Aufgabe 2 Tippkarte. Aufgabe 1 Tippkarte. Aufgabe 4 Tippkarte. Aufgabe 3 Tippkarte

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Aufgabe 2 Tippkarte. Aufgabe 1 Tippkarte. Aufgabe 4 Tippkarte. Aufgabe 3 Tippkarte"

Transkript

1 Aufgabe 1 Aufgabe 2 Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Summanden sind nicht in der richtigen Reihenfolge und müssen deshalb nach absteigenden x- Potenzen geordnet werden. fehlt, kann x aus- Da der Koeffizient a 0 geklammert werden. Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also ist x 1 = 0 eine Nullstelle von f. Die weiteren Nullstellen ergeben sich durch Nullsetzen des zweiten Faktors (mit der Mitternachtsformel ). Anstelle von x heißt die Variable jetzt t. Zunächst muss der Funktionsterm vereinfacht werden (Klammer auflösen und gleichnamige Summanden zusammenzählen). Es ergibt sich die Funktionsgleichung f(t) = t t f ist also eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, wobei die ungeraden Koeffizienten Null sind. Durch Substitution u = t 2 erhält man eine gemischt-quadratische Gleichung, deren Lösungen man mit der Mitternachtsformel berechnet. Aufgabe 3 Aufgabe 4 Die Schnittpunkte mit der x-achse bestimmt man durch Berechnen der Nullstellen. Hierzu wendet man die Substitution u = x 3 an. Der Schnittpunkt mit der y-achse hat auf jeden Fall die x-koordinate Null. Also S(0?). Den y-wert berechnet man durch Einsetzen der Zahl Null in die Funktionsgleichung. Die Schnittpunkte mit der x-achse sind diejenigen Achsenpunkte, deren x- Koordinaten die Nullstellen von h sind. Trick zur Berechnung der Nullstellen: Den Faktor x 3 ausklammern.

2 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Prüfen: x 1 ist Nullstelle von f, wenn f(x 1 ) = 0 gilt. Also setzt man x 1 in die Funktionsgleichung ein und berechnet f(x 1 ). Weitere Nullstellen: Polynomdivision durch (x x 1 ): a) (x x 2 + 7x 18) : (x 1) =... b) (2x 3 0, 8x 2 6, 72x+5, 76) : (x+2) =... Zuerst s ausklammern, dann Substitution u = s 2. Die Ergebnisse der Polynomdivisionen sind Polynome zweiten Grades. Die weiteren Nullstellen berechnet man dann mit der Mitternachtsformel. Aufgabe 7 Aufgabe 8 Man setzt alle gegebenen Zahlen nacheinander in die Funktionsgleichung ein und stellt fest, dass f( 2) = 0 gilt. x 1 = 2 ist also eine Nullstelle. Nach dem Sortieren der Summanden führt man eine Polynomdivision durch (x+2) durch. ACHTUNG: hier fehlt der x 2 -Summand (a 2 = 0). Da diese fehlende Stelle aber bei der Polynomdivision gebraucht wird, ergänzt man den Funktionsterm am besten um den Summanden 0x 2. a) Zuerst Polynomdivision durch (x x 1 ). Das Ergebnis ist ein Polynom vom Grad 4 ohne ungerade Koeffizienten. Dann Substitution u = x 2. b) Zuerst x Ausklammern (x 2 = 0). Dann Polynomdivision durch (x x 1 ). c) Zuerst Polynomdivision durch (x x 1 ). Das Ergebnis ist ein Polynom vom Grad 6. Dann Substitution u = x 3.

3 Aufgabe 9 Zunächst führt man eine Polynomdivision durch (x + 4) durch. Das erhaltene Polynom teilt man in einer zweiten Polynomdivision durch (x 1). Das Ergebnis ist dann ein Polynom vom Grad 2. Aufgabe 10 Um z.b. den Funktionsterm f 0 (x) anzugeben, setzt man in der Funktionsgleichung für t die Zahl 0 ein. Zur Nullstellenberechnung löst man wie gewohnt die Gleichung f t (x) = 0 nach x auf. Mit dem Scharparameter t rechnet man dabei wie mit einer Zahl!. Die Nullstellen können dann vom Scharparameter t abhängen. ACHTUNG: Bei b) müssen die Summanden noch nach absteigenden x- Potenzen sortiert werden, denn x ist die Variable, nach der man auflösen muss. Das Schaubild von f t geht durch den Punkt N(2 0), wenn eine der Nullstellen 2 ist. Aufgabe 11 Das Schaubild von f t geht durch den Punkt P(u v), wenn die Gleichung f t (u) = v gilt. Man setzt also die beiden Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung ein (u für x und v für f t (x)) und löst nach t auf.

