Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit epsilon-kanten

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1 Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten n der Univerität Kolenz-Lndu) Jürgen Dix (gehlten n der TU Cluthl) Intitut für Informtik Sommeremeter 2007 Ihnen eiden gilt mein herzlicher Dnk. Bernhrd Beckert, April 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 384 Teil III Inhlt von Teil III Vereinfchte Modell eine Computer: endlicher Automt Die von endlichen Automten erknnten rtionlen Sprchen ind genu die Typ-3-Sprchen (rechtliner, regulär) Determinierte und indeterminierte endliche Automten ind äquivlent Pumping Lemm erlut, eine Sprche l nicht rtionl nchzuweien. E git Algorithmen, die Proleme üer endlichen Automten zw. Typ-3-Sprchen löen. Typ-3-Sprchen ind genu die, die durch reguläre Audrücke echrieen werden können. Endliche Automten 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping-Lemm 6 Achlueigenchften und Wortproleme 7 Rtionl = Reguläre Audrücke B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384

2 Beipiel Beipiel Beipiel 11.1 Die Sprche L = {}{} {c} it regulär. Denn ie wird (z. B.) erzeugt von der rechtlineren Grmmtik G = ({S,A},{,,c},R,S), mit Regelmenge R: S A A A c Beipiel 11.2 Die Sprche ller durch 3 teilren Dezimlzhlen it regulär. Eine erzeugende Grmmtik it G = ({S,S 0,S 1,S 2 },{0,...,9},R,S) mit der Regelmenge R: S 3S 0 6S 0 9S 0 1S 1 4S 1 7S 1 2S 2 5S 2 8S 2 0 S 0 0S 0 3S 0 6S 0 9S 0 1S 1 4S 1 7S 1 2S 2 5S 2 8S 2 ε S 1 0S 1 3S 1 6S 1 9S 1 1S 2 4S 2 7S 2 2S 0 5S 0 8S 0 S 2 0S 2 3S 2 6S 2 9S 2 1S 0 4S 0 7S 0 2S 1 5S 1 8S 1 Ohne d ε in der zweiten Regel wäre nur die 0 l Terminlwort herleitr. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 Grmmtiken und Automten Endlicher Automt: Informell Grmmtik v. Automt Grmmtik: erzeugt Wörter Automt: nlyiert / erkennt Wörter eide: echreien / definieren eine Sprchen Endlicher Automt Ein endlicher Automt tetet, o ein gegeene w Σ in einer Sprche L liegt. Leekopf erlut w zu leen. Bewegt ich nur von link nch recht. Endlich viele mögliche interne Zutände, immer einer dvon it der ktuelle Zutnd Automt eginnt in einem initilen Zutnd. Bei jedem geleenen Buchten Üergng zu neuem ktuellen Zutnd, in Ahängigkeit vom Buchten und dem lten Zutnd Wenn m Ende von w ein finler Zutnd erreicht it, it w kzeptiert l Element von L, ont nicht. Automt toppt (uf jeden Fll) nch w Schritten B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384

3 Endlicher Automt: Modell eine einfchen Computer Endlicher Automt: Drtellung l Grph Endlicher Automt: Computer mit egrenztem Speicher Knn vom Bnd nur leen kein externer Speicher Speichert nur den ktuellen Zutnd ( Progrmmzähler) trk egrenzter interner Speicher Drtellung l Grph ein Knoten für jeden Zutnd Knten echreien Zutndänderungen, ind mit Buchten echriftet initile Zutände ind mit einem Pfeil gekennzeichnet finle Zutände mit einem doppelten Krei B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 Endlicher Automt: Drtellung l Grph Endlicher Automt: Definition Beipiel 11.3 (Sprche {w # (w) gerde} {,} ) Der folgende endliche Automt erkennt die Sprche {w # (w) gerde} üer Σ = {,} der Wörter mit gerder Anzhl von Definition 11.4 (Endlicher Automt) Ein endlicher Automt (e.., finite utomton it ein Tupel Dei it A = (K,Σ,δ, 0,F) A : > 0 1 K eine endliche Menge von Zutänden Σ ein endliche Alphet (u deen Buchten die Eingewörter etehen können) δ : K Σ K die totle(!) Üergngfunktion 0 K der Strtzutnd F K die Menge der finlen Zutände B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384

