Durch die Umformung ergibt sich eine Schaltfunktion mit einer minimalen Anzahl von Verknüpfungsoperationen, nämlich 2.

Transkript

1 2 Die shltlgerishe Umformung von Shltfunktionen in Normlform soll m Beispiel er Umformung einer Mxterm-Normlform in eine Minterm-Normlform gezeigt weren. Beispiel: y = ) ( ) ( ) ( Es ietet sih ie Anwenung es Distriutivgesetzes n. = )) ( ) ( ) ( ( ) ( = ) ( ) ( Mit em Iempotenzgesetz un em Komplement lässt sih vereinfhen. = 0) 0 ( ) ( = ) ( ) ( Mn erkennt, ss im zweiten Klmmerusruk isoliert uftritt un uh in neren Termen er Klmmer vorhnen ist. Ds ergit folgene Anwenung es Distriutiv-Gesetzes: = ) ) ( ( ) ( Ds ermögliht ie Asorption mit. = ) ( ) ( Die nähste Anwenung es Distriutivgesetzes ergit: = ) ( ) ( ) ( = Mit em Iempotenzgesetz un em Komplement lässt sih vereinfhen. = Dnn lässt sih wie oen Ausklmmern un mit sorieren. = ) ( = Durh ie Umformung ergit sih eine Shltfunktion mit einer minimlen Anzhl von Verknüpfungsopertionen, nämlih 2.

2 Dmit ist eine Minimlform er Shltfunktion gefunen. In er Regel ist s Ziel von shltlgerishen Umformungen einer Shltfunktion, ihre kürzeste Form zu finen. Die Gesmtnzhl er Verknüpfungsopertionen ist s Mß für ie Länge. Bei er isjunktiven Normlform untersheiet mn ie ODER-verknüpften Terme mit en UND-verknüpften Literlen, ei er konjunktiven Normlform ie UNDverknüpften Terme mit en ODER-verknüpften Literlen. Ein ülihes Längenmß iert zuerst ie Verknüpfungen innerhl ller Terme un iert zu ie Anzhl er Verknüpfungen er Terme selst. Eine Minimlform einer Shltfunktion ist iejenige mit er kleinsten Anzhl von Verknüpfungen. Es knn urhus mehrere Minimlformen einer Shltfunktion geen, eren shltlgerishe Ausrüke untershielih sin, ie er ie gleihe Gesmtnzhl von Verknüpfungen hen. Um us einer Minimlform ie knonishe Form zu finen, muss mn en zur Minimierung entgegen gesetzten Weg gehen. Beim Rehnen mit reellen Zhlen spriht mn von Erweitern. A ieser Stelle wir s Multipliktionssymol weggelssen. y = = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = Ds ist ie Minterm-Normlform er Funktion y, für ie zuerst ie Mxterm-Normlform estimmt wure. Mn knn s urh Vergleih mit er Wertetelle verifizieren. Im llgemeinen erforert s shltlgerishe Minimieren einige Erfhrung, um ie Minimlform ohne zeitruene Umwege zu finen. Beispiel: y = 22

3 Durh Vergleih er Terme erkennt mn: = ( ) = Der nähste offensihtlihe Asorptionsshritt ist: = ( ) = Niht so offensihtlih ist er nähste erfolgreihe Erweiterungsshritt: = ( ) = Ds ergit nämlih: = ( ) ( ) = Wer jetzt mit em Ergenis zufrieen ist, ht sih getäusht. Eine einfhe Ausklmmerung mht eine weitere Asorption möglih: = ( ) Durh wir ie Asorption = möglih. = ( ) = Wenn mn er Methoe er intuitiven Anwenung er Gesetze misstrut, knn mn ie knonishe Form estimmen un iese systemtish nh möglihen Asorptionen untersuhen, um zum minimlen Ergenis zu kommen. All s ist für eine sihere un shnelle Lösung enkr unefrieigen. Deshl ht mn ein systemtishes Verfhren entwikelt, s mit Hilfe einer nshulihen Methoe eine shnelle Lösung grntiert. 23

