Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

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1 Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg

2 Regression: 4 eindimensionale Beispiele Berühmte Daten aus den 1970er Jahren: i x 1i x 2i x 3i x 4i y 1i y 2i y 3i y 4i ,04 9,14 7,46 6, ,95 8,14 6,77 5, ,58 8,74 12,74 7, ,81 8,77 7,11 8, ,33 9,26 7,81 8, ,96 8,10 8,84 7, ,24 6,13 6,08 5, ,26 3,10 5,39 12, ,84 9,13 8,15 5, ,82 7,26 6,42 7, ,68 4,74 5,73 6,89 (Quelle: Anscombe (1973)) 69

3 Regression: 4 eindimensionale Beispiele In folgender Tabelle: Jeweils Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse dabei: x k unabhängige Variable und y k abhängige Variable Modell jeweils: y k = a k + b k x k k â k ˆb k R 2 k 1 3,0001 0,5001 0, ,0010 0,5000 0, ,0025 0,4997 0, ,0017 0,4999 0,

4 Plot der Anscombe-Daten y x1 71

5 Plot der Anscombe-Daten y x2 72

6 Plot der Anscombe-Daten y x3 73

7 Plot der Anscombe-Daten y x4 74

8 Cook s Distanz PLUS Oft Kritisch: Einzelne Punkte, die Modell stark beeinflussen Idee: Was würde sich ändern, wenn solche Punkte weggelassen würden? Cook-Distanz: Misst den Effekt eines gelöschten Objekts Formel für ein lineares Modell mit einem unabh. Merkmal: Dabei bedeutet: D i = n (ŷ j ŷ j(ohne i) ) 2 j=1 MSE ŷ j : Prognosewert des kompletten Modells für das j-te Objekt ŷ j(ohne i) : Prognosewert des Modells ohne Objekt i für das j-te Objekt (ŷ i y i ) 2 : Normierender Term (Schätzwert für Fehlerstreuung) 75

9 Ausreißer? PLUS Anscombe-Daten: Regressionsmodell Nr. 3 y

10 Ausreißer? PLUS Anscombe-Daten: Regressionsmodell Nr. 3 Darstellung der Cook-Distanz neben Punkten Faustformel: Werte über 1 sollten genau untersucht werden 1.39 y

11 Residualanalyse PLUS Oft aufschlussreich: Verteilung der Residuen e i Verbreitet: Graphische Darstellungen der Residuen Z.B.: e i über ŷ i y y Residuals Residuals

12 Residualanalyse PLUS Wichtige Eigenschaften der Residuenverteilung Möglichst keine systematischen Muster Keine Änderung der Varianz in Abhängigkeit von ŷ i (Homoskedastizität) Nötig für inferentielle Analysen: Näherungsweise Normalverteilung der Residuen (q-q-plots) 78

13 Kausalität versus Exkurs: Kausalität vs. Meist wichtig für sinnvolle Regressionsanalysen: Kausale Verbindung zwischen unabhängigem und abhängigem Merkmal Sonst bei Änderung der unabhängigen Variablen keine sinnvollen Prognosen möglich Oft: Latente Variablen im Hintergrund 79

14 Preismesszahl: Misst Preisveränderung eines einzelnen Gutes: Preis zum Zeitpunkt j Preis zum Zeitpunkt i dabei: j: Berichtsperiode, i: Basisperiode Preisindex: Misst Preisveränderung mehrerer Güter (Aggregation von Preismesszahlen durch Gewichtung) Notation: p 0 (i) : Preis des i-ten Gutes in Basisperiode 0 p t (i) : Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t q 0 (i) : Menge des i-ten Gutes in Basisperiode 0 q t (i) : Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t 80

15 Gleichgewichteter Preisindex: P G 0t = 1 n p t(i) n p i=1 0 (i) = n p t(i) p i=1 0 (i) g(i) mit g(i) = 1 n Nachteil: Auto und Streichhölzer haben gleiches Gewicht Lösung: Preise mit Mengen gewichten! Preisindex von Laspeyres: n p t(i)q 0 (i) n P L 0t = i=1 p t(i) = n p p 0 (i)q 0 (i) i=1 0 (i) g 0(i) mit g 0 (i) = p 0(i) q 0 (i) n p 0 (j) q 0 (j) i=1 j=1 Preisindex von Paasche: n p t(i)q t(i) n P P 0t = i=1 p t(i) = n p p 0 (i)q t(i) i=1 0 (i) gt(i) mit gt(i) = p 0(i) q t(i) n p 0 (j) q t(j) i=1 j=1 81

16 : Beispiel Campuslebenshaltungskosten: Preis (DM) Menge/Woche Preis (DM) Menge/Woche 1 Gut 1: 1 Tasse Kaffee 0,65 3 1,10 2 Gut 2: 1 Mensaessen 3,50 5 4,80 3 P L 90,01 = 1, ,80 5 0, ,50 5 = 27,3 19,45 = 1,4036 P90,01 P = 1, , ,95 0,65 1 = + 3, ,825 = 1,