4 Endlicher Automt: Üergngfunktion Endlicher Automt: Üergngfunktion Bedeutung der Üergngfunktion δ(q,) = q edeutet: Wenn der Automt im Zutnd q it und ein liet, dnn geht in den Zutnd q üer. Definition 11.5 (Erweiterung von δ zu δ ) δ : K Σ K it trukturell rekuriv üer Σ definiert durch: δ (q,ε) := q δ (q,w) := δ(δ (q,w),) B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 Endlicher Automt: Beipiel Endlicher Automt: Üergngfunktion Beipiel 11.6 A : > 0 Forml ht er die Form: mit 1 A = ({ 0, 1 },{,},δ, 0,{ 0 }) Dieer Automt zeptiert die Sprche {w # (w) gerde} {,} (. Bp. 11.3). Beipiel 11.7 (Beipiel für δ ) δ ( 0,) = δ ( δ ( 0,), ) = δ ( δ ( δ ( 0,), ), ) = δ ( δ ( δ(δ ( 0,ε), ), ), ) = δ ( δ ( δ( 0,), ), ) = δ ( δ( 1,), ) = δ( 0,) = 0 δ( 0,) = 1 δ( 1,) = 0 δ( 0,) = 0 δ( 1,) = 1 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384

5 Endlicher Automt: Akzeptierte Sprche Definition 11.8 (Von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche) Die von einem Automten A kzeptierte Sprche, it definiert l L(A) := {w Σ δ ( 0,w) F} Endliche Automten: UML Stte Chrt UML Stte Chrt UML Stte Chrt ind eine (erweiterte) Form endlicher Automten Beipiel Definition 11.9 (Von endlichen Automten kzeptierte Sprchen) Die Menge RAT := {L e git einen endlichen Automten A mit L = L(A)} der von endlichen Automten kzeptierten Sprchen heißt Menge der rtionlen Sprchen Wir zeigen demnächt: RAT = Menge der regulären Sprchen B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 Endliche Automten: Weitere Beipiele Endliche Automten: Weitere Beipiele Beipiel Die Sprche ller Wörter mit gerder Anzhl von üer dem (kleineren) Alphet Σ = {} wird kzeptiert von: Beipiel Die Sprche L = {w {0,1} w enthält genu zwei Einen} wird kzeptiert von dem folgendenendlichen Automten: A : > 0 1 A : 1 1 > , 1 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384

6 Endliche Automten: Weitere Beipiele Beipiel Die Sprche ller durch 3 teilren Dezimlzhlen wird kzeptiert durch: 0, 3, 6, 9 0, 3, 6, 9 A: 1, 4, 7 1 2, 5, 8 2 Teil III Endliche Automten 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 1, 4, 7 2, 5, 8 2, 5, 8 1, 4, 7 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 1, 4, 7 0 2, 5, 8 5 Pumping-Lemm 0, 3, 6, 9 0, 1,..., 9 6 Achlueigenchften und Wortproleme > 3, 6, 9 0 cc0 0, 1,..., 9 rej 7 Rtionl = Reguläre Audrücke B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 Determiniert / indeterminiert Indeterminierter endlicher Automt Determinierter endliche Automt Für einen Zutnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezutnd fetgelegt durch Üergngfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zutnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezutände oder gr keiner fetgelegt durch Üergngreltion Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) it ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei it K eine endliche Menge von Zutänden, Σ ein endliche Alphet, (K Σ) K eine Üergngreltion, I K eine Menge von Strtzutänden, F K eine Menge von finlen Zutänden. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384