4 5. Minimierungsverfhren mit KV-Digrmmen Krnugh un Veith hen ie Grunlgen für ein sehr erfolgreihes nshulihes Verfhren zur Minimierung von Shltfunktionen gelegt, ws sih uh in em Kürzel für s Verfhren zeigt. Ds ei erfunene Digrmm ht lle Eigenshften er Wertetelle,.h. es git für jee Wertekomintion en Funktionswert n. Ds Digrmm stellt er ie Wertetelle in einer Form r, ss mn ie Asorptionsmöglihkeiten sehr shnell us er symmetrishen Anornung er Funktionswerte erkennt. Die Symmetrie ist lso s entsheiene Merkml. Angenommen, mn ht nur eine unhängige Vrile. Dnn ergeen sih entlng einer Symmetrielinie zwei Feler: Ist eine zweite Vrile zu erüksihtigen, nn muss ie ursprünglihe Symmetrie erhlten leien un für ie neue Vrile muss eenflls eine Symmetrie vorliegen. Eine er möglihen Lösungen ist folgene: Üliherweise wir ie Zuornung ußerhl er Feler mrkiert, mit mn in ie Feler ie Funktionswerte eintrgen knn: Für ie Impliktion ergit sih eispielsweise folgenes KV-Digrmm: 0 Eine offensihtlihe symmetrishe Erweiterung es Digrmms für zwei Vrile in s für rei Vrile ist folgene. 24

5 Durh Tush er Zuornungen knn mn nere Alterntiven erzeugen, ie lle ursprünglihen Symmetrieeigenshften ehlten, z.b. Eine offensihtlihe symmetrishe Erweiterung uf vier Vrile ist folgene. Eine er möglihen Umornungen ergit z.b. Die Minimierungsmethoe soll nun n em Beispiel gezeigt weren. y = : : 25

6 Ds ergit s folgene vollstänige KV-Digrmm: 26

7 Die Symmetrie entsheiet nun üer ie Asorption. Ds knn mn m mittleren Blok von 4 Einsen gut erkennen: Ds sin ie Terme ; enn ( ) = Ein weiterer symmetrisher Blok mit 4 Einsen ist: Ds sin ie Terme ; enn ( ) = Ein weiterer symmetrisher Blok mit 4 Einsen ist: Ds sin ie Terme ( ) = ; enn Die ODER-Verknüpfung er so gefunenen Terme ergit lle Einträge im KV- Digrmm: y = Die Minimierung mit Hilfe es KV-Digrmmes ist ein sehr effektives Verfhren, wie m vorngegngenen Beispiel eutlih wir. Ist ie Zhl er unhängigen Vrilen einer Shltfunktion n, nn ht s KV- Digrmm ht 2 n Feler. Es git vershieene Zuornungen er Vrilen, ie eine symmetrishe Anornung gewährleisten,.h. ie oen eingeführte Anornung ist niht ie einzige. Mn sollte sih er eine von einprägen un mit üen. Um ie isjunktive Minimlform zu finen, suht mn in iesen Felern systemtish nh Blöken von Einsen. 27

8 Mn eginnt mit einer Blokgröße von 2 n- un stellt fest, o es einen entsprehenen zusmmenfssren Blok git. Sol mn keinen Erfolg mehr ht, reuziert mn ie Blokgröße uf 2 n-2 un suht entsprehen. Mn führt s Verfhren mit weiterer Reuzierung fort, is lle Einsen erfsst sin. Zur Üung knn mn ie minimle isjunktive un ie minimle konjunktive Normlform für eine Shltfunktion y mit folgenem KV-Digrmm estimmen: x x Wenn mn Einsen einträgt, lässt mn üliherweise en Eintrg er Nullen weg, weil lle leeren Feler ls Null-Eintrg verstnen weren. Es git er uh Feler, eren Wert oer 0 sein knn (reunnte oer ont-re Terme). Diese weren mit x gekennzeihnet. Mn rf für iesen Term (Fel) en Wert nnehmen, er er Verkürzung er Shltfunktion m meisten ient. Neen em nshulihen Verfhren mit KV-Digrmm git es noh s tellrishe nh Quine-MClusky, s für eine lgorithmishe Auswertung mit Computern geeignet ist. Ds soll hier niht vertieft weren. Weitere Üungsufgen Beweisen Sie shltlgerish: = / Beweisen Sie shltlgerish: ( ) = ( ) Formen Sie mit Hilfe er een ewiesenen Eigenshften so um, ss ie Negtion vershwinet un nur Anti- zw. Äquivlenzverknüpfungen vorhnen sin. Formen Sie mit Hilfe er een ewiesenen Eigenshften so um, ss ie Negtion vershwinet un nur Anti- zw. Äquivlenzverknüpfungen vorhnen sin. Minimieren Sie shltlgerish: y = ) ( )) ( ) (( / / Minimieren Sie shltlgerish folgene Shltfunktion: y = ( ) 28