17 Weitere Idealindex von Fisher: P F 0t = Marshall-Edgeworth-Index: P ME 0t = Preisindex von Lowe: P L 0t PP 0t n p t (i)[q 0 (i) + q t (i)] i=1 n p 0 (i)[q 0 (i) + q t (i)] i=1 P LO 0t = n p t (i)q(i) i=1 n p 0 (i)q(i) i=1 83

18 Weitere : Beispiel Campuslebenshaltungskosten: Preis (DM) Menge/Woche Preis (DM) Menge/Woche 1 Gut 1: 1 Tasse Kaffee 0,65 3 1,10 2 Gut 2: 1 Mensaessen 3,50 5 4,80 3 P F 90,01 = 1,4036 1,3811 = 1,3923 P90,01 ME = 1,10 (3 + 1 ) + 4,80 (5 + 3) 2 42,25 0,65 (3 + 1 = ) + 3,50 (5 + 3) 30,275 = 1, P90,01 LO 1, ,80 4 = 0, ,50 4 = 21,4 15,3 = 1,

19 Modell des additiven modells Additives modell: y t = T t + Z t + S t + U t mit: T t : Trendkomponente, i.d.r. linear Z t : Zyklische Komponente, i.d.r. wellenförmig S t : Saisonkomponente, durch saisonalen Einfluss U t : Irreguläre Komponente, schwankt regellos um Zeit 85

20 Ermittlung der komponenten T t : i.d.r. mit Regression nach t, ˆT t = â + ˆb t = Trendbereinigte Zeitreihe y t ˆT t Z t : Schätze zuerst die glatte Komponente G t = T t + Z t auf Basis gleitender Durchschnitte = Ẑ t = Ĝ t ˆT t S t : Schätzung durch Saisonbereinigung U t : Bleiben unberücksichtigt (Hier nicht weiter betrachtet) 86

21 Saisonbereinigung: Gleitende Durchschnitte Zur Schätzung der glatten Komponente " Ordnung" : Anzahl einbezogener Perioden = Saisonlänge Gleitender Durchschnitt ungerader Ordnung 2 k + 1: y t = 1 2 k + 1 t+k τ=t k y τ Gleitender Durchschnitt gerader Ordnung 2 k: y t = 1 y t k 2 k 2 + t+(k 1) τ=t (k 1) y τ + y t+k 2 Problem: Am Rand gehen Werte verloren. 87

22 Beispiel gleitende Durchschnitte Beispiel: Wochentage, tägliche Daten = Saisonlänge: 7 Mo Di Mi Do Fr Sa So Mo Di Mi Do Fr Sa So y t y t 3,43 3,29 3,29 3,14 3,14 3 2,86 2,86 Wert 1. Donnerstag: Wert 1. Freitag: 1 7 ( ) = 3, ( ) = 3,29 = 3,

23 Saisonbereinigung Aus y t = T t + Z t + S t + U t unter Annahme von U t = 0 folgt S t = y t (T t + Z t). }{{} = G t Also: Schätze G t mit gleitenden Durchschnitten y t und dann S t gemäß y t y t ( um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe ). Periodentypische Abweichung (konstante Saisonfigur): S j = 1 m j (yt y t ) Dabei: m j ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S j eingehen (z.b. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar) 89

24 Saisonbereinigung Achtung: Anderer Index! t = 1,..., n : Alle Perioden der Zeitreihe j = 1,..., l : Perioden einer Saison Aber: Im Allgemeinen ist l S j 0 j=1 = Saisonveränderungszahl: Ŝ j = S j 1 l l S j j=1 Saisonbereinigte Zeitreihe: y t Ŝ j 90

25 Saisonbereinigung: Rezept Rezept Saisonbereinigung 1. Gleitende Durchschnitte der Ordnung l: y t 2. Um glatte Komponente bereinigte Werte: y t y t 3. Periodendurchschnitte: S j = 1 m j (yt y t ) 4. Normierte Werte: Ŝ j = S j 1 l S j 5. Saisonbereinigte Zeitreihe: y t Ŝ j Dabei: m j ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S j eingehen (z.b. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar) l ist Anzahl der Saisonteile (z.b. l = 12 bei Jahressaisonfiguren mit monatlichen Daten) 91

26 : Gliederung 1 Einführung 2 Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie 4 Induktive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter

27

28 Kombinatorik: Anzahl von Kombinationen bei Auswahl 2-mal Würfeln, das heißt Auswahl von k = 2 aus n = 6 Zahlen. mit WH, mit RF: alle Möglichkeiten, 6 2 = 36 ohne WH, mit RF: Diagonale entfällt, 6! 36 6 = 30 = 6 5 = (6 2)! (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) ohne WH, mit RF: Hälfte des letzten Ergebnisses: 30 6! 2 = 15 = 4!2! = ( 6) 2 mit WH, ohne RF: Letztes Ergebnis plus Diagonale, = 21 = ( 7) 2 Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter Auswahl von k aus n Dingen mit Reihenfolge ohne Reihenfolge mit Wiederholung ohne Wiederholung n k n! (n k)! ( ) ( ) n + k 1 n k k 93