7 Indeterminierter endlicher Automt: Üergngreltion NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Definition 12.2 (Erweiterung von zu ) (K Σ ) K it definiert durch: ( (q,ε), q ) gdw q = q ( (q,w), q ) gdw q K ( ( (q,w), q ) ( (q,), q ) ) Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn e mindeten einen Weg mit der Bechriftung w durch A git, der in einem finlen Zutnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche it L(A) := {w Σ 0 I q F ( ( 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 NDEA: Beipiel NDEA: Grphiche Drtellung Beipiel 12.4 Der indeterminierte Automt u Beipiel 12.4 Der Automt A = ({S 0,S 1,S 2 },{,},,{S 0 },{S 0 }) A : > 0 1 mit (S 0,) = {S 1 } (S 1,) = {S 0,S 2 } (S 2,) = {S 0 } kzeptiert die Sprche 2 L = {,} Akzeptiert: {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384

8 Indeterminierter endlicher Automt NDEA und DEA: Beipiel Vom indeterminierten Automten zum Algorithmu? Vom Automten zum Algorithmu (für d Wortprolem): DEA = Algorithmu NDEA + Suchtrtegie = Algorithmu Beipiel 12.5 (DEA für gleiche Sprche wie NDEA u Bp. 12.4) A: > Zwei Sichtweien uf indeterminierte Automten Der Automt durchläuft lle Wege (prllel oder mittel Bcktrcking) Der Automt rät, welcher von mehreren möglichen Folgezutänden der richtige it Akzeptiert: {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 NDEA und DEA NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA NDEA: A : > DEA: A: > Wir zeigen päter: Für jeden indeterminierten Automten A NDEA git e einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) DEA ht mehr Zutände, komplizierter DEA mu nicht rten DEA rucht genuo viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384

9 NDEA und DEA: Weitere Beipiel NDEA und DEA: Weitere Beipiel Beipiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchte ein it) Beipiel 12.7 Indeterminierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchte ein it) 1, A: > A : >, Idee: Im Zutnd jeweil die letzten zwei Buchten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 NDEA und DEA: Größenvergleich Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Größenvergleich (Wort ce) Sprche üer {, } der Wörter, deren nt-letzter Buchte ein it Determinierter Automt: 2 n Zutände (einen für jede Buchtenkomintion der Länge n) Indeterminierter Automt: n + 1 Zutände Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche it rtionl (e git einen determinierten endlichen Automten, der ie kzeptiert) gdw e git einen indeterminierten endlichen Automten, der ie kzeptiert. Bewei. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git e lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt it er ineondere uch ein (eonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384

10 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Bewei (Foretzung) : Sei A NDEA = (K,Σ,,I,F) ein (elieiger) indeterminierter endlicher Automt. Er kzeptiert die Sprche L(A NDEA ). Beweiidee: Kontruiere u A NDEA einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) Bewei (Foretzung) Fortetzung... Zutände in A DEA etehen u Mengen von Zutänden von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zutnd von A DEA : Menge ller initilen Zutände von A NDEA Finle Zutände von A DEA : Jede Menge von Zutände, die einen finlen Zutnd von A NDEA enthält mit Hilfe einer Potenzmengenkontruktion... B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Zunächt ein konkrete Beipiel Ein NDEA, der die folgende Sprche kzeptiert: L / = {w {,} w ht oder l Teilwort} Zunächt ein konkrete Beipiel Strtzutnd: Menge der lten Strtzutände, lo {1, 5}. Nächter Schritt: Üergng von {1,5} mit > (1,) = {1,2} (5,) = {5,6} > Alo, neuer Zutnd {1,2,5,6} mit δ ADEA ({1,5},) = {1,2,5,6} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384

11 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Zunächt ein konkrete Beipiel Nächter Schritt: Üergng von {1, 5} mit. (1,) = {1} (5,) = {5} Für den Eingeuchten leit A DEA lo im Strtzutnd. Zunächt ein konkrete Beipiel Nächter Schritt: Üergng von {1,2,5,6} mit (1,) = {1,2} (2,) = {3} (5,) = {5,6} (6,) = /0 Alo, neuer Zutnd {1,2,3,5,6} mit δ ADEA ({1,2,5,6},) = {1,2,3,5,6} uw. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Zunächt ein konkrete Beipiel E ergit ich folgender determinierter Automt A DEA : Bewei (Fortetzung) Kontruktion de determinierten endlichen Automten A DEA forml: Gegeen: Indeterminierter endlicher Automt A NDEA = (K,Σ,,I,F) Wir kontruieren: Determinierten endlichen Automten A DEA = (K,Σ,δ,I,F ) mit K = 2 K (die Potenzmenge von K ) Üergngfunktion δ : 2 K Σ 2 K mit δ (M,) := [ (q, ) q M B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384

