C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Extremwerte
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- Imke Schäfer
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1 C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS 05 Extremwerte Gelöste Aufgabenbeispiele:. Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x) = x x + x auf dem Intervall [ 4, ]. a. Bestimmung der lokalen Extrema im Innern des Definitionsbereichs. Wir berechnen die erste und zweite Ableitung von f mit der Formel (x n ) = nx n f (x) = x 4x + f (x) = 6x 4. Das Innere des Definitionsbereichs [, ] ist das offene Intervall ], [. Die Kandidaten für die lokalen Extremstellen in ], [ sind diejenigen x, die f (x) = erfüllen. Diese x werden auch kritische Punkte genannt. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt x = oder x =. Einsetzen ergibt f () = > 0, also ist x = eine lokale Minimalstelle und f() = 0 ein lokales Minimum der Funktion. Weiter ist f ( ) = < 0, also ist x = eine lokale Maximalstelle und f ( ) = 4 ein lokales Maximum der Funktion. 7 Die Kandidaten für die globalen Extrema sind die lokalen Extrema im Innern des Definitionsbereichs und die Randwerte von f, d.h. die Werte von f in den Randpunkten x = und x = des Intervalls [, ]. Das globale Maximum 4 4 von f ist die grösste dieser Zahlen, das globale Minimum von f ist die kleinste dieser Zahlen. In a wurden 0 und 4 als die lokalen Extrema bestimmt. Die 7 Randwerte sind f ( ) 4 = 9 und f() =. Also ist das globale Maximum und 64 das globale Minimum 0. Bitte wenden!
2 f x x^ x^ x x. Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x) = x e x auf ganz R. Hier bezeichnet e y die Exponentialfunktion. a. Bestimmung der lokalen Extrema. Wir berechnen die erste und zweite Ableitung von f mit der Produkt- und Kettenregel f (x) = ( x ) e x + x ( e x) = x e x x e x = x ( x)e x f (x) = ( x ( x) ) e x + x ( x) ( e x) = x( 6x + x )e x. Da e x > 0 für jedes x R gilt, ist die Gleichung f (x) = x ( x)e x = 0 genau für x = 0 oder x = erfüllt. Diese sind die kritischen Punkte von f. Einsetzen f (0) = 0 liefert noch keine Entscheidung, ob 0 ein lokales Extremum ist. Jedoch ist f (x) > 0 für alle x < 0 und auch für x ( 0, ), denn dann gilt x ( x) > 0. Es folgt, dass x = 0 keine lokale Extremalstelle von f ist. Einsetzen f ( ) = 9 e < 0 zeigt, dass x = eine lokale Maximalstelle und f(x) = 7 8 e ein lokales Maximum ist. Da der Definitionsbereich ganz R ist, muss zunächst überprüft werden, ob ein globales Maximum und ein globales Minimum überhaupt existiert. Ist dies der Fall, so ist das globale Maximum das grösste lokale Maximum und das globale Minimum das kleinste lokale Minimum. Tatsächlich existieren die Siehe nächstes Blatt!
3 Funktionsgrenzwerte lim x + f(x) = 0 (Vorlesung) und lim x f(x) =. Also existiert ein globales Maximum, aber kein globales Minimum. Aus a folgt, dass 7 8 e das globale Maximum ist x Bestimme die Extremwerte, die y annimmt, wenn die Gleichung x 4xy + y 8x + 8y = für reelle x und y erfüllt ist. a. Bestimmung der lokalen Extrema im Innern des Definitionsbereichs. Wenn wir die quadratische Gleichung ay + by + c = 0 gemäss der bekannten Formel y, = b ± b 4ac a auflösen, erhalten wir mit a =, b = 8 4x und c = x 8x y, = ( 4 + x ± ) 9 + 8x x. Hier muss 9 + 8x x 0 gelten, damit y, reell sind. Auflösen der quadratischen Gleichung zeigt [ 9 + 8x x 0 x ] 6, + 6, Bitte wenden!
4 womit der Definitionsbereich der Funktionen y, (x) bestimmt ist. Wir berechnen nun deren Ableitung mit der Kettenregel y, = ( ) 4 x ± x x Die kritischen Punkte von y, erfüllen also die quadratische Gleichung 4 x ± = 9 + 8x x x 4x 5 = 0, deren Lösungen x = 5 und x = sind. Setzen wir diese Werte in die ursprüngliche Gleichung ein, schliessen wir, dass x = 5 ein kritischer Punkt von y und x = ein kritischer Punkt von y ist. Wir berechnen die zweite Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel y, = ( ( ) y, = ± + (4 x) ( ) ) (8 4x) 9 + 8x x (9 + 8x x ) / = ± ( ) (9 + 8x x ) (4 x) (9 + 8x x ) / 8 = (9 + 8x x ). / Dieser Ausdruck ist < 0 für y und > 0 für y, folglich ist der kritische Punkt von y eine lokale Maximalstelle von y und der von y eine lokale Minimalstelle von y. Nun setzt man y (5) = (6 + ) = und y ( ) = ( 6 ) = ein. Dies bestimmt die lokalen Extrema im Innern des Definitionsbereichs. Die Randpunkte des Definitionsbereichs sind x = ± 6 und die entsprechenden Randwerte y (x) = y (x) = ( ( 4 + ± )) 6 = ± 6 geben weder einen grösseren noch einen kleineren Wert für y wie die in a gefundenen lokalen Extrema und. Wir haben gezeigt, dass und die Extremwerte von y sind. Bemerkung: Die Gleichung x 4xy+y 8x+8y = beschreibt eine Ellipse in der (x, y)-ebene. Anschaulich ist deshalb klar, dass y (als Funktion von x) genau ein lokales Maximum hat und dieses auch das globale Maximum ist. Randwerte müssen deshalb für die Bestimmung des globalen Maximums nicht in Betracht gezogen werden. Entsprechendes gilt für das Minimum.
5 4 y y 0 y
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