5. Kritische Drehzahl

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Ida Seidel
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1 Aufgabenstellung: 5. Kritische Drehzahl y y Ω c/4 c/4 m c/4 e z O O S c/4 x Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

2 Der starre Körper mit der Masse m dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um die ortsfeste z- Achse. Der Körper ist elastisch gelagert, wobei die Steifigkeit der Lagerung in allen Richtungen in der xy-ebene den gleichen Wert hat. Der Schwerpunkt des Körpers hat den Abstand e von der Drehachse. Gesucht ist die Auslenkung u des starren Körpers im statischen Gleichgewicht. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

3 Statisches Gleichgewicht: Das statische Gleichgewicht wird in einem mitrotierenden Koordinatensystem Oξηζ untersucht, dessen ζ-achse mit der ortsfesten z-achse übereinstimmt. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Schwerpunkt auf der ξ-achse liegt. Der Ursprung des mitrotierenden Koordinatensystems liegt auf der Drehachse. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

4 Gleichgewicht in der ausgelenkten Lage: η Zentrifugalkraft: F Z =m 2 u e Federkraft: F F =c u Gleichgewicht: F F O u e S F Z ξ F F F Z =0 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

5 Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt für die statische Auslenkung: cu m 2 u e =0 u= m 2 e c m 2 Mit 2 c = c gilt: m u e = / c 2 1 / c 2 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

6 u e = / c 2 1 / c 2 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

7 F Z / c =1,50 F Z / c =1,25 F F F Z / c =0,75 F Z / c =0,50 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

8 Kritische Drehzahl: Die Drehzahl n c = c 2 wird als kritische Drehzahl bezeichnet. Die kritische Winkelgeschwindigkeit Ω c stimmt mit der Eigenkreisfrequenz des elastisch gelagerten starren Körpers überein. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

9 Unterkritischer Bereich: Die Drehzahl ist kleiner als die kritische Drehzahl. Die statische Auslenkung ist positiv. Die statische Auslenkung nimmt mit zunehmender Drehzahl zu. Kritische Drehzahl: Wenn die Drehzahl mit der kritischen Drehzahl übereinstimmt, wird die statische Auslenkung unendlich groß. Ein Betrieb mit der kritischen Drehzahl führt zur Zerstörung des Bauteils. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

10 Überkritischer Bereich: 5. Kritische Drehzahl Die Drehzahl ist größer als die kritische Drehzahl. Die statische Auslenkung ist negativ. Die statische Auslenkung nimmt mit zunehmender Drehzahl ab. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

11 Selbstzentrierung: 5. Kritische Drehzahl Für sehr große Drehzahlen gilt: lim u e = lim / c 2 1 / c 2 = 1 Die statische Verschiebung stellt sich so ein, dass der Schwerpunkt auf der Drehachse liegt. Dieser Effekt wird als Selbstzentrierung bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

12 Bauteile, bei denen sich eine statische Unwucht nicht vermeiden lässt, werden weich gelagert und überkritisch betrieben. Beim Ein- und Ausschalten muss der kritische Bereich schnell durchfahren werden. Beispiel: Waschmaschine Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

13 Biegewellen: Eine starre Scheibe sitzt auf einer elastischen Welle, die um die z-achse rotiert. y EI EI L/2 L/2 z Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

14 Anstelle der Lagersteifigkeit ist die Biegesteifigkeit für die Auslenkung der Welle an der Stelle, an der sich die Scheibe befindet, zu nehmen. Für eine beidseitig gelenkig gelagerte Welle, bei der sich die Scheibe in der Mitte befindet, gilt z.b. c=48 EI L 3 Die kritische Drehzahl bei Biegewellen wird als biegekritische Drehzahl bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

15 Überkritisch laufende Wellen wurden zuerst von Gustav de Laval im Jahre 1883 experimentell untersucht. Der theoretische Nachweis für die Stabilität wurde von Föppl (1895) und Stodola (1904) erbracht. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

16 Stabilität: Zur Untersuchung der Stabilität wird die Bewegungsgleichung im mitrotierenden Bezugssystem verwendet. Es muss untersucht werden, wie das System auf eine kleine Störung der statischen Ruhelage reagiert. Im mitrotierenden Bezugssystem lautet die Bewegungsgleichung: m a r =F F f F c Für die Relativbeschleunigung gilt: ar=ü b v b Die einzige äußere Kraft ist die Federkraft: F= c u b v b Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

17 Wenn das Bauteil mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit rotiert, stimmt die Führungskraft mit der Zentrifugalkraft überein: F f = m r S Für die Winkelgeschwindigkeit gilt: = b Für den Ortsvektor des Schwerpunkts gilt: r S = e u b v b Damit berechnet sich die Zentrifugalkraft zu F f = m 2 b [b e u b v b ] = m 2 b [ e u b v b ] =m 2 [ e u b v b ] Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

18 Für die Corioliskraft gilt: 5. Kritische Drehzahl B F c = 2m v S = 2m b u b v b = 2m u b v b Damit lautet die Bewegungsgleichung: mü = c m 2 u 2m v m 2 e m v = c m 2 v 2m u In der statischen Ruhelage gilt: Für den gestörten Zustand gilt: u=u S =const. und v=0 u t =u S u t und v t = v t Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

19 Mit c m 2 u S =m 2 e folgt: m ü 2m v c m 2 u =0 m v 2m u c m 2 v =0 Lösungsansatz: Eingesetzt: u t =U exp i t, v t =V exp i t [c m 2 2 ]U 2i m V = 0 2i m U [c m 2 2 ]V = 0 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

20 2 Mit c/m= c folgt: 5. Kritische Drehzahl [ 2 c 2 2 2i 2][ U ] 2i 2 c 2 V = [ 0 0] Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann von Null verschiedene Lösungen, wenn die Determinante Null ist: 2 c 2 2 2i 2 =0 2i 2 c 2 Daraus folgt die charakteristische Gleichung [ c ] =0 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

21 Die charakteristische Gleichung lässt sich umformen zu [ 2 c 2 2 ] 2 =4 2 2 Die ersten beiden Lösungen berechnen sich aus 2 c 2 2 = c 2 =0 zu 1/2 = ± 2 c 2 2 = ± c Die verbleibenden beiden Lösungen berechnen sich aus c = c 2 2 =0 zu 3/ 4 = ± 2 c 2 2 = ± c Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

22 Für Ω Ω c existieren immer vier verschiedene reelle Lösungen. Damit bleibt die Störung beschränkt. Das System ist stabil. Für Ω = Ω c gibt es keine statische Gleichgewichtslage. Die Bewegungsgleichungen vereinfachen zu ü = 2 c v 2 c e v = 2 c u Integration der zweiten Gleichung ergibt: v= 2 c u C 1 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

23 Einsetzen in die erste Gleichung führt auf ü=2 c 2 c u C 1 c 2 e ü 4 c 2 u=2 c C 1 c 2 e Diese Gleichung hat die Lösung u t =U s sin 2 c t U c cos 2 c t 2 cc 1 2 c e 2 4 c Daraus folgt: v t =U s cos 2 C t U c sin 2 c t 2 cc 1 c 2 e 2 c t C 2 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

24 Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt 2 C C 1 2 c e 2 c e=0 C 1 =0 Aus v 0 =0 folgt: C 2 = U s Damit lautet die Lösung: u t =U s sin 2 c t U c cos 2 c t e 4 v t =U s cos 2 c t 1 U c sin 2 c t e 2 c t Die Verschiebung v(t) nimmt unbeschränkt zu. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

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