12 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Bewei (Fortetzung) Kontruktion de determinierten endlichen Automten A DEA forml: Gegeen: Indeterminierter endlicher Autom A NDEA = (K,Σ,,I,F) Wir kontruieren: Determinierten endlichen Automten mit A DEA = (K,Σ,δ,I,F ) I = I (die Menge der initilen Zutände von A NDEA ) F = {M K M F /0} (lle Zutndmengen von A NDEA, die einen finlen Zutnd enthlten) Bewei (Fortetzung) Kontruktion de determinierten endlichen Automten A DEA forml: Gegeen: Indeterminierter endlicher Autom A NDEA = (K,Σ,,I,F) Wir kontruieren: Determinierten endlichen Automten A DEA = (K,Σ,δ,I,F ) Merke: /0 K δ (/0,x) = /0 für lle x Σ B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Bewei (Fortetzung) Bewei (Fortetzung) Lemm: E it δ [ (M,w) = (q,w) q M Bewei durch Induktion üer die Länge von w: Induktionnfng: δ [ (M,ε) = M = {q} = [ (q,ε) q M q M Lemm: E it δ [ (M,w) = (q,w) Induktionchritt: q M δ (M,w) = δ (δ (M,w),) Def. von = S p δ (M,w) (p,) Definition von δ = S p ( ) (p,) q M (q,w) Ind.-Vor. für δ (M,w) = {q q M p (q,w) q (p,)} = {q q M q (q,w)} Def. von = S q M (q,w) B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384

13 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Bewei (Schlu) E gilt für lle w Σ : w L(A DEA ) gdw δ (I,w) F (Def. der Sprche eine Automten) gdw δ (I,w) F (d I = I per Def.) gdw δ (I,w) F /0 (Def. von F ) gdw S q I (q,w) F /0 (nch Lemm) gdw q I q F ( q (q,w) ) gdw w L(A NDEA ) (Def. der Sprche eine Automten) Dmit: L(A DEA ) = L(A NDEA ) Teil III Endliche Automten 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping-Lemm 6 Achlueigenchften und Wortproleme 7 Rtionl = Reguläre Audrücke B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Indeterminierte endliche Automten (NDEA) SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 Automten mit ε-knten Automten mit ε-knten: Definition Vom NDEA zum Automten mit ε-knten Biher (NDEA): Knten mit einem Buchten echriftet Jetzt (Automt mit ε-knten): Knten mit einem Wort echriftet E drf uch d leere Wort ε ein! Ein Automten mit ε-knten knn... in einem Schritt ein gnze Wort verreiten einen Zutndüergng mchen, ohne dei einen Buchten zu leen Definition 13.1 (Automt mit ε-knten) Ein Automt mit ε-knten (ε-ndea) A it ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei it K eine endliche Menge von Zutänden, Σ ein endliche Alphet, (K Σ ) K eine eine (endliche) Üergngreltion, I K eine Menge von Strtzutänden, F K eine Menge von finlen Zutänden B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384

