Lineare Algebra I. - 9.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Korrektur: 2. Klausurtermin:

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1 Lineare Algebra I - 9.Vorlesung - rof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Korrektur: 2. Klausurtermin:

2 Linearkombination von Vektoren lineare Hülle Erzeugendensystem S lineare Unabhängigkeit Aus der letzten Vorlesung: w = k 1 v k n v n v i 2 V k i 2 K L(S) Vektorraum aller Linearkombinationen von Vektoren in S V L(S) ist der kleinste Unterraum, der S enthält! S V sodass L(S) =V v ist l.u. von S, v/2 L(S) S ist l.u., v ist l.u. von S \{v} 8 v 2 S V Vektorraum über einem Körper K Endliche Summen! Ziel: minimales Erzeugendensystem - Basis

3 Lineare Unabhängigkeit Lemma Sei S V eine Teilmenge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) S ist linear unabhängig. (2) Für alle n 2 N, alle paarweise verschiedene v 1,...,v n 2 S, und alle k 1,...,k n 2 K gilt nx k i v i = k 1 v k n v n =0 ) k 1 =...= k n =0. i=1 X (3) Für jedes 0 6= w 2 L(S) ist die Darstellung w = n i=1 k i v i, v i 2 S, k i 2 K bis auf Vertauschung der Reihenfolge eindeutig. D.h. falls w = m i=1 k0 i vi 0 für vi 0 2 S, ki 0 2 K, so gilt m = n und vi 0 = v (i), ki 0 = k (i) für ein 2 S n. roposition Sei S V linear unabhängig, und 0 6= v 62 L(S). Dann ist S 0 := S [ {v} auch linear unabhängig.

4 Basis Definition Eine Teilmenge S V nennt man Basis von V, wenn S ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V ist. roposition S V ist Basis genau dann wenn sich jedes Element v 2 V eindeutig (bis auf ermutationen) schreiben läßt als v = n i=1 k i v i, wobei v i 2 S paarweise verschieden sind, und k i 2 K.

5 Zusammenfassung: Linearkombination von Vektoren w = k 1 v k n v n v i 2 V k i 2 K lineare Hülle L(S) Vektorraum aller Linearkombinationen von Vektoren in S V L(S) ist der kleinste Unterraum, der S enthält! Erzeugendensystem S S V sodass L(S) =V lineare Unabhängigkeit v ist l.u. von S, v/2 L(S) S ist l.u., v ist l.u. von S \{v} 8 v 2 S V Vektorraum über einem Körper K Basis l.u. Erzeugendensystem Jeder Vektor kann eindeutig als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden.

6 X Endlich erzeugte Vektorräume haben eine Basis: Lemma Sei S eine endliche Teilmenge eines Vektorraumes V,die V erzeugt. Dann gibt es eine Teilmenge B S, die eine Basis von V ist.! Bemerkung Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man Lemma 4.22 auch für nichtendliche S führen. Insbesondere hat jeder Vektorraum eine! Basis. Korollar Jeder Vektorraum der ein endliches Erzeugendensystem besitzt hat auch eine endliche Basis. Definition Man nennt einen Vektorraum endlich-dimensional, wenn er eine endliche Basis besitzt.

7 Linear unabhängige Mengen können zu Erzeugendensystemen ergänzt werden Satz 4.26 (Austauschsatz von Steinitz). Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. T V eine endliche Teilmenge, die V erzeugt, und S V eine linear unabhängige Menge. Dann gilt (1) S apple T (2) S kann durch T S Elemente von T zu einem Erzeugendensystem von V ergänzt werden. linear unabhängige Mengen können nicht mehr Elemente haben, als zum Erzeugen von V nötig sind sie können zu Erzeugendensystemen ergänzt werden

8 X Alle Basen sind gleich groß - Dimension Korollar Zwei Basen eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V haben die gleiche Anzahl von Elementen. Definition Die Anzahl der Elemente einer Basis eines endlich-dimensionalen Vektorraums V wird Dimension von V genannt. Man schreibt dim(v ).