SPEZIELLE FUNKTIONEN. 3. Übungseinheit. H. Leeb Einführung in die Datenverarbeitung 2 Spezielle Funktionen

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Stephan Roth
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1 SPEZIELLE FUNKTIONEN 3. Übungseinheit 1 Übesicht In de (theoetischen) Physi weden zu Veeinfachung de Foulieungen oft spezielle Funtionen bzw. Sätze von Funtionen eingesetzt. Beispiele: Γ- Funtion Kugelflächenfuntion Legende Polynoe Sphäische Besselfuntionen

2 Die Gaa-Funtion Γ(z) Definition: z 1 t ( ) dt t e ( z ) Γ z = fü Re > Eigenschaft de Γ-Funtion: Γ ( z + 1) = z Γ( z) Intepetation: Veallgeeinete Fatoielle n! =Γ ( n + 1) 3 Beechnung von Γ(x) 8 ( x) a ( x 1) = ( x 1) x ( x) [ [ Näheungsfoel fü x 1, : Γ Ausnützen de Reusionsbeziehung: Γ + = Γ Ausnützen de Syetie fü x<1: π Γ( 1 x ) = = Γ Γ + πx ( x) sin( π x) ( 1 x) sin( π x) Vosicht: Bei goßen x-weten Übelauf des Wetebeeichs Beechnung von ln(γ(x)) 4

3 Beechnung von Γ(z) Bei oplexen Aguenten z : Ausnützen de Reusionsbeziehung: Γ + = Γ ( z 1) z ( z) Vewendung de Entwiclung: 1 = c z Γ ( z) = 1 Ausnützen von: ( z ) ( z) ln ( z ) ln ( z) Γ =Γ Γ = Γ 5 Othogonale Polynoe Taylo-Reihenentwiclung liefet in vielen Fällen ( ) eine gute Dastellung von f x = a x = Basisfuntionen Die Vewendung eine Basis gebildet aus othogonalen Polynoen p ist oft zwecäßig: ( x) b dx ω ( x ) p ( x) p ( x) = A δ a chaateistische Koeffizienten Gewichtsfuntion 6

4 Legende Polynoe Die Legende Polynoe P ( x) bilden einen solchen Satz von othogonalen Polynoen it ( x ) = 1 x [ ] de Gewichtsfuntion ω i Intevall 1, + 1 zugeodnete Legende Polynoe P Legende Polynoe d dx / ( x) = ( 1 x ) P ( x) 1 d P x P x! dx ( ) = ( x 1) = ( ) 7 Beechnung von P l (x), ( x) = ( ) P ( x) ( x) Die zugeodneten Legende Polynoe P sind übe eine Vowätseusion de Polynoe P 1 beechenba. Statpunt de Reusion: / ( ) ( ) ( ) P ( x) (1) P x = 1!! 1 x, =,, + 1 Reusionsvoschift: () P x = 1 xp x + 1 P x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), l 1, 1, P P, P, P,, + 1, +, + 3, nach (1) nach () 8

5 Kugelflächenfuntionen Def.: + 1( )! Y ( θϕ, ) = P (cos θ) e 4 π ( + )! iϕ Legendepolynoe Bedeutung: Multipolentwiclungen z.b. Eletostati ρ( ') 3 4π 1 * 3 Φ ( ) = d ' = Y (, ) ( ') ' ( ', ') ' 1 θϕ ρ Y θ ϕ d + ' + 1 = = Multipoloente 9 Sphäische Bessel-Funtionen Definition: Lösungen de Diffeentialgleichung ( ) ( ) ( ) ( + 1) d d R ( ) = d d Diffeentialgleichung hat singuläen Punt bei = zwei linea unabhängige Lösungen R j egulä fü = n singulä fü sin( ) ( ) ( ) cos j = n( ) = cos( ) sin( ) sin cos 1 j ( ) = + n 1( ) = ( ) ( ) Sphäische Bessel-Funtion Sphäische Neuann-Funtion 1

6 Bedeutung de sphäischen Bessel-Funtionen Die sphäischen Bessel-Funtionen sind a) Lösungen de adialen Schödingegleichungen fü ein feies Teilchen. b) Lösungen de Quellenfeien adialen Poisson-Gleichung c) Lösung de adialen Wellengleichung d) Lösung de Diffusionsgleichung in sphäischen Koodinaten Zusaenhang it Lösungen in Zylindeoodinaten π j x = J+ 1/ x x ( ) ( ) 11 Beechnung de Bessel- Funtionen Die Bessel- und Neuann-Funtionen lassen sich übe Reusion beechnen: Reusionsvoschift: + 1 g+ 1( ) + g 1( ) = g( ) Vowätseusion: Stat: n, n1 Reusion: n, n3, stabil Stat: j, j Reusion: j, j, instabil fü 1 3 > 1

7 Rücwätseusion Die Vowätseusion de Bessel-Funtionen ist instabil fü hohe l-wete. Dies sieht an aus Reusionsvoschift: + 1 g+ 1( ) g( ) + g 1( ) = g( ) + 1 exponentiell ansteigende Lösung fü > + 1 oszillieende Lösung fü < Rücwätseusion: (A) Stat: jn + 1, jn it beliebigen Weten (B) Reusion bei gegebenen -Wet: j 1, N jn,, j j 1 (C) Noieung: A =, j = j, =,1,,, M << N stabil fü > j A 13 Aufgabe 3.1 a) Scheiben Sie eine Suboutine LGNDR(x,Lax,,Pl), welche alle Legende Polynoe l=,1,...,lax bei vogegebenen Aguent x und agnetische Quantenzahl beechnet. b) Zeichnen Sie die Polynoe Pl fü l=,1,...4 und = als Funtion von x i Intevall [-1,+1] ittels gnuplot in eine geeinsaen Gafi. c) Beechnen Sie it eine vogegebenen Legende Polyno P l (x) die folgende Tabelle y=x*[p l (x)] und z=sqt(1-x ) [P l (x)] Odnen Sie die Wete deat an, dass bei Vewendung de Tabelle i Poga gnuplot eine geschlossene Kuve (y,z) ehalten wid. 14

8 Aufgabe 3. a) Scheiben Sie eine Suboutine BES(x,Lax,SPJ), welche alle sphäischen Bessel-Funtionen j l (x) fü l=,1,...,lax bei vogegebenen Aguent x beechnet. Vewenden Sie die Rücwäts-Reusion! b) Zeichnen Sie die sphäischen Besselfuntionen SPJ fü l=,1,...4 als Funtion von x i Intevall [,1] ittels gnuplot in eine geeinsaen Gafi. 15

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