14 Automten mit ε-knten: Üergngreltion Automten mit ε-knten: Akzeptierte Sprche Definition 13.2 (Erweiterung von zu ) (K Σ ) K it (ähnlich wie für NDEA) definiert durch: ( (q,ε), q ) gdw q = q oder ( (q,ε), q ) ( (q,w 1 w 2 ), q ) gdw q K ( (q,w 1 ), q ) ( (q,w 1 ), q ) ( (q,w 2 ), q ) ( (q,w 2 ), q ) Definition 13.3 (Von ε-ndea kzeptierte Sprche) Die von einem Automten mit ε-knten A = (K,Σ,,I,F) kzeptierte Sprche it L(A) := { w Σ 0 I q F ( ( 0,w) q) } B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 Automten mit ε-knten: Beipiel Beipiel 13.4 (Automten mit ε-knten) Gleichmächtigkeit von Automten mit ε-knten und NDEA > 0 Theorem 13.5 (ε-ndea gleich mächtig wie NDEA) ε 1 ε 2 3 Zu jedem Automten mit ε-knten A exitiert ein indeterminierter endlicher Automt A mit L(A) = L(A ) Akzeptiert: {} {}{} + {} {} + {} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384

15 Gleichmächtigkeit: Bewei Bewei. Trnformtion von A in einen NDEA ohne ε-knten Gleichmächtigkeit von Automten mit ε-knten und NDEA 1 Eretze Üergänge: mit nur einem Buchten mrkiert eiehlten mit einem Wort w mrkiert ( w = n) eretze durch n Üergänge (verwende n 1 neue, zuätzlicher Zutände) ε-üergänge ttt dieen ( (q,), q ) für jede Pr Bewei (Fortetzugn) Trnformtion von A in einen NDEA ohne ε-knten 2 Zuätzliche Initilzutände: Fll q I und ( (q,ε), q ), dnn uch q I 3 Finlzutände leien unverändert ( (q,), q ) und ( (q,ε), q ) B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 Gleichmächtigkeit: Beipiel Gleichmächtigkeit: Beipiel Beipiel 13.6 (Der Automt mit ε-knten... ) > 1 0 ε ε 2 3 Beipiel 13.7 (... wird trnformiert in den äquivlenten NDEA) > p 0 (,1) > 2 1 3, p p (,1) (,2) Akzeptiert: {} {}{} + {} {} + {} Akzeptiert: {} {}{} + {} {} + {} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 384

16 Teil III Stz von Kleene Endliche Automten 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) Theorem 14.1 (Stz von Kleene: RAT = L 3 ) Eine Sprche L it rtionl gdw L it regulär. 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping-Lemm Merke: L it rtionl heißt: e git einen endlichen Automten, der L kzeptiert L it regulär heißt: e git eine rechtlinere Grmmtik für L 6 Achlueigenchften und Wortproleme 7 Rtionl = Reguläre Audrücke B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384 Stz von Kleene Stz von Kleene Stephen Cole Kleene 1909, d 1994 Mthemtiker und Logiker Promovierte ei Church in Princeton (wie Turing und viele ndere) Profeor n der Univerität von Wiconin Einer der Begründer der theoretichen Informtik Unter nderem: Erfinder der Regulären Audrücke Bewei zu zeigen: Wenn eine Sprche L von einem endlichen Automten A kzeptiert wird, it ie regulär (wird von einer rechtlineren Grmmtik kzeptiert). Sei lo L = L(A) für einen endlichen Automten A = (K,Σ,δ, 0,F) Dzu kontruieren wir eine Grmmtik G = (V,T,R,S): Automt A: in Zutnd q, liet, geht in Zutnd q Grmmtik: Endvrile q, erzeugt neue Endvrile q B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384

17 Stz von Kleene Bewei (Fortetzung) Formle Definition der Grmmtik: V := K T := Σ S := 0 R := { q q δ(q,) = q } { q ε q F } Durch Induktion üer die Länge eine Worte w: S = G wq gdw δ ( 0,w) = q Dru: S = w G gdw gdw q ( F S = wq = w) G q ( F δ( 0,w) = ) q gdw w L(A) Stz von Kleene Bewei (Fortetzung) zu zeigen: Wenn eine Sprche L regulär it (ie wird von einer rechtlineren Grmmtik kzeptiert), dnn git e einen endlichen Automten A der ie kzeptiert. Sei lo L = L(G) für eine rechtlinere Grmmtik G = (V,T,R,S) Dzu kontruieren wir einen ε-ndea A = (K,Σ,,I,F) mit: K := V {q top } I := {S} Σ := T F := {q top } (q top neu) B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384 Stz von Kleene Stz von Kleene Bewei (Fortetzung) Definition von : Beipiel 14.2 ε-ndea: ( (X,u), X ) : def X ux R ( (X,u), q top ) : def X u R für X,X K und u Σ Durch Induktion üer die Länge einer Aleitung: Grmmtik G mit Regeln S S S S S ε > S = G w gdw ( (S,w), q top ) gdw w L(A) Sprche ε Wegen Gleichmächtigkeit von ε-ndea- mit DEA-Automten git e dnn uch einen determinierten endlichen Automten, der L kzeptiert. L(G) = {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 384

