Verfahren (3) Wegen ( Ŝi,k AD = S i,n i + γ k AD γ AD n i ) π i n l=0 ζ l AD (π) lassen sich die additiven Prädiktoren als Bornhuetter Ferguson Prädiktoren bezüglich der additven Quoten γ 0 AD, γad 1,..., γad n und der a priori Schätzer vom additivem Typ α AD i (π) := π i n l=0 der erwarteten Endschadenstände interpretieren. ζ l AD (π)
54 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Additives Verfahren (4) Es gilt π i n l=0 ζ AD l (π) = π i n j=0 S j,n j n j=0 γad n j (π) π j und damit α AD i (π) = α CC i ( γ AD (π), π) Damit kann das additive Verfahren als Spezialfall des Cape-Cod Verfahrens angesehen werden, bei dem die a priori Schätzer für die Abwicklungsquoten durch die additiven Quoten ersetzt werden.
55 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Additives Verfahren (5) Schaden Abwicklungsjahr k jahr i π i ζ AD k 0,243 0,260 0,154 0,142 0,090 0,037
56 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Loss Development Verfahren Das Chain Ladder Verfahren Das Cape Cod Verfahren Das additive Verfahren Das Verfahren von Panning Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip
57 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Verfahren von Panning (1) Dem Verfahren von Panning liegt die Annahme zugrunde, dass ein Abwicklungsmuster für Raten vorliegt. Das Verfahren von Panning beruht ausschließlich auf den beobachtbaren Schadenständen des Abwicklungsdreiecks und verwendet keine externe Information.
58 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Verfahren von Panning (2) Für i = 0, 1,..., n und k = n i,..., n werden die Prädiktoren Ŝ PA i,k := S i,n i + Z i,0 als Panning Prädiktoren bezeichnet. k l=n i+1 β PA l Beim Verfahren von Panning werden die aktuellen Schadenstände mit Hilfe der Zuwächse Z i,0 und der Panning Raten β PA k schrittweise linear fortgeschrieben.
59 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Verfahren von Panning (3) Wegen ( ) n Ŝi,k PA = S i,n i + γ k PA γ n i PA Z i,0 β l PA l=0 lassen sich die Panning Prädiktoren als Bornhuetter Ferguson Prädiktoren bezüglich der Panning Quoten γ 0 PA, γpa 1,..., γpa n und der a priori Schätzer vom Panning Typ α PA i := Z i,0 der erwarteten Endschadenstände interpretieren. n l=0 β PA l
60 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp LD CL CC AD PA Verfahren von Panning (4) Schaden Abwicklungsjahr k jahr i β PA k 1,000 1,092 0,632 0,580 0,365 0,148
61 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip Beispiele aus der Praxis
62 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Bornhuetter Ferguson Prinzip - Analytischer Teil Prognose nach dem Bornhuetter Ferguson Prinzip: ) Ŝ i,k := S i,n i + ( γ k γ n i α i A priori Schätzer α i γ k Bornhuetter Ferguson beliebig beliebig Loss Development α i LD ( γ) beliebig Chain Ladder α i LD ( γ CL ) γ k CL Cape Cod α i CC ( γ, π) beliebig Additiv α i CC ( γ AD (π), π) γ k AD Panning α PA i γ PA k
63 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Bornhuetter Ferguson Prinzip - Synthetischer Teil a-priori Endschadenstand Cap-Cod Endschadenstand Additiver Endschadenstand Loss-Development Endschadenstand Panning-like Endschadenstand Panning Endschadenstand a-priori Quoten Bornhuetter- Ferguson Cape- Cod Loss- Development additive Quoten Additives Verfahren Additives Verfahren CL Quoten Chain-Ladder Panning Quoten Panning Verfahren Panning Verfahren Die Berücksichtigung der nicht benannten und damit neuen Verfahren entspricht dem Vorgehen in der Praxis.
64 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Bornhuetter Ferguson Prinzip - Simultane Anwendung Die simultane Anwendung der zur Verfügung stehenden Verfahren in Form des erweiterten Bornhuetter Ferguson Verfahrens ermöglicht die Trennung des Einflusses von Abwicklungsmuster und Endschadenstand auf die Reserve, Bewertung unterschiedlicher Informationsquellen (Marktstatistiken, Prämien) und das Erkennen der Bandbreite plausibler Reserven
65 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Beispiel 1 Beispiel 2 Übersicht Abwicklungsdreieck für Schadenstände Zwei bekannte Reservierungsverfahren Abwicklungsmuster Das erweiterte Bornhuetter Ferguson Verfahren Das Bornhuetter-Ferguson Prinzip Beispiele aus der Praxis
66 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 1 - Haftpflichtportfeuille Folgende Grössen wurden verwendet: Dreieck 20 Schadenjahre, enthält Zahlungen a priori Abwicklungsmuster Chain Ladder Quoten Last 3 a priori Endschadenstand aktuelle Incurred Endschadenstand Volumenmass geschätzte Schadenanzahl
67 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Beispiel 1 Beispiel 2 Simultane Anwendung der Verfahren Reserven (alle Verfahren) V11 (BF) V12 V13 V14 V21 (CC) V22 (AD) V23 V24 V31 V32 (AD) V33 V34 V41 (LD) V42 V43 (CL) V44 V51 V52 V53 V54 (PA) V61 V62 V63 V64 (PA) Mack Gesamtreserve Erkenntnisse: Tailfaktor notwendig niedriger Durchschnittsschaden bei jungen Schadenjahren
68 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 2 - Haftpflichtportfeuille Folgende Grössen wurden verwendet: Dreieck 20 Schadenjahre, enthält Zahlungen a priori Abwicklungsmuster Chain Ladder Quoten Last 3 a priori Endschadenstand aktuelle Incurred Endschadenstand Volumenmass geschätzte Schadenanzahl
69 AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Beispiel 1 Beispiel 2 Simultane Anwendung der Verfahren Reserven (alle Verfahren) V11 (BF) V12 V13 V14 V21 (CC) V22 (AD) V23 V24 V31 V32 (AD) V33 V34 V41 (LD) V42 V43 (CL) V44 V51 V52 V53 V54 (PA) V61 V62 V63 V64 (PA) Mack Erkenntnisse: Tailfaktor nicht notwendig Gesamtreserve Abwicklungsmuster für 1. Kalenderjahrreserve entscheidend
70 Literatur Literatur GDV (Hrsg.) [2008]: Methoden zur Schätzung von Schadenund Prämienrückstellungen. Mack, Th. [2006]: Parameter estimation for Bornhuetter Ferguson. CAS Forum Fall 2006 S Panning, W.H. [2006]: Measuring loss reserve uncertainty. CAS Forum Fall 2006 S Radtke, M. und Schmidt, K.D. (Hrsg.) [2004]: Handbuch zur Schadenreservierung. Karlsruhe: Verlag Versicherungswirtschaft Schmidt, K.D. [2006]: Methods and models of loss reserving based on run-off triangles A unifying survey. CAS Forum Fall 2006 S Schmidt, K.D. [2006]: A Bibliography on Loss Reserving. Schmidt, K.D. und Zocher, M. [2008]: The Bornhuetter Ferguson Principle. Variance 2 S
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