4 Aufgabe 2 Aufgabe 1 Aufgabe 4 Aufgabe 3

5 Aufgabe 6 Aufgabe 5 Aufgabe 8 Aufgabe 7

6 Aufgabe 10 Aufgabe 9 Aufgabe 11

( ) ( ) Schnittpunkt mit der y Achse P 0 y : Bedingung: y = f 0. y s s

( ) ( ) Schnittpunkt mit der y Achse P 0 y : Bedingung: y = f 0. y s s R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 07.0.0 Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen Schnittpunkt mit der y Achse P 0 y : Bedingung: y = f 0 y s s f = f 0 = 0 0 = 0 0 = P ( 0 ) oder P ( 0 f(0)

Mehr

Mathematik Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die 3. Klausur Lösung. 1. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion

Mathematik Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die 3. Klausur Lösung. 1. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion Datum:.0.0 Thema: Quadratische Funktionen. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion f mit f(x) = ( x ) + in die Polynomdarstellung um und bestimmen Sie die Nullstellen und den Schnittpunkt

Mehr

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da

Mehr

A.12 Nullstellen / Gleichungen lösen

A.12 Nullstellen / Gleichungen lösen A12 Nullstellen 1 A.12 Nullstellen / Gleichungen lösen Es gibt nur eine Hand voll Standardverfahren, nach denen man vorgehen kann, um Gleichungen zu lösen. Man sollte in der Gleichung keine Brüche haben.

Mehr

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. Funktionen Station 1 Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. m = f(x 2 ) f(x 1 )

Mehr

Graphen quadratischer Funktionen und deren Nullstellen

Graphen quadratischer Funktionen und deren Nullstellen Binomische Formeln Mithilfe der drei binomischen Formeln kann man Funktionen bzw. Gleichungen vereinfachen. 1. Binomische Formel ( Plusformel ) a 2 + 2 a b+ b 2 = (a+ b) 2 Herleitung: (a+ b) 2 = (a+ b)

Mehr

Aus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor "

Aus meiner Skriptenreihe: Keine Angst vor Dipl.-Kaufm. Wolfgang Schmitt Aus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor " Verfahren der Nullstellenberechnung der Funktionen n n 1 n 2 n i 1 f x ax a x a x... ax... a x 0 1 2 3 i n für n > 1 http://www.nf-lernen.de

Mehr

Basistext: Gleichungen lösen

Basistext: Gleichungen lösen Basistext: Gleichungen lösen Was versteht man unter der Lösung einer Gleichung? Lösen einer linearen Gleichung Lösen einer quadratischen Gleichung Lösen einer Gleichung vom Grad 3 Andere Fälle Übungen

Mehr

Gleichsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahren Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift

Mehr

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs (Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs. Ableitungs und Integrationsregeln (Folgende 0 Funktionen sind alles Funktionen aus dem Zentralabitur Grundkurs.) a) f(t) = 0,0t e 0,t b) f(t) = t 3

Mehr

Analysis [1] Fachwissen verständlich erklärt. Lern-Buch Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur

Analysis [1] Fachwissen verständlich erklärt. Lern-Buch Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Lern-Buch Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Fachwissen verständlich erklärt Analysis [1] Kurvendiskussion Mitternachtsformel / pq-formel Polynomdivision Ableitung / Integration und mehr Kostenlose

Mehr

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Etremstellen-Bedingungen Häufig sind Ableitungsfunktionsterme leichter zu handhaben als die Terme der Ausgangsfunktonen, weil sie niedrigere Eponenten

Mehr

Gleichungen höheren Grades

Gleichungen höheren Grades GS -.08.05 - c_hoeheregl.mcd Definition: Eine Gleichung der Form k = 0 heißt "Gleichung n-ten Grades". Gleichungen höheren Grades n a k k = 0 mit der Definitionsmenge ID IR und a n 0 Schreibweise: n k

Mehr

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m

Mehr

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite..0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen waren die Koordinaten von

Mehr

Lösen von Bruchgleichungen

Lösen von Bruchgleichungen Lösen von Bruchgleichungen Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung wie diese hier: 3 3 6 1 2 4 = + 1 2 + 6 Ein Leitfaden zum Lösen von Gleichungen besagt: Eine Bruchgleichung löst man, indem man die Gleichung