18 Teil III Pumping-Lemm Endliche Automten 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping-Lemm 6 Achlueigenchften und Wortproleme Aufpumprkeit (informell) Lnge Wörter x L len ich zerlegen o d x = uvw v 1 u } vv {{...v} w = uv m w i ml wieder in L liegt (für lle m 1) 7 Rtionl = Reguläre Audrücke B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 Pumping-Lemm Pumping-Lemm: Intuition Pumping Lemm (informell) Zu jeder regulären Sprche L git e ein n N, o d lle Wörter w L mit w n ufgepumpt werden können Anwendung Wichtige Informtion üer die Struktur regulärer Sprchen Nchwei der Nicht-Regulrität von Sprchen: Wenn d Pumping-Lemm für eine Sprche nicht gilt, dnn knn ie nicht regulär ein Wrum gilt d Pumping-Lemm? Zu regulärer Sprche L git e einen DEA, der L kzeptiert Dieer ht endliche Zutndmenge K. Sei m := K. Wenn w > K, dnn mu eim Akzeptieren von w eine Schleife durchlufen werden. Die Schleife knn uf mehrfch durchlufen werden. D Teilwort v, d der Schleife entpricht knn ufgepumpt werden. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384

19 Pumping-Lemm: Intuition Pumping-Lemm: Forml Theorem 15.1 (Pumping-Lemm für L 3 -Sprchen) Atrkt geehen Sei L RAT. Dnn exitiert ein n N, o d: Für lle v x L mit x n exitiert eine Zerlegung > u w x = uvw u,v,w Σ mit v 1 v < n uv m w L für lle m N B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 Pumping-Lemm: Bewei Pumping-Lemm: Bewei Bewei Sei L eine reguläre Sprche. 1. Fll: L it endlich. Sei w mx d längte Wort in L. Wir etzen n := w mx + 1 Dnn git e keine Wörter x L, für die x n gilt. Alo gilt dnn Pumping-Lemm trivilerweie. Bewei (Fortetzung) 2. Fll: L it unendlich. Sei A = (K,Σ,δ, 0,F) ein endlicher Automt (DEA), der L kzeptiert. Wir etzen n := K + 1 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384

20 Pumping-Lemm: Bewei Pumping-Lemm: Bewei Bewei (Fortetzung) Wir etrchten ein elieige Wort x = x 1 x 2...x t L mit x = t n, x i Σ Zu zeigen: x lät ich ufpumpen. Seien Bewei (Fortetzung) D t K + 1, mu e 0 i < j t 1 geen mit q i = q j j i K x i+1...x j q 0,q 1,...,q t K, die Zutände, die eim Akzeptieren von x durchlufen werden: q 0 = 0, q t F, δ(q i,x i+1 ) = q i+1 0 i t 1 > q 0 q=q q x...x x...x 1 i i j t j+1 t B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 Pumping-Lemm: Bewei Pumping-Lemm: Umkehrung Bewei (Fortetzung) Wähle nun: u := x 1...x i v := x i+1...x j w := x j+1...x t x = uvw mit 1 v < n. Korollr Wenn für eine Sprche d Pumping-Lemm nicht gilt, dnn it ie nicht regulär. Dmit: Für lle m 0 git e Wege q 0,...,q i 1,q i,...,q j = q i,...,q j = = q i...,q j,q j+1,...,q t }{{} m ml Voricht E git nicht-reguläre Sprchen, für die d Pumping-Lemm gilt. Dru, d d Pumping-Lemm für eine Sprche gilt, folgt nicht, d ie regulär it. Alo: uv m w wird von A kzeptiert. Alo: uv m w L B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384

21 Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Bewei der Nichtregulrität von L 1 Zu Beipiel 15.2 Folgende Sprchen ind nicht regulär: 1 L 1 := { i i i N 0 } 2 L 2 := { p p it Primzhl} L 1 := { i i i N 0 } Annhme: L 1 it regulär. Dnn gilt für L 1 d Pumping-Lemm. Sei n die Zhl u dem Pumping-Lemm. Dnn mu ich d Wort n n L 1 ufpumpen len (d n n n). Sei n n = uvw eine pende Zerlegung lut Lemm. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Bewei der Nichtregulrität von L 1 (Fort.) 1. Fll: u = k,v = j,w = i n mit i,k 0, j > 0 und k + j + i = n. Einml ufpumpen (m = 2) ergit: uv 2 w = k 2j i n = k+2j+i n = n+j n L 1 Widerpruch zum Lemm! 2. Fll: u = n i,v = j,w = k Widerpruch zum Lemm! (nlog zu Fll 1) 3. Fll: u = k,v = j i,w = l mit k + j = i + l = n und i,j,k,l 0 Einml ufpumpen (m = 2) ergit: Bewei der Nichtregulrität von L 1 (Fort.) Alo: Annhme flch. Alo: L 1 nicht regulär. uv 2 w = k j i j i l = k+j i+j i+l L 1 Widerpruch zum Lemm! B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384

22 Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Bewei der Nichtregulrität von L 2 Zu L 2 := { p p it Primzhl} Annhme: L 2 it regulär. Dnn gilt für L 2 d Pumping-Lemm. Sei n die Zhl u dem Pumping-Lemm. Dnn mu ich jede Wort p L 2 mit p n Bewei der Nichtregulrität von L 2 (Fort.) Sei p = uvw = i j k lo i + j + k = p n und 0 < j < n ufpumpen len. Sei p = uvw eine pende Zerlegung lut Lemm. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Pumping-Lemm: Anwendung der Umkehrung Bewei der Nichtregulrität von L 2 (Fort.) Fll 1: i + k > 1. Pumpe (i + k) ml: uv i+k w = i j(i+k) k Nch Pumping-Lemm liegt diee Wort in L 2, d. h. Bewei der Nichtregulrität von L 2 (Fort.) Fll 2: i + k = 1. Pumpe (j + 2) ml: uv j+2 w = i j(j+2) k Nch Pumping-Lemm liegt diee Wort in L 2, d. h. i + j(i + k) + k prim i + j(j + 2) + k prim Aer Widerpruch: i + j(i + k) + k = i + ij + jk + k = i(1 + j) + (j + 1)k = i(1 + j) + k(1 + j) = (i + k)(1 + j) Aer Widerpruch!: i + j(j + 2) + k = 1 + j(j + 2) = 1 + 2j + j 2 = (1 + j) 2 Alo: Annhme flch. L 2 nicht regulär. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384

23 Pumping-Lemm: Stärkere Vrinte Pumping-Lemm: Anwendung der tärkeren Vrinte Theorem 15.3 (Pumping-Lemm für L 3 -Sprchen, tärkere Vrinte) Sei L RAT. Dnn exitiert ein n N, o d: Für lle x L mit x n exitiert eine Zerlegung Beipiel 15.4 (Plindrome) Die Sprche der Plindrome L = {ww 1 w {,} } it nicht regulär mit x = uvw u,v,w Σ v 1 uv < n (ttt v < n) uv m w L für lle m N Bewei gelingt nicht mit der chwächeren Vrinte de PL (die chwächere Verion gilt für die Sprche) Bewei gelingt mit der tärkeren Vrinten de PL B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Pumping-Lemm SS / 384 Teil III Endliche Automten 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping-Lemm 6 Achlueigenchften und Wortproleme 7 Rtionl = Reguläre Audrücke Achlueigenchften Lemm 16.1 Seien zwei reguläre Sprchen L,L gegeen. Dnn knn folgende endlichen Automten kontruieren: Bewei. An Tfel. A kzeptiert L = Σ \ L A kzeptiert L L A kzeptiert L L A kzeptiert L A kzeptiert L L B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Achlueigenchften und Wortproleme SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Achlueigenchften und Wortproleme SS / 384