Mehr

Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen

Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y x + x 6 b) y x x + x c) y (x + )(x + x ) d) y x 5x + e) y x + x x + 0 f) y x x 5x +50x

Mehr

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

Grundwissen Mathematik JS 11

Grundwissen Mathematik JS 11 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite.0.0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben. Daraus soll

Mehr

QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION

QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION Quadratische Funktion 1. Bedeutung der Parameter Als quadratische Funktionen werde alle Funktionen bezeichnet, die die Form y = a*x² + b*x + c aufweisen, also alle, bei

Mehr

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten Polynomgleichungen Gesetzmäßigkeiten Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011 Lineare Funktion Wolfgang Kippels. März 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades

Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades Mathematik-Service Dr. Fritsch www.math-service.de Tel. 061/776 Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades 1. Lösen Sie folgenden quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung! (a) x x + = 0 (b)

Mehr

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Aufgabe 1 Der Graph der Funktion f (x) = 0,5x3+ 1,5x2+ 4,5x 3,5 hat im Punkt T( 1 6) einen relativen (lokalen) Tiefpunkt und im Punkt H(3 10) einen relativen (lokalen)

Mehr

Die Quadratische Gleichung (Gleichung 2. Grades)

Die Quadratische Gleichung (Gleichung 2. Grades) - 1 - VB 003 Die Quadratische Gleichung (Gleichung. Grades) Inhaltsverzeichnis Die Quadratische Gleichung (Gleichung. Grades)... 1 Inhaltsverzeichnis... 1 1. Die Quadratische Gleichung (Gleichung. Grades)....

Mehr

Diese Funktion ist mein Typ!

Diese Funktion ist mein Typ! Diese Funktion ist mein Typ! Überblick über die wichtigsten Funktionstypen der 10.Jgst.: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische

Mehr

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit

Mehr

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5 11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 006 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) sin(4x ). Aufgabe : ( VP) Geben Sie eine Stammfunktion

Mehr

M I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x

M I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x Mathematik (43) Musteraufgabe Gruppe I: Analysis ohne Hilfsmittel ab 07 Seite /3 Gegeben ist die Funktion f mit 4 3 f(x) x x 3x 4x ; xir. 6 Bestimmen Sie den Bereich, in dem das Schaubild von f rechtsgekrümmt

Mehr

Parabeln - quadratische Funktionen

Parabeln - quadratische Funktionen Parabeln - quadratische Funktionen Roland Heynkes 9.11.005, Aachen Das Gleichsetzungsverfahren und die davon abgeleiteten Einsetzungs- und Additionsverfahren kennen wir als Methoden zur Lösung linearer

Mehr

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Nullstellen ganzrationaler Funktionen Nullstellen ganzrationaler Funktionen 1 Nikolausproduktion Gewinnoptimierung bei der Nikolausproduktion Weihnachten steht vor der Tür! Die Firma des Unternehmers Niko Laus will herausfinden, ab welcher

Mehr

Nullstellen. Somit ergibt sich x = 4 oder x = -4, da das Quadrat beider Zahlen 16 ergibt. Man schreibt

Nullstellen. Somit ergibt sich x = 4 oder x = -4, da das Quadrat beider Zahlen 16 ergibt. Man schreibt Nullstellen Aufgabe 1 Gegeben ist die folgende quadratische Funktion: Bestimme die Nullstellen. f( x) x² 3 x² 3 : x² 16 16 x² 16 Somit ergibt sich x = 4 oder x = -4, da das Quadrat beider Zahlen 16 ergibt.

Mehr

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Analysis Ganzrationale Funktionen Nullstellen, Funktionen aufstellen, Extrempunkte, ymmetrie, Verhalten im Unendlichen Gymnasium Klasse 10 Alexander chwarz www.mathe-aufgaben.com Juni 014 1 Aufgabe 1:

Mehr

Extrema gebrochen rationaler Funktionen

Extrema gebrochen rationaler Funktionen Übungen zum Thema: Extrema gebrochen rationaler Funktionen Hier angewandte Lösungsmethode: Grenzwertmethode Versionsnummer: Version in Arbeit vom 6.09.007 / 19.00 Uhr Finde lokale Extrema der gebrochen

Mehr

Berechnungen mit dem Horner-Schema

Berechnungen mit dem Horner-Schema Berechnungen mit dem Horner-Schema Das Hornerschema kann als Rechenhilfsmittel zur Berechnung von Funktionswerten von Polynomfunktionen, zur Faktorisieriung von Polynomen alternativ zur Polynomdivision