24 Achlueigenchften Wortproleme Theorem 16.2 (Achlueigenchften von L 3 ) Wenn L,L reguäre Sprchen ind, dnn ind uch L L L L L L L L reguläre Sprchen. Bewei. Gemäß Lemm exitieren Automten, die diee Sprchen kzeptieren. Alo ind ie regulär. Lemm 16.3 Sei A ein endlicher Automt. E it entcheidr, o die Sprche L(A) 1 leer it. 2 unendlich it. Korollr Sei G eine rechtlinere Grmmtik. E it entcheidr, o die Sprche L(G) 1 leer it. 2 unendlich it. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Achlueigenchften und Wortproleme SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Achlueigenchften und Wortproleme SS / 384 Wortproleme Wortproleme Bewei. Zu (i): L(A) it nicht leer gdw E git einen Weg von einem initilen zu einem finlen Zutnd. Zu (ii): L(A) it unendlich gdw E git einen Weg von einem initilen zu einem finlen Zutnd, der einen Zyklu enthält. Beide it leicht zu üerprüfen. Lemm 16.4 Seien A 1,A 2 endliche Automten. E it entcheidr, o Korollr L(A 1 ) = L(A 2 ) Für rechtlinere Grmmtiken G 1,G 2,G 3 und endliche Automten A 1,A 2,A 3 it entcheidr, o: L(A 1 ) L(A 2 ) = /0 L(G 1 ) L(G 2 ) = L(G 3 ) uw. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Achlueigenchften und Wortproleme SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Achlueigenchften und Wortproleme SS / 384

25 Wortproleme Teil III Endliche Automten Bewei Seien A 1, A 2 endliche Automten. Mn knn zu A 1 und A 2 einen endlichen Automten A = kontruieren mit L(A = ) = (L(A 1 ) L(A 2 )) (L(A 1 ) L(A 2 )) E gilt L(A = ) = /0 gdw L(A 1 ) = L(A 2 ) Die it entcheidr. 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping-Lemm 6 Achlueigenchften und Wortproleme 7 Rtionl = Reguläre Audrücke B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Achlueigenchften und Wortproleme SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Rtionl = Reguläre Audrücke SS / 384 Hupttz von Kleene Hupttz von Kleene: Bewei Bewei (chwierigere Richtung) Theorem 17.1 (Hupttz von Kleene) Die durch endliche Automten kzeptierten Sprchen ind genu die, die mn durch reguläre Audrücke echreien knn. Gegeen ein DEA A. Zutände von A eien q 1,...,q n. O.B.D.A. ei q 1 der initile Zutnd von A Induktion üer die Kompliziertheit de Akzeptieren Dfür ei genuer: R k i,j := {w Σ : δ (q i,w) = q j und für lle Präfixe u von w mit ε u w gilt δ (q i,u) {q 1,q 2,...,q k }} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Rtionl = Reguläre Audrücke SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Rtionl = Reguläre Audrücke SS / 384

26 Hupttz von Kleene: Bewei Hupttz von Kleene: Bewei Bewei (Fort.) Offenichtlich it L(A) = [ q f F R n 1,f E genügt zu zeigen: Alle Mengen R1,f n ind durch reguläre Audrücke echreir. Bewei (einfcherer Richtung) Durch Induktion üer den Aufu regulärer Audrücke: Zu jedem regulären Audruck git e einen äquivlnten ε-ndea (n der Tfel) Dzu: Durch Induktion üer k (n der Tfel): Für lle 1 i,j n: R k 1,j i durch einen regulären Audruck echrei. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Rtionl = Reguläre Audrücke SS / 384 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Rtionl = Reguläre Audrücke SS / 384