Mehr

Mathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2

Mathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2 Mathematik Nachhilfe Blog Mathe so einfach wie möglich erklärt Mathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2 Veröffentlicht am 3. September 2016 Neuigkeiten aus dem Mathe Unterricht Tim

Mehr

Curriculare Analyse. Beispiel: Leitidee Funktionaler Zusammenhang. Dr. M.Gercken, 2009

Curriculare Analyse. Beispiel: Leitidee Funktionaler Zusammenhang. Dr. M.Gercken, 2009 Curriculare Analyse Beispiel: Leitidee Funktionaler Zusammenhang Dr. M.Gercken, 2009 Quellen [1] Bildungsplan 1994 [2] Bildungsplan 2004 [3] Schulcurriculum Helmholtz Gymnasium, Karlsruhe [4] Schulcurriculum

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Grundlagen Trainingsheft mit einer Sammlung an Übungsaufgaben zu Gleichungen dritten bis fünften Grades. Datei Nr Friedrich W.

Grundlagen Trainingsheft mit einer Sammlung an Übungsaufgaben zu Gleichungen dritten bis fünften Grades. Datei Nr Friedrich W. Grundlagen Trainingsheft mit einer Sammlung an Übungsaufgaben zu Gleichungen dritten bis fünften Grades Datei Nr. 6 Friedrich W. Buckel Stand: 8. September 6 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen Ü bungsaufgaben vor Kurzarbeit

Gebrochenrationale Funktionen Ü bungsaufgaben vor Kurzarbeit Gebrochenrationale Funktionen Ü bungsaufgaben vor Kurzarbeit Diskutieren Sie die Funktionen: a.) f(x) = 1 + x 5 x 2 1 b.) f(x) = x 4 + 5 x+2 c.) f(x) = x3 +2x 2 +x+2 x+2 Lösung: a.) An der Summenform des

Mehr

Polynome. Michael Spielmann. 1 ganzrationale Funktionen, Polynome 1. 2 Kurvenverlauf 1. 3 Symmetrie 2. 4 Nullstellen und Linearfaktoren 3

Polynome. Michael Spielmann. 1 ganzrationale Funktionen, Polynome 1. 2 Kurvenverlauf 1. 3 Symmetrie 2. 4 Nullstellen und Linearfaktoren 3 Polnome Michael Spielmann Inhaltsverzeichnis ganzrationale Funktionen, Polnome Kurvenverlauf Smmetrie Nullstellen und Linearfaktoren 5 Polnomdivision 6 Kurvenverlauf an Nullstellen 5 7 Nullstellen und

Mehr

Vorbereitungsmappe. Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS

Vorbereitungsmappe. Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Vorbereitungsmappe Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Liebe Schülerinnen und Schüler, vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS stellt sich vor allem im Fach

Mehr

Partialbruchzerlegung für Biologen

Partialbruchzerlegung für Biologen Partialbruchzerlegung für Biologen Rationale Funktionen sind Quotienten zweier Polynome, und sie tauchen auch in der Biologie auf. Die Partialbruchzerlegung bedeutet, einen einfacheren Ausdruck für eine

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

= / 40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2012 (Mathematik) Aufgabenvorschlag B. Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung

= / 40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2012 (Mathematik) Aufgabenvorschlag B. Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung Abschlussprüfung Fachoberschule () Aufgabenvorschlag B / 4 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung 4 f ( x) x x x = + +. Dazu ist ein Rechteck gegeben, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen

Mehr

Mathe - Lernzettel: Nullstellen, Monotonie und Ableitungen

Mathe - Lernzettel: Nullstellen, Monotonie und Ableitungen Mathe - Lernzettel: Nullstellen, Monotonie und Ableitungen Leun4m 29. April 2015 Version: 0 Ich kann nicht für Richtigkeit garantieren! Inhaltsverzeichnis 1 Themenübersicht 1 2 Funktionen und Graphen 2

Mehr

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen

Mehr

Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen

Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen Thema: Quadratische Funktionen quadratische Gleichungen Normalform einer linearen Funktion Normalform einer quadratischen Funktion Handelt es sich um quadratische Funktionen??? Ja, denn a = 3, b = 0, c

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen f 1 (x) = 3x + 7 und f (x) = x 13! Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt der

Mehr

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

Mehr

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert. Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer

Mehr

Bezeichnung von Funktionen x := y:=

Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit: (aufgelöst nach y) Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit:

Mehr

Lösungen: Quadratische Funktionen Kompetenzorientiertes Üben 1

Lösungen: Quadratische Funktionen Kompetenzorientiertes Üben 1 Lösungen: Quadratische Funktionen Kompetenzorientiertes Üben 1 Aufgabe 1.: 6,0 5,0,0 3,0,0 1,0 0,0 1,0,0 3,0,0 5,0 6,0 7,0 f() 31,0,5 15,0 8,5 3,0 1,5 5,0 7,5 9,0 9,5 9,0 7,5 5,0 1,5 g(),0 9,0 18,0 9,0,0

Mehr

Zirkel Duden. Lies dir zunächst alle Aufgaben gründlich durch, und stelle sicher, dass du die Aufgabenstellung verstehst.

Zirkel Duden. Lies dir zunächst alle Aufgaben gründlich durch, und stelle sicher, dass du die Aufgabenstellung verstehst. Name Datum Anzahl Punkte Erreichte Punkte Fach Mathematik Note Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner Formelsammlung Geodreieck Zirkel Duden Lies dir zunächst alle Aufgaben gründlich durch, und stelle sicher,

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Quadratische Funktionen Das kennen wir bereits aus dem vergangenen Unterricht: Funktionen, deren Graph eine Gerade darstellen, nennen wir lineare Funktionen. Sie haben die allgemeine Form: y = mx + b Detlef

Mehr

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle. Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 9 Üben xx Quadratische Funktion 1 Skizziere den Graphen der durch y = 0,5 x 2 + x - 4 gegebenen quadratischen Funktion. Bestimme dazu die Nullstellen,

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

Mathematik für Informatik 3

Mathematik für Informatik 3 Mathematik für Informatik 3 - ANALYSIS - Folgen, Reihen und Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher - Extremwertaufgaben - Normen und Approximationen - STATISTIK - WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Literaturempfehlungen:

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie... Pflichtteil Lösungen

Mehr

QUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades)

QUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades) QUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades) I. Einführung: Allgemeine Funktionsgleichung: y = ax 2 + px + q Aufgabe 2 1 (Westermann EK, S.14) II. Terminologie: a.) Abhängige Variable (erklärte

Mehr

Lernsituation 3.1: Analysis (34 UStd.) Titel: Analysis Ganzrationale Funktionen

Lernsituation 3.1: Analysis (34 UStd.) Titel: Analysis Ganzrationale Funktionen Bildungsgang: Zweijährige Höhere Berufsfachschule (Höhere Handelsschule) Lernsituation 3.1: Analysis (34 UStd.) Titel: Analysis Ganzrationale Funktionen Einstiegsszenario 1 Als Assistent/in der Geschäftsführung

Mehr

mindestens zweiten Grades 1. Teil:

mindestens zweiten Grades 1. Teil: mindestens zweiten Grades (Eine kompakte Darstellung zur Wiederholung). Teil: Quadratische Gleichungen Biquadratische und ähnliche Gleichungen mit und ohne Substitution Eine ausführlichere Behandlung quadratischer

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

Umstellen und Lösen von Gleichungen

Umstellen und Lösen von Gleichungen Umstellen und Lösen von Gleichungen (c) Hans-Detmar Pelz Im gesamten Verlauf der Mathematik in der Oberstufe ist es mötig, Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen. Dabei sind einige Regeln zu beachten,

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik Grundlagen für das Unterrichtsfach Mathematik für die Fachhochschulreifeprüfung Zweijährige Höhere Berufsfachschule Berufsoberschule I Duale Berufsoberschule Inhalt 0. Vorwort...

Mehr

Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie

Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie PD Dr Dirk Andrae (nach Vorlagen von Dr Werner Gans vom WS 2015/2016) Institut für Chemie und Biochemie Freie Universität Berlin 20 September 2016 1 Teil:

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 8

Grundwissen Mathematik Klasse 8 Grundwissen Mathematik Klasse 8 1. Funktionen allgemein (Mathehelfer 2: S.47) Erstellen einer Wertetabelle bei gegebener Funktionsgleichung Zeichnen des Funktionsgraphen Ablesen von Wertepaaren ( x / f(x)

Mehr

So genannte. Steckbriefaufgaben. für ganzrationale Funktionen. Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades

So genannte. Steckbriefaufgaben. für ganzrationale Funktionen. Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades Analysis Funktionsgleichungen aufstellen So genannte Steckbriefaufgaben für ganzrationale Funktionen Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades Lösungen teilweise auch mit ausführlicher Beschreibung des

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 01 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 01 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n . Graphen gebrochen rationaler Funktionen ==================================================================. Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010 Aufgabe P5/2010 7 Aufgaben im Dokument Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt

Mehr

Expertenpuzzle Quadratische Funktionen

Expertenpuzzle Quadratische Funktionen Phase 1 Lösung für die Expertengruppe I Im Folgenden sollen die in IR definierten Funktionen a : x x, b : x x 0,5, c : x x und d: x x 3 untersucht werden. Die Abbildung zeigt den Graphen G a von a, also

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen.

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften W. Kippels 10. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Prinzipielle Vorgehensweise.......................... 2 1.2 Lösungsrezepte................................

Mehr

Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit x f(x) = (x + 5) e. Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 - 10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 008 / 009 Fach Mathematik (B) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 7. Mai 009 Prüfungszeit Zugelassene

Mehr

Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln

Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Gegeben sind die Parabeln: h(x) = 8 x + 3 x - 1 9 und k(x) = - 8 x - 1 1 8 x + 11 a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Graphen

Mehr

Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die

Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die Die allgemeine Sinusfunktion Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die Funktionsgleichung f(x) x. Aus ihr erzeugt man andere Parabeln, indem man den Funktionsterm verändert.

Mehr

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = 2 = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

4.2. Quadratische Funktionen

4.2. Quadratische Funktionen Definition: Normalform der Parabelgleichung.. Quadratische Funktionen Eine Funktion mit der Gleichung f() = a + b + c mit a R* und b,c R heißt quadratische Funktion oder ganzrationale Funktion. Grades

Mehr

Exponentialgleichungen: Teil 1. 1-E Mathematik, Vorkurs

Exponentialgleichungen: Teil 1. 1-E Mathematik, Vorkurs Exponentialgleichungen: Teil 1 1-E Mathematik, Vorkurs Exponentialgleichungen: Aufgaben 1, 2 Aufgabe 1: Berechnen Sie mithilfe der Potenzgesetze [ 36 2 3 6 ] : 1 3 6 ; [ 35 : 2 2 ] 3 2 5 3 Aufgabe 2: Fassen

Mehr

Grundlagen der Mathematik von Ansgar Schiffler - Seite 1 von 7 -

Grundlagen der Mathematik von Ansgar Schiffler - Seite 1 von 7 - - Seite von 7 -. Wie lautet die allgemeine Geradengleichung? (Mit Erklärung). Ein Telefontarif kostet 5 Grundgebühr und pro Stunde 8 cent. Wie lautet allgemein die Gleichung für solch einen Tarif? (Mit

Mehr

Mathematik GK 11 m3, AB 07 Hochwasser Lösung

Mathematik GK 11 m3, AB 07 Hochwasser Lösung Aufgabe 1: Hochwasserwelle Während einer Hochwasserwelle wurde in einer Stadt der Wasserstand h des Flusses in Abhängigkeit von der Zeit t gemessen. Der Funktionsterm der Funktion, die den dargestellten

Mehr

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012 Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10.

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10. M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur Vorwort Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

4 Ganzrationale Funktionen

4 Ganzrationale Funktionen FOS, Jahrgangsstufe (technisch) 4 Ganzrationale Funktionen 4 Polynomfunktionen Eine Funktion, die man auf die Form f : x a n x n + a n x n + + a 2 x 2 + a x + a 0 mit x R bringen kann, heißt ganzrationale

Mehr

Kapitel 4: Variable und Term

Kapitel 4: Variable und Term 1. Klammerregeln Steht ein Plus -Zeichen vor einer Klammer, so bleiben beim Auflösen der Klammern die Vorzeichen erhalten. Bei einem Minus -Zeichen werden die Vorzeichen gewechselt. a + ( b + c ) = a +

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/05 14:57:29 hk Exp hk $ ln(1 + t) 2 = ln 2 ln 3 + ln 2 = ln

$Id: integral.tex,v /05/05 14:57:29 hk Exp hk $ ln(1 + t) 2 = ln 2 ln 3 + ln 2 = ln $Id: integral.tex,v.5 2009/05/05 4:57:29 hk Exp hk $ 2 Integralrechnung 2.3 Die Integrationsregeln Wir wollen noch eine letzte kleine Anmerkung zur Substitutionsregel machen. Der letzte Schritt bei der

Mehr